Editors
409
правок
Изменения
→Дискретизация на основе теоремы отсчетов (Котельникова)
== Дискретизация на основе теоремы отсчетов (Котельникова) ==
Дискретизация на основе '''''теоремы отсчетов''''' ([[Теорема Котельникова|теорема Котельникова]]) - cамый распространенный способ дискретизации. Сигналы,спектр Фурье которых равен нулю за пределами интервала <math> (-F,F)\!</math>, могут восстановлены по своим отсчетам, взятым с шагом <math> \Delta t=\frac{1}{2F}\!</math>:
<math> U(t)=\int\limits_{k=-\infty}^{+\infty}U(k\Delta t)sinc(2\pi F(t- \frac{k}{2F}))\!</math> <math>\quad \quad {\color{Maroon}(2.1)}</math>
где <math>U(k\Delta t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}U(t)sinc(2\pi F(t- \frac{k}{2F}))\!</math> <math>\quad \quad {\color{Maroon}(2.2)}</math>
или <math>U(k\Delta t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}U(t)S(t- \frac{k}{2F}))\!</math>, отсчеты берутся в точках <math> (t= \frac{k}{2F}))\!</math>
{{Теорема|Прямое и обратное разложения в спектр Фурье|
'''Прямое и обратное разложения в спектр Фурье''' описываются соответственно следующими выражениями:
<math>\tilde{U}_\Phi(f)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}U(t)exp[2\pi t i]dt \!</math> <math>\quad \quad {\color{Maroon}(2.3)}</math>
<math>U(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\tilde{U}_\Phi(f)exp(-2\pi f t i)df\!</math>
|
Так как спектр <math>U_\Phi(f)\!</math>ограничен интервалом <math> (-F,F)\!</math>,то его можно разложить в ряд Фурье
<math>\begin{align}
U(t) & =\int\limits_{-F}^{F}U_\Phi (f)exp(-2\pi fti)df=\int\limits_{-F}^{F} \sum_{l=-\infty}^{+\infty} x(l)exp(+i\pi fl\Delta t)exp(-2\pi fti)df= \\
& =\sum_{l=-\infty}^{+\infty}x(l)\int\limits_{-F}^{F}exp[2\pi if(t- \frac{k}{2F})]df=\sum_{l=-\infty}^{+\infty}x(l)\frac{2sin[2\pi F(t-\frac{k}{2F})]}{2\pi(t-\frac{k}{2F}) } \\
\end{align} \!</math>
По определению коэффициентов Фурье:
<math>x(l)=\frac{1}{2}F^{-1} \int\limits_{-F}^{F}U_\Phi (f)exp(\frac{2\pi ifl}{2F})df=\frac{1}{2}F^{-1}\left(\frac{1}{2F} \right)=\frac{1}{2}FU(l\Delta t)\!</math>
Таким образом, если взять отсчеты функции <math>U(t)\!</math>в точках <math>t= \frac{k}{2F}\!</math>, удаленных друг от друга на величину <math>\Delta t= \frac{1}{2F}\!</math> (''частота Найквиста''), то функцию <math>U(t)\!</math> можно абсолютно точно восстановить по этим отсчетам.
''Двумерный случай'':
<center><math>U(x,y)=\sum_{k_1=-\infty}^{+\infty}\sum_{k_2=-\infty}^{+\infty}U(\frac{k_1}{2F_1},\frac{k_2}{2F_2})sinc2\pi F_1(t_1- \frac{k_1}{2F_1})sinc2\pi F_2(t_2- \frac{k_2}{2F_2})\!</math> <math>\quad \quad {\color{Maroon}(2.4)}</math></center>
: где <math>U(\frac{k_1}{2F_1},\frac{k_2}{2F_2})\!</math> — отсчеты на двумерном прямоугольном реестре с шагом <math>\frac{1}{2F_1}\!</math>по оси х и <math>\frac{1}{2F_2}\!</math>по оси у.
}}
== Дискретизация функций с реальным спектром ==