Дискретизация сигнала — различия между версиями
Последнее изменение этой страницы: 16:24, 14 ноября 2016.
(Новая страница: «{{Учебная дисциплина | Название дисциплины = Обнаружение и распознавание сигналов | Разд…») |
|||
(не показано 7 промежуточных версий 4 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
'''Дискретизация сигнала''' — замена непрерывного сигнала последовательностью чисел, являющихся представлением этого сигнала по какому-либо базису. | '''Дискретизация сигнала''' — замена непрерывного сигнала последовательностью чисел, являющихся представлением этого сигнала по какому-либо базису. | ||
Строка 15: | Строка 10: | ||
На каждом из упомянутых шагов происходит искажение сигнала. '''Первая задача цифровой обработки''' заключается в оценке искажения исходного сигнала. '''Дальнейшая обработка''' состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации и подавлении шумов. Это осуществляется с помощью ''цифровой фильтрации''. Даже оцифрованный сигнал занимает много места, и '''следующий шаг обработки''' заключается в сжатии сигнала. Обычно имеется ввиду ''сжатие с потерей информации''. Здесь важно установить '''''критерий допустимой потери информации'''''. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Хотя последовательность бесконечна, в реальных условиях мы имеем дело лишь с конечными последовательностями. В этой связи нужна оценка потерь, связанных с усечением последовательностей. | На каждом из упомянутых шагов происходит искажение сигнала. '''Первая задача цифровой обработки''' заключается в оценке искажения исходного сигнала. '''Дальнейшая обработка''' состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации и подавлении шумов. Это осуществляется с помощью ''цифровой фильтрации''. Даже оцифрованный сигнал занимает много места, и '''следующий шаг обработки''' заключается в сжатии сигнала. Обычно имеется ввиду ''сжатие с потерей информации''. Здесь важно установить '''''критерий допустимой потери информации'''''. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Хотя последовательность бесконечна, в реальных условиях мы имеем дело лишь с конечными последовательностями. В этой связи нужна оценка потерь, связанных с усечением последовательностей. | ||
+ | |||
+ | == Дискретизация на основе теоремы отсчетов (Котельникова) == | ||
+ | |||
+ | Дискретизация на основе '''''теоремы отсчетов''''' ([[Теорема Котельникова|теорема Котельникова]]) - cамый распространенный способ дискретизации. Сигналы,спектр Фурье которых равен нулю за пределами интервала <math> (-F,F)\!</math>, могут восстановлены по своим отсчетам, взятым с шагом <math> \Delta t=\frac{1}{2F}\!</math>: | ||
+ | |||
+ | <math> U(t)=\int\limits_{k=-\infty}^{+\infty}U(k\Delta t)sinc(2\pi F(t- \frac{k}{2F}))\!</math> <math>\quad \quad {\color{Maroon}(2.1)}</math> | ||
+ | |||
+ | где <math>U(k\Delta t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}U(t)sinc(2\pi F(t- \frac{k}{2F}))\!</math> <math>\quad \quad {\color{Maroon}(2.2)}</math> | ||
+ | |||
+ | или <math>U(k\Delta t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}U(t)S(t- \frac{k}{2F}))\!</math>, отсчеты берутся в точках <math> (t= \frac{k}{2F}))\!</math> | ||
+ | |||
+ | {{Теорема|Прямое и обратное разложения в спектр Фурье| | ||
+ | '''Прямое и обратное разложения в спектр Фурье''' описываются соответственно следующими выражениями: | ||
+ | |||
+ | <math>\tilde{U}_\Phi(f)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}U(t)exp[2\pi t i]dt \!</math> <math>\quad \quad {\color{Maroon}(2.3)}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>U(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\tilde{U}_\Phi(f)exp(-2\pi f t i)df\!</math> | ||
+ | | | ||
+ | Так как спектр <math>U_\Phi(f)\!</math>ограничен интервалом <math> (-F,F)\!</math>,то его можно разложить в ряд Фурье | ||
+ | |||
+ | <math>\begin{align} | ||
+ | U(t) & =\int\limits_{-F}^{F}U_\Phi (f)exp(-2\pi fti)df=\int\limits_{-F}^{F} \sum_{l=-\infty}^{+\infty} x(l)exp(+i\pi fl\Delta t)exp(-2\pi fti)df= \\ | ||
+ | & =\sum_{l=-\infty}^{+\infty}x(l)\int\limits_{-F}^{F}exp[2\pi if(t- \frac{k}{2F})]df=\sum_{l=-\infty}^{+\infty}x(l)\frac{2sin[2\pi F(t-\frac{k}{2F})]}{2\pi(t-\frac{k}{2F}) } \\ | ||
+ | \end{align} \!</math> | ||
+ | |||
+ | По определению коэффициентов Фурье: | ||
+ | |||
+ | <math>x(l)=\frac{1}{2}F^{-1} \int\limits_{-F}^{F}U_\Phi (f)exp(\frac{2\pi ifl}{2F})df=\frac{1}{2}F^{-1}\left(\frac{1}{2F} \right)=\frac{1}{2}FU(l\Delta t)\!</math> | ||
+ | |||
