Версия 15:54, 29 марта 2016

Дискретизация сигнала — замена непрерывного сигнала последовательностью чисел, являющихся представлением этого сигнала по какому-либо базису.

Постановка задачи

Пусть имеется непрерывный сигнал ${\displaystyle x(t)\!}$,заданный на интервале ${\displaystyle [0,+\infty )\!}$. При переходе к оцифровке происходит следующая операция. Выбирается шаг дискретизации ${\displaystyle T\,\!}$, и вместо исходного сигнала получается последовательность ${\displaystyle y[n]=x(nT),n=0,1,2...\!}$.Далее, выбирается формат оцифровки ${\displaystyle r\,\!}$. Обычно он бывает кратным 8, хотя это необязательно. Предположим что существует такое число ${\displaystyle M\,\!}$, что выполнены неравенства:${\displaystyle -M\leq y[n]\leq M\!}$ для всех ${\displaystyle n\!}$.Интервал ${\displaystyle [-M,M]\!}$ разбивается на ${\displaystyle 2^{n}\!}$ частей. После этого каждое значение ${\displaystyle y[n]\!}$ заменяеться новой последовательностью ${\displaystyle z[n]\!}$ , но теперь каждый новый член последовательности принимает значение из интервала${\displaystyle [0,2^{n}-1]\!}$ .При желании вместо указанного представления можно перейти к представлению сигнала целыми числами со знаком.

На каждом из упомянутых шагов происходит искажение сигнала. Первая задача цифровой обработки заключается в оценке искажения исходного сигнала. Дальнейшая обработка состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации и подавлении шумов. Это осуществляется с помощью цифровой фильтрации. Даже оцифрованный сигнал занимает много места, и следующий шаг обработки заключается в сжатии сигнала. Обычно имеется ввиду сжатие с потерей информации. Здесь важно установить критерий допустимой потери информации. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Хотя последовательность бесконечна, в реальных условиях мы имеем дело лишь с конечными последовательностями. В этой связи нужна оценка потерь, связанных с усечением последовательностей.

Дискретизация на основе теоремы отсчетов (Котельникова)

Дискретизация на основе теоремы отсчетов (теорема Котельникова) - cамый распространенный способ дискретизации. Сигналы,спектр Фурье которых равен нулю за пределами интервала ${\displaystyle (-F,F)\!}$, могут восстановлены по своим отсчетам, взятым с шагом ${\displaystyle \Delta t={\frac {1}{2F}}\!}$:

${\displaystyle U(t)=\int \limits _{k=-\infty }^{+\infty }U(k\Delta t)sinc(2\pi F(t-{\frac {k}{2F}}))\!}$ ${\displaystyle \quad \quad {\color {Maroon}(2.1)}}$

где ${\displaystyle U(k\Delta t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }U(t)sinc(2\pi F(t-{\frac {k}{2F}}))\!}$ ${\displaystyle \quad \quad {\color {Maroon}(2.2)}}$

или ${\displaystyle U(k\Delta t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }U(t)S(t-{\frac {k}{2F}}))\!}$, отсчеты берутся в точках ${\displaystyle (t={\frac {k}{2F}}))\!}$

Теорема Прямое и обратное разложения в спектр Фурье
Прямое и обратное разложения в спектр Фурье описываются соответственно следующими выражениями: ${\displaystyle {\tilde {U}}_{\Phi }(f)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }U(t)exp[2\pi ti]dt\!}$ ${\displaystyle \quad \quad {\color {Maroon}(2.3)}}$ ${\displaystyle U(t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\tilde {U}}_{\Phi }(f)exp(-2\pi fti)df\!}$
Доказательство
Так как спектр ${\displaystyle U_{\Phi }(f)\!}$ограничен интервалом ${\displaystyle (-F,F)\!}$,то его можно разложить в ряд Фурье ${\displaystyle {\begin{aligned}U(t)&=\int \limits _{-F}^{F}U_{\Phi }(f)exp(-2\pi fti)df=\int \limits _{-F}^{F}\sum _{l=-\infty }^{+\infty }x(l)exp(+i\pi fl\Delta t)exp(-2\pi fti)df=\\&=\sum _{l=-\infty }^{+\infty }x(l)\int \limits _{-F}^{F}exp[2\pi if(t-{\frac {k}{2F}})]df=\sum _{l=-\infty }^{+\infty }x(l){\frac {2sin[2\pi F(t-{\frac {k}{2F}})]}{2\pi (t-{\frac {k}{2F}})}}\\\end{aligned}}\!}$ По определению коэффициентов Фурье: ${\displaystyle x(l)={\frac {1}{2}}F^{-1}\int \limits _{-F}^{F}U_{\Phi }(f)exp({\frac {2\pi ifl}{2F}})df={\frac {1}{2}}F^{-1}\left({\frac {1}{2F}}\right)={\frac {1}{2}}FU(l\Delta t)\!}$ Таким образом, если взять отсчеты функции ${\displaystyle U(t)\!}$в точках ${\displaystyle t={\frac {k}{2F}}\!}$, удаленных друг от друга на величину ${\displaystyle \Delta t={\frac {1}{2F}}\!}$ (частота Найквиста), то функцию ${\displaystyle U(t)\!}$ можно абсолютно точно восстановить по этим отсчетам. Двумерный случай: ${\displaystyle U(x,y)=\sum _{k_{1}=-\infty }^{+\infty }\sum _{k_{2}=-\infty }^{+\infty }U({\frac {k_{1}}{2F_{1}}},{\frac {k_{2}}{2F_{2}}})sinc2\pi F_{1}(t_{1}-{\frac {k_{1}}{2F_{1}}})sinc2\pi F_{2}(t_{2}-{\frac {k_{2}}{2F_{2}}})\!}$ ${\displaystyle \quad \quad {\color {Maroon}(2.4)}}$ где ${\displaystyle U({\frac {k_{1}}{2F_{1}}},{\frac {k_{2}}{2F_{2}}})\!}$ — отсчеты на двумерном прямоугольном реестре с шагом ${\displaystyle {\frac {1}{2F_{1}}}\!}$по оси х и ${\displaystyle {\frac {1}{2F_{2}}}\!}$по оси у.

