Дискретизация сигнала — различия между версиями

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 16:24, 14 ноября 2016.
(Дискретизация функций с реальным спектром)
 
(не показаны 4 промежуточные версии 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{Учебная дисциплина
+
 
| Название дисциплины  = Обнаружение и распознавание сигналов
+
| Раздел              = 2. Анализ регулярных сигналов
+
| Глава                = 2.2 Дискретизация и квантование пространственных сигналов.
+
| Преподаватель        = [[Чичварин,_Николай_Викторович|Чичварин Н. В.]]
+
}}
+
  
 
'''Дискретизация сигнала''' — замена непрерывного сигнала последовательностью чисел, являющихся представлением этого сигнала по какому-либо базису.
 
'''Дискретизация сигнала''' — замена непрерывного сигнала последовательностью чисел, являющихся представлением этого сигнала по какому-либо базису.
Строка 63: Строка 58:
  
 
Для того , чтобы не возникало искажений, нужно пропустить изображение через фильтр низких частот- "окно", который устраняет высокочастотные составляющие и ограничивает спектр.
 
Для того , чтобы не возникало искажений, нужно пропустить изображение через фильтр низких частот- "окно", который устраняет высокочастотные составляющие и ограничивает спектр.
 +
[[Файл:D2.2_new.png|thumb|right|300px|Рис. 2. Строб-эффект]]
  
 +
[[Файл:D2.3_new.png|thumb|right|300px|Рис. 3. Муар-эффект]]
 
Примеры фильтров "окон".
 
Примеры фильтров "окон".
 
+
# Прямоугольное окно <br><math>rect(\frac{f+F}{2F})=\begin{cases}1,|f|\le F \\
1.Прямоугольное окно
+
 
+
<math>rect(\frac{f+F}{2F})=\begin{cases}1,|f|\le F \\
+
 
  0,|f| \ge F\end{cases} </math>  <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.1) \,\!</math>  
 
  0,|f| \ge F\end{cases} </math>  <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.1) \,\!</math>  
 
+
# Окно Хэннинга <br> <math>W(f)=\begin{cases} \frac{1}{2} (1+cos(\frac{\pi f}{F}), & |f|\le F \\ 0,\quad |f| \ge F \end{cases} \,\!</math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.2) \,\!</math>  
2.Окно Хэннинга
+
# Окно Кайзера <br> <math>W(f)=\begin{cases} \frac{I_0(\alpha\sqrt{1-{(\frac{f}{\tau}})}^2}{I_0(\alpha)}, & |f|\le F\\ 0, \quad |f| \ge F \end{cases} \quad \quad \color{Maroon} (3.3) \,\!</math>
 
+
<math>W(f)=\begin{cases} \frac{1}{2} (1+cos(\frac{\pi f}{F}), & pri |f|\le F \\ 0\ v\ ostalnih\ sluchayah \end{cases} \,\!</math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.2) \,\!</math>  
+
 
+
3. Окно Кайзера
+
 
+
<math>W(f)=\begin{cases} \frac{I_0(\alpha\sqrt{1-{(\frac{f}{\tau}})}^2}{I_0(\alpha)}, & pri |f|\le F\ \alpha\ moget\ var'irovatsya \\ 0\ v\ ostalnih\ sluchayah \end{cases} \,\!</math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.3) \,\!</math>
+
  
 
Рассмотрим, что будет, если:
 
Рассмотрим, что будет, если:
 
 
*а) спектр сигнала не является конечным, т.е. как на рисунке рис. 1.;
 
*а) спектр сигнала не является конечным, т.е. как на рисунке рис. 1.;
 
*b) если восстанавливающий фильтр имеет полосу пропускания <math> (-F,F)\!</math> шире, чем спектр сигнала.
 
*b) если восстанавливающий фильтр имеет полосу пропускания <math> (-F,F)\!</math> шире, чем спектр сигнала.
 