+ | Таким образом, если взять отсчеты функции <math>U(t)\!</math>в точках <math>t= \frac{k}{2F}\!</math>, удаленных друг от друга на величину <math>\Delta t= \frac{1}{2F}\!</math> (''частота Найквиста''), то функцию <math>U(t)\!</math> можно абсолютно точно восстановить по этим отсчетам. | ||
+ | |||
+ | ''Двумерный случай'': | ||
+ | |||
+ | <center><math>U(x,y)=\sum_{k_1=-\infty}^{+\infty}\sum_{k_2=-\infty}^{+\infty}U(\frac{k_1}{2F_1},\frac{k_2}{2F_2})sinc2\pi F_1(t_1- \frac{k_1}{2F_1})sinc2\pi F_2(t_2- \frac{k_2}{2F_2})\!</math> <math>\quad \quad {\color{Maroon}(2.4)}</math></center> | ||
+ | |||
+ | : где <math>U(\frac{k_1}{2F_1},\frac{k_2}{2F_2})\!</math> — отсчеты на двумерном прямоугольном реестре с шагом <math>\frac{1}{2F_1}\!</math>по оси х и <math>\frac{1}{2F_2}\!</math>по оси у. | ||
+ | |||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | == Дискретизация функций с реальным спектром == | ||
+ | |||
+ | Реальные функции имеют спектр , как правило, вида рис.1 | ||
+ | |||
+ | [[Файл:D2.1_new.png|thumb|right|250px|Рис.1]] | ||
+ | |||
+ | Учет так называемых "хвостов" резко увеличивает вычислительные затраты. Нельзя точно восстановить сигнал по теореме Котельникова. | ||
+ | |||
+ | Для того , чтобы не возникало искажений, нужно пропустить изображение через фильтр низких частот- "окно", который устраняет высокочастотные составляющие и ограничивает спектр. | ||
+ | [[Файл:D2.2_new.png|thumb|right|300px|Рис. 2. Строб-эффект]] | ||
+ | |||
+ | [[Файл:D2.3_new.png|thumb|right|300px|Рис. 3. Муар-эффект]] | ||
+ | Примеры фильтров "окон". | ||
+ | # Прямоугольное окно <br><math>rect(\frac{f+F}{2F})=\begin{cases}1,|f|\le F \\ | ||
+ | 0,|f| \ge F\end{cases} </math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.1) \,\!</math> | ||
+ | # Окно Хэннинга <br> <math>W(f)=\begin{cases} \frac{1}{2} (1+cos(\frac{\pi f}{F}), & |f|\le F \\ 0,\quad |f| \ge F \end{cases} \,\!</math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.2) \,\!</math> | ||
+ | # Окно Кайзера <br> <math>W(f)=\begin{cases} \frac{I_0(\alpha\sqrt{1-{(\frac{f}{\tau}})}^2}{I_0(\alpha)}, & |f|\le F\\ 0, \quad |f| \ge F \end{cases} \quad \quad \color{Maroon} (3.3) \,\!</math> | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим, что будет, если: | ||
+ | *а) спектр сигнала не является конечным, т.е. как на рисунке рис. 1.; | ||
+ | *b) если восстанавливающий фильтр имеет полосу пропускания <math> (-F,F)\!</math> шире, чем спектр сигнала. | ||
+ | |||
+ | <math>\color{Blue} a)\,\!</math> Процедуру восстановления сигнала по его отсчетам <math> a(k\Delta t)\!</math> можно представить, как результат пропускания через идеальный фильтр низких частот <math> \lambda_d(t)=\frac{1}{\Delta t}sinc(\frac{\pi t}{\Delta t})\!</math> и частотной характеристикой: | ||
+ | |||
+ | <center><math> H_d(t)=rect(f+\frac{1}{2\Delta t}) \quad \quad \color{Maroon} (3.4) \,\!</math></center> | ||
+ | |||
+ | непрерывного сигнала <math> U(t) \quad= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} U(k\Delta t)f(t-k\Delta t)\!</math> | ||
+ | |||
+ | спектр которого — периодически продолженный с периодом <math>\frac{1}{\Delta t}\!</math>спектр сигнала <math>U(t)\!</math> | ||
+ | |||
+ | <center><math> \tilde{U_\Phi}(f) \quad =\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\tilde{U}_\Phi(f-\frac{m}{\Delta t}) \quad \quad \color{Maroon} (3.5) \,\!</math></center> | ||
+ | |||
+ | Если спектр <math>\tilde{U}_\Phi(f)\!</math> ) ограничен <math> (-F,F)\!</math>, то выделяется строго один период спектра, соответствующий <math> m=0\!</math> и равный спектру <math>U(t)\!</math>. | ||
+ | |||
+ | Если спектр <math>U(t)\!</math>шире <math> (-F,F)\!</math>,то происходит перекрытие соседних периодов спектра сигнала <math> \tilde{U}(t) \quad\!</math> и уже невозможно выделить спектр сигнала в чистом виде. Это явление называется строб-эффектом | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>\color{Blue} b)\,\!</math> Во втором случае в восстановленный после растрирования с шагом <math>\Delta t\,\!</math> непрерывный сигнал попадают компоненты исходного сигнала из плюс-минус первого порядка периодически продолжительного спектра | ||
+ | |||
+ | Это явление называется '''муар-эффектом'''. | ||
+ | |||
+ | ==См. также== | ||
+ | *[[Модели нормированных сигналов]] | ||
+ | *[[Квантование сигналов]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [[Категория : Обнаружение и распознавание сигналов]] |
Текущая версия на 16:24, 14 ноября 2016
Дискретизация сигнала — замена непрерывного сигнала последовательностью чисел, являющихся представлением этого сигнала по какому-либо базису.