Дискретизация функций с реальным спектром

Реальные функции имеют спектр , как правило, вида рис.1

Рис.1

Учет так называемых "хвостов" резко увеличивает вычислительные затраты. Нельзя точно восстановить сигнал по теореме Котельникова.

Для того , чтобы не возникало искажений, нужно пропустить изображение через фильтр низких частот- "окно", который устраняет высокочастотные составляющие и ограничивает спектр.

Примеры фильтров "окон".

1.Прямоугольное окно

${\displaystyle rect({\frac {f+F}{2F}})={\begin{cases}1,|f|\leq F\\0,|f|\geq F\end{cases}}}$ ${\displaystyle \quad \quad \color {Maroon}(3.1)\,\!}$

2.Окно Хэннинга

${\displaystyle W(f)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(1+cos({\frac {\pi f}{F}}),&pri|f|\leq F\\0\ v\ ostalnih\ sluchayah\end{cases}}\,\!}$ ${\displaystyle \quad \quad \color {Maroon}(3.2)\,\!}$

3. Окно Кайзера

${\displaystyle W(f)={\begin{cases}{\frac {I_{0}(\alpha {\sqrt {1-{({\frac {f}{\tau }}})}}^{2}}{I_{0}(\alpha )}},&pri|f|\leq F\ \alpha \ moget\ var'irovatsya\\0\ v\ ostalnih\ sluchayah\end{cases}}\,\!}$ ${\displaystyle \quad \quad \color {Maroon}(3.3)\,\!}$

Рассмотрим, что будет, если:

• а) спектр сигнала не является конечным, т.е. как на рисунке рис. 1.;
• b) если восстанавливающий фильтр имеет полосу пропускания ${\displaystyle (-F,F)\!}$ шире, чем спектр сигнала.

Рис.2 Строб-эффект

Рис.3 Муар-эффект

${\displaystyle \color {Blue}a)\,\!}$ Процедуру восстановления сигнала по его отсчетам ${\displaystyle a(k\Delta t)\!}$ можно представить, как результат пропускания через идеальный фильтр низких частот ${\displaystyle \lambda _{d}(t)={\frac {1}{\Delta t}}sinc({\frac {\pi t}{\Delta t}})\!}$ и частотной характеристикой:

${\displaystyle H_{d}(t)=rect(f+{\frac {1}{2\Delta t}})\!}$ ${\displaystyle \quad \quad \color {Maroon}(3.4)\,\!}$

непрерывного сигнала ${\displaystyle U(t)\quad =\sum _{k=-\infty }^{+\infty }U(k\Delta t)f(t-k\Delta t)\!}$

спектр которого — периодически продолженный с периодом ${\displaystyle {\frac {1}{\Delta t}}\!}$спектр сигнала ${\displaystyle U(t)\!}$

${\displaystyle {\tilde {U_{\Phi }}}(f)\quad =\sum _{m=-\infty }^{+\infty }{\tilde {U}}_{\Phi }(f-{\frac {m}{\Delta t}})\!}$ ${\displaystyle \quad \quad \color {Maroon}(3.5)\,\!}$

Если спектр ${\displaystyle {\tilde {U}}_{\Phi }(f)\!}$ ) ограничен ${\displaystyle (-F,F)\!}$, то выделяется строго один период спектра, соответствующий${\displaystyle m=0\!}$ и равный спектру ${\displaystyle U(t)\!}$.

Если спектр ${\displaystyle U(t)\!}$шире ${\displaystyle (-F,F)\!}$,то происходит перекрытие соседних периодов спектра сигнала ${\displaystyle {\tilde {U}}(t)\quad \!}$ и уже невозможно выделить спектр сигнала в чистом виде. Это явление называется строб-эффектом

${\displaystyle \color {Blue}b)\,\!}$ Во втором случае в восстановленный после растрирования с шагом ${\displaystyle \Delta t\,\!}$ непрерывный сигнал попадают компоненты исходного сигнала из плюс-минус первого порядка периодически продолжительного спектра

Это явление называется муар-эффектом.