Дискретизация сигнала — различия между версиями

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 16:24, 14 ноября 2016.
(Новая страница: «{{Учебная дисциплина | Название дисциплины = Обнаружение и распознавание сигналов | Разд…»)
 
 
(не показано 7 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{Учебная дисциплина
+
 
| Название дисциплины  = Обнаружение и распознавание сигналов
+
| Раздел              = 2. Анализ регулярных сигналов
+
| Глава                = 2.2 Дискретизация и квантование пространственных сигналов.
+
| Преподаватель        = [[Чичварин,_Николай_Викторович|Чичварин Н. В.]]
+
}}
+
  
 
'''Дискретизация сигнала''' — замена непрерывного сигнала последовательностью чисел, являющихся представлением этого сигнала по какому-либо базису.
 
'''Дискретизация сигнала''' — замена непрерывного сигнала последовательностью чисел, являющихся представлением этого сигнала по какому-либо базису.
Строка 15: Строка 10:
  
 
На каждом из упомянутых шагов происходит искажение сигнала. '''Первая задача цифровой обработки''' заключается в оценке искажения исходного сигнала. '''Дальнейшая обработка''' состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации и подавлении шумов. Это осуществляется с помощью ''цифровой фильтрации''. Даже оцифрованный сигнал занимает много места, и '''следующий шаг обработки''' заключается в сжатии сигнала. Обычно имеется ввиду ''сжатие с потерей информации''. Здесь важно установить '''''критерий допустимой потери информации'''''. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Хотя последовательность бесконечна, в реальных условиях мы имеем дело лишь с конечными последовательностями. В этой связи нужна оценка потерь, связанных с усечением последовательностей.
 
