Преобразование Адамара

Определение

Определение «Определение - Преобразование Адамара»
Пусть есть некая функция $f(x)\,\!$, определенная на $\mathbb {F} _{2}^{n}\,\!$. Тогда отображение: ${\widehat {f}}(y)=\sum _{x\in \mathbb {F} _{2}^{n}}^{}f(x)(-1)^{<x,y>}\,\!$, $<x,y>=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\,\!$ называется преобразованием Адамара функции $f.\,\!$

Лемма о преобразовании Адамара

Теорема Лемма (о преобразовании Адамара)
$\sum ^{}_{x \in C^{\bot}}f(x) = \frac {1}{|C|} \sum ^{}_{y \in C} \hat {f}(y), C$ - подпространство в $\mathbb {F} _{2}^{n}\,\!$
Доказательство
$\sum _{x\in C}^{}{\hat {f}}(x)=\sum _{x\in C}^{}\sum _{y\in F_{q}^{n}}^{}f(y)(-1)^{<x,y>}=\,\!$ меняем порядок суммирования $=\sum _{y\in F_{q}^{n}}^{}\sum _{x\in C}^{}f(y)(-1)^{<x,y>}=\sum _{y\in F_{q}^{n}}^{}f(y)\sum _{x\in C}^{}(-1)^{<x,y>}=\,\!$ $=\sum _{y\in C^{\bot }}^{}f(y)(\sum _{x\in C}^{}(-1)^{<x,y>})=\sum _{y\in C^{\bot }}^{}f(y)|C|+0\,\!$.

Литература

Мак-Вильямс Ф. Дж, Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М. : Связь, 1979. — С. 744, ил.