[[Файл:D2.2_new.png|thumb|right|300px|Рис.2 Строб-эффект]]
 
 
[[Файл:D2.3_new.png|thumb|right|300px|Рис.3 Муар-эффект]]
 
  
 
<math>\color{Blue} a)\,\!</math> Процедуру восстановления сигнала по его отсчетам <math> a(k\Delta t)\!</math> можно представить, как результат пропускания через идеальный фильтр низких частот <math> \lambda_d(t)=\frac{1}{\Delta t}sinc(\frac{\pi t}{\Delta t})\!</math> и частотной характеристикой:
 
<math>\color{Blue} a)\,\!</math> Процедуру восстановления сигнала по его отсчетам <math> a(k\Delta t)\!</math> можно представить, как результат пропускания через идеальный фильтр низких частот <math> \lambda_d(t)=\frac{1}{\Delta t}sinc(\frac{\pi t}{\Delta t})\!</math> и частотной характеристикой:
  
<math> H_d(t)=rect(f+\frac{1}{2\Delta t}) \!</math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.4) \,\!</math>
+
<center><math> H_d(t)=rect(f+\frac{1}{2\Delta t}) \quad \quad \color{Maroon} (3.4) \,\!</math></center>
  
 
непрерывного сигнала <math> U(t) \quad= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} U(k\Delta t)f(t-k\Delta t)\!</math>
 
непрерывного сигнала <math> U(t) \quad= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} U(k\Delta t)f(t-k\Delta t)\!</math>
Строка 96: Строка 79:
 
спектр которого — периодически продолженный с периодом <math>\frac{1}{\Delta t}\!</math>спектр сигнала <math>U(t)\!</math>
 
спектр которого — периодически продолженный с периодом <math>\frac{1}{\Delta t}\!</math>спектр сигнала <math>U(t)\!</math>
  
<math> \tilde{U_\Phi}(f) \quad =\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\tilde{U}_\Phi(f-\frac{m}{\Delta t}) \!</math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.5) \,\!</math>  
+
<center><math> \tilde{U_\Phi}(f) \quad =\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\tilde{U}_\Phi(f-\frac{m}{\Delta t}) \quad \quad \color{Maroon} (3.5) \,\!</math></center>  
  
Если спектр <math>\tilde{U}_\Phi(f)\!</math> )   ограничен <math> (-F,F)\!</math>, то   выделяется   строго   один   период   спектра, соответствующий<math> m=0\!</math> и равный спектру <math>U(t)\!</math>.
+
Если спектр <math>\tilde{U}_\Phi(f)\!</math> ) ограничен <math> (-F,F)\!</math>, то выделяется строго один период спектра, соответствующий <math> m=0\!</math> и равный спектру <math>U(t)\!</math>.
  
 
Если спектр <math>U(t)\!</math>шире <math> (-F,F)\!</math>,то происходит перекрытие соседних периодов спектра сигнала <math> \tilde{U}(t) \quad\!</math> и уже невозможно выделить спектр сигнала в чистом виде. Это явление называется строб-эффектом
 
Если спектр <math>U(t)\!</math>шире <math> (-F,F)\!</math>,то происходит перекрытие соседних периодов спектра сигнала <math> \tilde{U}(t) \quad\!</math> и уже невозможно выделить спектр сигнала в чистом виде. Это явление называется строб-эффектом
 +
  
 
<math>\color{Blue} b)\,\!</math> Во втором случае в восстановленный после растрирования с шагом <math>\Delta t\,\!</math> непрерывный сигнал попадают компоненты исходного сигнала из плюс-минус первого порядка периодически продолжительного спектра
 
<math>\color{Blue} b)\,\!</math> Во втором случае в восстановленный после растрирования с шагом <math>\Delta t\,\!</math> непрерывный сигнал попадают компоненты исходного сигнала из плюс-минус первого порядка периодически продолжительного спектра
  
 
Это явление называется '''муар-эффектом'''.
 