На каждом из упомянутых шагов происходит искажение сигнала. '''Первая задача цифровой обработки''' заключается в оценке искажения исходного сигнала. '''Дальнейшая обработка''' состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации и подавлении шумов. Это осуществляется с помощью ''цифровой фильтрации''. Даже оцифрованный сигнал занимает много места, и '''следующий шаг обработки''' заключается в сжатии сигнала. Обычно имеется ввиду ''сжатие с потерей информации''. Здесь важно установить '''''критерий допустимой потери информации'''''. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Хотя последовательность бесконечна, в реальных условиях мы имеем дело лишь с конечными последовательностями. В этой связи нужна оценка потерь, связанных с усечением последовательностей.
 +
 +
== Дискретизация на основе теоремы отсчетов (Котельникова) ==
 +
 +
Дискретизация на основе '''''теоремы отсчетов''''' ([[Теорема Котельникова|теорема Котельникова]]) - cамый распространенный способ дискретизации. Сигналы,спектр Фурье которых равен нулю за пределами интервала <math> (-F,F)\!</math>, могут восстановлены по своим отсчетам, взятым с шагом <math> \Delta t=\frac{1}{2F}\!</math>:
 +
 +
<math> U(t)=\int\limits_{k=-\infty}^{+\infty}U(k\Delta t)sinc(2\pi F(t- \frac{k}{2F}))\!</math> <math>\quad \quad {\color{Maroon}(2.1)}</math>
 +
 +
где <math>U(k\Delta t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}U(t)sinc(2\pi F(t- \frac{k}{2F}))\!</math> <math>\quad \quad {\color{Maroon}(2.2)}</math>
 +
 +
или <math>U(k\Delta t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}U(t)S(t- \frac{k}{2F}))\!</math>, отсчеты берутся в точках <math> (t= \frac{k}{2F}))\!</math>
 +
 +
{{Теорема|Прямое и обратное разложения в спектр Фурье|
 +
'''Прямое и обратное разложения в спектр Фурье''' описываются соответственно следующими выражениями:
 +
 +
<math>\tilde{U}_\Phi(f)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}U(t)exp[2\pi  t i]dt \!</math> <math>\quad \quad {\color{Maroon}(2.3)}</math>
 +
 +
<math>U(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\tilde{U}_\Phi(f)exp(-2\pi f t i)df\!</math>
 +
|
 +
Так как спектр <math>U_\Phi(f)\!</math>ограничен интервалом <math> (-F,F)\!</math>,то его можно разложить в ряд Фурье
 +
 +
<math>\begin{align}
 +
U(t) & =\int\limits_{-F}^{F}U_\Phi (f)exp(-2\pi fti)df=\int\limits_{-F}^{F} \sum_{l=-\infty}^{+\infty} x(l)exp(+i\pi fl\Delta t)exp(-2\pi fti)df= \\
 +
& =\sum_{l=-\infty}^{+\infty}x(l)\int\limits_{-F}^{F}exp[2\pi if(t- \frac{k}{2F})]df=\sum_{l=-\infty}^{+\infty}x(l)\frac{2sin[2\pi F(t-\frac{k}{2F})]}{2\pi(t-\frac{k}{2F}) } \\
 +
\end{align} \!</math>
 +
 +
По определению коэффициентов Фурье:
 +
 +
<math>x(l)=\frac{1}{2}F^{-1} \int\limits_{-F}^{F}U_\Phi (f)exp(\frac{2\pi ifl}{2F})df=\frac{1}{2}F^{-1}\left(\frac{1}{2F} \right)=\frac{1}{2}FU(l\Delta t)\!</math>
 +
 +
Таким образом, если взять отсчеты функции <math>U(t)\!</math>в точках  <math>t= \frac{k}{2F}\!</math>, удаленных друг от друга на величину  <math>\Delta t= \frac{1}{2F}\!</math> (''частота Найквиста''), то функцию <math>U(t)\!</math> можно абсолютно точно восстановить по этим отсчетам.
 +
 +
''Двумерный случай'':
 +
 +
<center><math>U(x,y)=\sum_{k_1=-\infty}^{+\infty}\sum_{k_2=-\infty}^{+\infty}U(\frac{k_1}{2F_1},\frac{k_2}{2F_2})sinc2\pi F_1(t_1- \frac{k_1}{2F_1})sinc2\pi F_2(t_2- \frac{k_2}{2F_2})\!</math> <math>\quad \quad {\color{Maroon}(2.4)}</math></center>
 +
 +
: где <math>U(\frac{k_1}{2F_1},\frac{k_2}{2F_2})\!</math> — отсчеты на двумерном прямоугольном реестре с шагом <math>\frac{1}{2F_1}\!</math>по оси х и <math>\frac{1}{2F_2}\!</math>по оси у.
 +
 +
}}
 +
 +
== Дискретизация функций с реальным спектром ==
 +
 +
Реальные функции имеют спектр , как правило, вида рис.1
 +
 +
[[Файл:D2.1_new.png|thumb|right|250px|Рис.1]]
 +
 +
Учет так называемых "хвостов" резко увеличивает вычислительные затраты. Нельзя точно восстановить сигнал по теореме Котельникова.
 +
 +
Для того , чтобы не возникало искажений, нужно пропустить изображение через фильтр низких частот- "окно", который устраняет высокочастотные составляющие и ограничивает спектр.
 +
[[Файл:D2.2_new.png|thumb|right|300px|Рис. 2. Строб-эффект]]
 +
 +
[[Файл:D2.3_new.png|thumb|right|300px|Рис. 3. Муар-эффект]]
 +
Примеры фильтров "окон".
 +
# Прямоугольное окно <br><math>rect(\frac{f+F}{2F})=\begin{cases}1,|f|\le F \\
 +
0,|f| \ge F\end{cases} </math>  <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.1) \,\!</math>
 +
# Окно Хэннинга <br> <math>W(f)=\begin{cases} \frac{1}{2} (1+cos(\frac{\pi f}{F}), & |f|\le F \\ 0,\quad |f| \ge F \end{cases} \,\!</math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.2) \,\!</math>
 +
# Окно Кайзера <br> <math>W(f)=\begin{cases} \frac{I_0(\alpha\sqrt{1-{(\frac{f}{\tau}})}^2}{I_0(\alpha)}, & |f|\le F\\ 0, \quad |f| \ge F \end{cases} \quad \quad \color{Maroon} (3.3) \,\!</math>
 +
 +
Рассмотрим, что будет, если:
 +
*а) спектр сигнала не является конечным, т.е. как на рисунке рис. 1.;
 +
*b) если восстанавливающий фильтр имеет полосу пропускания <math> (-F,F)\!</math> шире, чем спектр сигнала.
 +
 +
<math>\color{Blue} a)\,\!</math> Процедуру восстановления сигнала по его отсчетам <math> a(k\Delta t)\!</math> можно представить, как результат пропускания через идеальный фильтр низких частот <math> \lambda_d(t)=\frac{1}{\Delta t}sinc(\frac{\pi t}{\Delta t})\!</math> и частотной характеристикой:
 +
 +
<center><math> H_d(t)=rect(f+\frac{1}{2\Delta t}) \quad \quad \color{Maroon} (3.4) \,\!</math></center>
 +
 +
непрерывного сигнала <math> U(t) \quad= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} U(k\Delta t)f(t-k\Delta t)\!</math>
 +
 +
спектр которого — периодически продолженный с периодом <math>\frac{1}{\Delta t}\!</math>спектр сигнала <math>U(t)\!</math>
 +
 +
<center><math> \tilde{U_\Phi}(f) \quad =\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\tilde{U}_\Phi(f-\frac{m}{\Delta t}) \quad \quad \color{Maroon} (3.5) \,\!</math></center>
 +
 +
Если спектр <math>\tilde{U}_\Phi(f)\!</math> )  ограничен <math> (-F,F)\!</math>, то выделяется строго один период спектра, соответствующий <math> m=0\!</math> и равный спектру <math>U(t)\!</math>.
 +
 +
Если спектр <math>U(t)\!</math>шире <math> (-F,F)\!</math>,то происходит перекрытие соседних периодов спектра сигнала <math> \tilde{U}(t) \quad\!</math> и уже невозможно выделить спектр сигнала в чистом виде. Это явление называется строб-эффектом
 +
 +
 +
<math>\color{Blue} b)\,\!</math> Во втором случае в восстановленный после растрирования с шагом <math>\Delta t\,\!</math> непрерывный сигнал попадают компоненты исходного сигнала из плюс-минус первого порядка периодически продолжительного спектра
 +
 +
Это явление называется '''муар-эффектом'''.
 +
 +
==См. также==
 +
*[[Модели нормированных сигналов]]
 +
*[[Квантование сигналов]]
 +
 +
 +
[[Категория : Обнаружение и распознавание сигналов]]

