Дискретизация сигнала — различия между версиями
(→Дискретизация на основе теоремы отсчетов (Котельникова)) |
(→Дискретизация функций с реальным спектром) |
||
Строка 55: | Строка 55: | ||
== Дискретизация функций с реальным спектром == | == Дискретизация функций с реальным спектром == | ||
+ | |||
+ | Реальные функции имеют спектр , как правило, вида рис.1 | ||
+ | |||
+ | [[Файл:D2.1_new.png|thumb|right|250px|Рис.1]] | ||
+ | |||
+ | Учет так называемых "хвостов" резко увеличивает вычислительные затраты. Нельзя точно восстановить сигнал по теореме Котельникова. | ||
+ | |||
+ | Для того , чтобы не возникало искажений, нужно пропустить изображение через фильтр низких частот- "окно", который устраняет высокочастотные составляющие и ограничивает спектр. | ||
+ | |||
+ | Примеры фильтров "окон". | ||
+ | |||
+ | 1.Прямоугольное окно | ||
+ | |||
+ | <math>rect(\frac{f+F}{2F})=\begin{cases}1,|f|\le F \\ | ||
+ | 0,|f| \ge F\end{cases} </math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.1) \,\!</math> | ||
+ | |||
+ | 2.Окно Хэннинга | ||
+ | |||
+ | <math>W(f)=\begin{cases} \frac{1}{2} (1+cos(\frac{\pi f}{F}), & pri |f|\le F \\ 0\ v\ ostalnih\ sluchayah \end{cases} \,\!</math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.2) \,\!</math> | ||
+ | |||
+ | 3. Окно Кайзера | ||
+ | |||
+ | <math>W(f)=\begin{cases} \frac{I_0(\alpha\sqrt{1-{(\frac{f}{\tau}})}^2}{I_0(\alpha)}, & pri |f|\le F\ \alpha\ moget\ var'irovatsya \\ 0\ v\ ostalnih\ sluchayah \end{cases} \,\!</math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.3) \,\!</math> | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим, что будет, если: | ||
+ | |||
+ | *а) спектр сигнала не является конечным, т.е. как на рисунке рис. 1.; | ||
+ | *b) если восстанавливающий фильтр имеет полосу пропускания <math> (-F,F)\!</math> шире, чем спектр сигнала. | ||
+ | |||
+ | [[Файл:D2.2_new.png|thumb|right|300px|Рис.2 Строб-эффект]] | ||
+ | |||
+ | [[Файл:D2.3_new.png|thumb|right|300px|Рис.3 Муар-эффект]] | ||
+ | |||
+ | <math>\color{Blue} a)\,\!</math> Процедуру восстановления сигнала по его отсчетам <math> a(k\Delta t)\!</math> можно представить, как результат пропускания через идеальный фильтр низких частот <math> \lambda_d(t)=\frac{1}{\Delta t}sinc(\frac{\pi t}{\Delta t})\!</math> и частотной характеристикой: | ||
+ | |||
+ | <math> H_d(t)=rect(f+\frac{1}{2\Delta t}) \!</math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.4) \,\!</math> | ||
+ | |||
+ | непрерывного сигнала <math> U(t) \quad= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} U(k\Delta t)f(t-k\Delta t)\!</math> | ||
+ | |||
+ | спектр которого — периодически продолженный с периодом <math>\frac{1}{\Delta t}\!</math>спектр сигнала <math>U(t)\!</math> | ||
+ | |||
+ | <math> \tilde{U_\Phi}(f) \quad =\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\tilde{U}_\Phi(f-\frac{m}{\Delta t}) \!</math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.5) \,\!</math> | ||
+ | |||
+ | Если спектр <math>\tilde{U}_\Phi(f)\!</math> ) ограничен <math> (-F,F)\!</math>, то выделяется строго один период спектра, соответствующий<math> m=0\!</math> и равный спектру <math>U(t)\!</math>. | ||
+ | |||
+ | Если спектр <math>U(t)\!</math>шире <math> (-F,F)\!</math>,то происходит перекрытие соседних периодов спектра сигнала <math> \tilde{U}(t) \quad\!</math> и уже невозможно выделить спектр сигнала в чистом виде. Это явление называется строб-эффектом | ||
+ | |||
+ | <math>\color{Blue} b)\,\!</math> Во втором случае в восстановленный после растрирования с шагом <math>\Delta t\,\!</math> непрерывный сигнал попадают компоненты исходного сигнала из плюс-минус первого порядка периодически продолжительного спектра | ||
+ | |||
+ | Это явление называется '''муар-эффектом'''. |
Версия 15:54, 29 марта 2016
Статья по учебной дисциплине | |
Название дисциплины: |
Обнаружение и распознавание сигналов |
---|---|
Раздел: |
2. Анализ регулярных сигналов |
Глава: |
2.2 Дискретизация и квантование пространственных сигналов. |
Преподаватель: |
Дискретизация сигнала — замена непрерывного сигнала последовательностью чисел, являющихся представлением этого сигнала по какому-либо базису.
