Дискретизация сигнала

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Версия от 15:47, 29 марта 2016; michael sokolov (обсуждение | вклад) (Дискретизация на основе теоремы отсчетов (Котельникова))

Статья по учебной дисциплине
Название дисциплины:

Обнаружение и распознавание сигналов

Раздел:

2. Анализ регулярных сигналов

Глава:

2.2 Дискретизация и квантование пространственных сигналов.

Преподаватель:

Чичварин Н. В.

Дискретизация сигнала — замена непрерывного сигнала последовательностью чисел, являющихся представлением этого сигнала по какому-либо базису.

Постановка задачи

Пусть имеется непрерывный сигнал ,заданный на интервале . При переходе к оцифровке происходит следующая операция. Выбирается шаг дискретизации , и вместо исходного сигнала получается последовательность .Далее, выбирается формат оцифровки . Обычно он бывает кратным 8, хотя это необязательно. Предположим что существует такое число , что выполнены неравенства: для всех .Интервал разбивается на частей. После этого каждое значение заменяеться новой последовательностью , но теперь каждый новый член последовательности принимает значение из интервала .При желании вместо указанного представления можно перейти к представлению сигнала целыми числами со знаком.

На каждом из упомянутых шагов происходит искажение сигнала. Первая задача цифровой обработки заключается в оценке искажения исходного сигнала. Дальнейшая обработка состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации и подавлении шумов. Это осуществляется с помощью цифровой фильтрации. Даже оцифрованный сигнал занимает много места, и следующий шаг обработки заключается в сжатии сигнала. Обычно имеется ввиду сжатие с потерей информации. Здесь важно установить критерий допустимой потери информации. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Хотя последовательность бесконечна, в реальных условиях мы имеем дело лишь с конечными последовательностями. В этой связи нужна оценка потерь, связанных с усечением последовательностей.

Дискретизация на основе теоремы отсчетов (Котельникова)

Дискретизация на основе теоремы отсчетов (теорема Котельникова) - cамый распространенный способ дискретизации. Сигналы,спектр Фурье которых равен нулю за пределами интервала , могут восстановлены по своим отсчетам, взятым с шагом :

где

или , отсчеты берутся в точках

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Прямое и обратное разложения в спектр Фурье

Прямое и обратное разложения в спектр Фурье описываются соответственно следующими выражениями:

Доказательство

Так как спектр ограничен интервалом ,то его можно разложить в ряд Фурье

По определению коэффициентов Фурье:

Таким образом, если взять отсчеты функции в точках , удаленных друг от друга на величину (частота Найквиста), то функцию можно абсолютно точно восстановить по этим отсчетам.

Двумерный случай:

где — отсчеты на двумерном прямоугольном реестре с шагом по оси х и по оси у.


Дискретизация функций с реальным спектром