Содержание
Постановка задачи
Пусть имеется непрерывный сигнал ,заданный на интервале . При переходе к оцифровке происходит следующая операция. Выбирается шаг дискретизации , и вместо исходного сигнала получается последовательность .Далее, выбирается формат оцифровки . Обычно он бывает кратным 8, хотя это необязательно. Предположим что существует такое число , что выполнены неравенства: для всех .Интервал разбивается на частей. После этого каждое значение заменяеться новой последовательностью , но теперь каждый новый член последовательности принимает значение из интервала .При желании вместо указанного представления можно перейти к представлению сигнала целыми числами со знаком.
На каждом из упомянутых шагов происходит искажение сигнала. Первая задача цифровой обработки заключается в оценке искажения исходного сигнала. Дальнейшая обработка состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации и подавлении шумов. Это осуществляется с помощью цифровой фильтрации. Даже оцифрованный сигнал занимает много места, и следующий шаг обработки заключается в сжатии сигнала. Обычно имеется ввиду сжатие с потерей информации. Здесь важно установить критерий допустимой потери информации. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Хотя последовательность бесконечна, в реальных условиях мы имеем дело лишь с конечными последовательностями. В этой связи нужна оценка потерь, связанных с усечением последовательностей.
Дискретизация на основе теоремы отсчетов (Котельникова)
Дискретизация на основе теоремы отсчетов (теорема Котельникова) - cамый распространенный способ дискретизации. Сигналы,спектр Фурье которых равен нулю за пределами интервала , могут восстановлены по своим отсчетам, взятым с шагом :
где
или , отсчеты берутся в точках
![]() |
---|
Прямое и обратное разложения в спектр Фурье описываются соответственно следующими выражениями:
|
Доказательство
|
Так как спектр ограничен интервалом ,то его можно разложить в ряд Фурье
По определению коэффициентов Фурье:
Таким образом, если взять отсчеты функции в точках , удаленных друг от друга на величину (частота Найквиста), то функцию можно абсолютно точно восстановить по этим отсчетам. Двумерный случай:
|
Дискретизация функций с реальным спектром
Реальные функции имеют спектр , как правило, вида рис.1
Учет так называемых "хвостов" резко увеличивает вычислительные затраты. Нельзя точно восстановить сигнал по теореме Котельникова.
Для того , чтобы не возникало искажений, нужно пропустить изображение через фильтр низких частот- "окно", который устраняет высокочастотные составляющие и ограничивает спектр.
Примеры фильтров "окон".
- Прямоугольное окно
- Окно Хэннинга
- Окно Кайзера
Рассмотрим, что будет, если:
- а) спектр сигнала не является конечным, т.е. как на рисунке рис. 1.;
- b) если восстанавливающий фильтр имеет полосу пропускания шире, чем спектр сигнала.
Процедуру восстановления сигнала по его отсчетам можно представить, как результат пропускания через идеальный фильтр низких частот и частотной характеристикой:
непрерывного сигнала
спектр которого — периодически продолженный с периодом спектр сигнала
Если спектр ) ограничен , то выделяется строго один период спектра, соответствующий и равный спектру .
Если спектр шире ,то происходит перекрытие соседних периодов спектра сигнала и уже невозможно выделить спектр сигнала в чистом виде. Это явление называется строб-эффектом
Во втором случае в восстановленный после растрирования с шагом непрерывный сигнал попадают компоненты исходного сигнала из плюс-минус первого порядка периодически продолжительного спектра
Это явление называется муар-эффектом.
ISSN 2542-0356
Следуй за Полисом
Оставайся в курсе последних событий
Лицензия
Если не указано иное, содержание этой страницы доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial-NoDerivatives» 4.0, а примеры кода – по лицензии Apache 2.0. Подробнее см. Условия использования.