Содержание
Постановка задачи
Пусть имеется непрерывный сигнал ,заданный на интервале . При переходе к оцифровке происходит следующая операция. Выбирается шаг дискретизации , и вместо исходного сигнала получается последовательность .Далее, выбирается формат оцифровки . Обычно он бывает кратным 8, хотя это необязательно. Предположим что существует такое число , что выполнены неравенства: для всех .Интервал разбивается на частей. После этого каждое значение заменяеться новой последовательностью , но теперь каждый новый член последовательности принимает значение из интервала .При желании вместо указанного представления можно перейти к представлению сигнала целыми числами со знаком.
На каждом из упомянутых шагов происходит искажение сигнала. Первая задача цифровой обработки заключается в оценке искажения исходного сигнала. Дальнейшая обработка состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации и подавлении шумов. Это осуществляется с помощью цифровой фильтрации. Даже оцифрованный сигнал занимает много места, и следующий шаг обработки заключается в сжатии сигнала. Обычно имеется ввиду сжатие с потерей информации. Здесь важно установить критерий допустимой потери информации. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Хотя последовательность бесконечна, в реальных условиях мы имеем дело лишь с конечными последовательностями. В этой связи нужна оценка потерь, связанных с усечением последовательностей.
Дискретизация на основе теоремы отсчетов (Котельникова)
Дискретизация на основе теоремы отсчетов (теорема Котельникова) - cамый распространенный способ дискретизации. Сигналы,спектр Фурье которых равен нулю за пределами интервала , могут восстановлены по своим отсчетам, взятым с шагом :
где
или , отсчеты берутся в точках
![]() |
---|
Прямое и обратное разложения в спектр Фурье описываются соответственно следующими выражениями:
|
Доказательство
|
Так как спектр ограничен интервалом ,то его можно разложить в ряд Фурье
По определению коэффициентов Фурье:
Таким образом, если взять отсчеты функции в точках , удаленных друг от друга на величину (частота Найквиста), то функцию можно абсолютно точно восстановить по этим отсчетам. Двумерный случай:
|
Дискретизация функций с реальным спектром
Реальные функции имеют спектр , как правило, вида рис.1
Учет так называемых "хвостов" резко увеличивает вычислительные затраты. Нельзя точно восстановить сигнал по теореме Котельникова.
Для того , чтобы не возникало искажений, нужно пропустить изображение через фильтр низких частот- "окно", который устраняет высокочастотные составляющие и ограничивает спектр.
Примеры фильтров "окон".
1.Прямоугольное окно
2.Окно Хэннинга
3. Окно Кайзера
Рассмотрим, что будет, если:
- а) спектр сигнала не является конечным, т.е. как на рисунке рис. 1.;
- b) если восстанавливающий фильтр имеет полосу пропускания шире, чем спектр сигнала.
Процедуру восстановления сигнала по его отсчетам можно представить, как результат пропускания через идеальный фильтр низких частот и частотной характеристикой:
непрерывного сигнала
спектр которого — периодически продолженный с периодом спектр сигнала
Если спектр ) ограничен , то выделяется строго один период спектра, соответствующий и равный спектру .
Если спектр шире ,то происходит перекрытие соседних периодов спектра сигнала и уже невозможно выделить спектр сигнала в чистом виде. Это явление называется строб-эффектом
Во втором случае в восстановленный после растрирования с шагом непрерывный сигнал попадают компоненты исходного сигнала из плюс-минус первого порядка периодически продолжительного спектра
Это явление называется муар-эффектом.
ISSN 2542-0356
Следуй за Полисом
Оставайся в курсе последних событий
Лицензия
Если не указано иное, содержание этой страницы доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial-NoDerivatives» 4.0, а примеры кода – по лицензии Apache 2.0. Подробнее см. Условия использования.