Текущая версия на 16:24, 14 ноября 2016


Дискретизация сигнала — замена непрерывного сигнала последовательностью чисел, являющихся представлением этого сигнала по какому-либо базису.

Постановка задачи

Пусть имеется непрерывный сигнал ,заданный на интервале . При переходе к оцифровке происходит следующая операция. Выбирается шаг дискретизации , и вместо исходного сигнала получается последовательность .Далее, выбирается формат оцифровки . Обычно он бывает кратным 8, хотя это необязательно. Предположим что существует такое число , что выполнены неравенства: для всех .Интервал разбивается на частей. После этого каждое значение заменяеться новой последовательностью , но теперь каждый новый член последовательности принимает значение из интервала .При желании вместо указанного представления можно перейти к представлению сигнала целыми числами со знаком.

На каждом из упомянутых шагов происходит искажение сигнала. Первая задача цифровой обработки заключается в оценке искажения исходного сигнала. Дальнейшая обработка состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации и подавлении шумов. Это осуществляется с помощью цифровой фильтрации. Даже оцифрованный сигнал занимает много места, и следующий шаг обработки заключается в сжатии сигнала. Обычно имеется ввиду сжатие с потерей информации. Здесь важно установить критерий допустимой потери информации. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Хотя последовательность бесконечна, в реальных условиях мы имеем дело лишь с конечными последовательностями. В этой связи нужна оценка потерь, связанных с усечением последовательностей.

Дискретизация на основе теоремы отсчетов (Котельникова)

Дискретизация на основе теоремы отсчетов (теорема Котельникова) - cамый распространенный способ дискретизации. Сигналы,спектр Фурье которых равен нулю за пределами интервала , могут восстановлены по своим отсчетам, взятым с шагом :

где

или , отсчеты берутся в точках

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Прямое и обратное разложения в спектр Фурье

Прямое и обратное разложения в спектр Фурье описываются соответственно следующими выражениями:

Доказательство

Так как спектр ограничен интервалом ,то его можно разложить в ряд Фурье

По определению коэффициентов Фурье:

Таким образом, если взять отсчеты функции в точках , удаленных друг от друга на величину (частота Найквиста), то функцию можно абсолютно точно восстановить по этим отсчетам.

Двумерный случай:

где — отсчеты на двумерном прямоугольном реестре с шагом по оси х и по оси у.


Дискретизация функций с реальным спектром

Реальные функции имеют спектр , как правило, вида рис.1

Рис.1

Учет так называемых "хвостов" резко увеличивает вычислительные затраты. Нельзя точно восстановить сигнал по теореме Котельникова.

Для того , чтобы не возникало искажений, нужно пропустить изображение через фильтр низких частот- "окно", который устраняет высокочастотные составляющие и ограничивает спектр.

Рис. 2. Строб-эффект
Рис. 3. Муар-эффект

Примеры фильтров "окон".

  1. Прямоугольное окно
  2. Окно Хэннинга
  3. Окно Кайзера

Рассмотрим, что будет, если:

  • а) спектр сигнала не является конечным, т.е. как на рисунке рис. 1.;
  • b) если восстанавливающий фильтр имеет полосу пропускания шире, чем спектр сигнала.

Процедуру восстановления сигнала по его отсчетам можно представить, как результат пропускания через идеальный фильтр низких частот и частотной характеристикой:

непрерывного сигнала

спектр которого — периодически продолженный с периодом спектр сигнала

Если спектр ) ограничен , то выделяется строго один период спектра, соответствующий и равный спектру .

Если спектр шире ,то происходит перекрытие соседних периодов спектра сигнала и уже невозможно выделить спектр сигнала в чистом виде. Это явление называется строб-эффектом


Во втором случае в восстановленный после растрирования с шагом непрерывный сигнал попадают компоненты исходного сигнала из плюс-минус первого порядка периодически продолжительного спектра

Это явление называется муар-эффектом.

См. также