Это явление называется '''муар-эффектом'''.
 +
 +
==См. также==
 +
*[[Модели нормированных сигналов]]
 +
*[[Квантование сигналов]]
 +
 +
 +
[[Категория : Обнаружение и распознавание сигналов]]

Текущая версия на 16:24, 14 ноября 2016


Дискретизация сигнала — замена непрерывного сигнала последовательностью чисел, являющихся представлением этого сигнала по какому-либо базису.

Постановка задачи

Пусть имеется непрерывный сигнал ,заданный на интервале . При переходе к оцифровке происходит следующая операция. Выбирается шаг дискретизации , и вместо исходного сигнала получается последовательность .Далее, выбирается формат оцифровки . Обычно он бывает кратным 8, хотя это необязательно. Предположим что существует такое число , что выполнены неравенства: для всех .Интервал разбивается на частей. После этого каждое значение заменяеться новой последовательностью , но теперь каждый новый член последовательности принимает значение из интервала .При желании вместо указанного представления можно перейти к представлению сигнала целыми числами со знаком.

На каждом из упомянутых шагов происходит искажение сигнала. Первая задача цифровой обработки заключается в оценке искажения исходного сигнала. Дальнейшая обработка состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации и подавлении шумов. Это осуществляется с помощью цифровой фильтрации. Даже оцифрованный сигнал занимает много места, и следующий шаг обработки заключается в сжатии сигнала. Обычно имеется ввиду сжатие с потерей информации. Здесь важно установить критерий допустимой потери информации. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Хотя последовательность бесконечна, в реальных условиях мы имеем дело лишь с конечными последовательностями. В этой связи нужна оценка потерь, связанных с усечением последовательностей.

Дискретизация на основе теоремы отсчетов (Котельникова)

Дискретизация на основе теоремы отсчетов (теорема Котельникова) - cамый распространенный способ дискретизации. Сигналы,спектр Фурье которых равен нулю за пределами интервала , могут восстановлены по своим отсчетам, взятым с шагом :

где

или , отсчеты берутся в точках

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Прямое и обратное разложения в спектр Фурье

Прямое и обратное разложения в спектр Фурье описываются соответственно следующими выражениями:

Доказательство

Так как спектр ограничен интервалом ,то его можно разложить в ряд Фурье

По определению коэффициентов Фурье:

Таким образом, если взять отсчеты функции в точках , удаленных друг от друга на величину (частота Найквиста), то функцию можно абсолютно точно восстановить по этим отсчетам.

Двумерный случай:

где — отсчеты на двумерном прямоугольном реестре с шагом по оси х и по оси у.


Дискретизация функций с реальным спектром

Реальные функции имеют спектр , как правило, вида рис.1

Рис.1

Учет так называемых "хвостов" резко увеличивает вычислительные затраты. Нельзя точно восстановить сигнал по теореме Котельникова.

Для того , чтобы не возникало искажений, нужно пропустить изображение через фильтр низких частот- "окно", который устраняет высокочастотные составляющие и ограничивает спектр.

Рис. 2. Строб-эффект
Рис. 3. Муар-эффект

Примеры фильтров "окон".

  1. Прямоугольное окно
  2. Окно Хэннинга
  3. Окно Кайзера

Рассмотрим, что будет, если:

  • а) спектр сигнала не является конечным, т.е. как на рисунке рис. 1.;
  • b) если восстанавливающий фильтр имеет полосу пропускания шире, чем спектр сигнала.

Процедуру восстановления сигнала по его отсчетам можно представить, как результат пропускания через идеальный фильтр низких частот и частотной характеристикой:

непрерывного сигнала

спектр которого — периодически продолженный с периодом спектр сигнала

Если спектр ) ограничен , то выделяется строго один период спектра, соответствующий и равный спектру .

Если спектр шире ,то происходит перекрытие соседних периодов спектра сигнала и уже невозможно выделить спектр сигнала в чистом виде. Это явление называется строб-эффектом


Во втором случае в восстановленный после растрирования с шагом непрерывный сигнал попадают компоненты исходного сигнала из плюс-минус первого порядка периодически продолжительного спектра

Это явление называется муар-эффектом.

См. также