Дискретизация сигнала — различия между версиями

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
(Дискретизация на основе теоремы отсчетов (Котельникова))
(Дискретизация функций с реальным спектром)
Строка 55: Строка 55:
  
 
== Дискретизация функций с реальным спектром ==
 
== Дискретизация функций с реальным спектром ==
 +
 +
Реальные функции имеют спектр , как правило, вида рис.1
 +
 +
[[Файл:D2.1_new.png|thumb|right|250px|Рис.1]]
 +
 +
Учет так называемых "хвостов" резко увеличивает вычислительные затраты. Нельзя точно восстановить сигнал по теореме Котельникова.
 +
 +
Для того , чтобы не возникало искажений, нужно пропустить изображение через фильтр низких частот- "окно", который устраняет высокочастотные составляющие и ограничивает спектр.
 +
 +
Примеры фильтров "окон".
 +
 +
1.Прямоугольное окно
 +
 +
<math>rect(\frac{f+F}{2F})=\begin{cases}1,|f|\le F \\
 +
0,|f| \ge F\end{cases} </math>  <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.1) \,\!</math>
 +
 +
2.Окно Хэннинга
 +
 +
<math>W(f)=\begin{cases} \frac{1}{2} (1+cos(\frac{\pi f}{F}), & pri |f|\le F \\ 0\ v\ ostalnih\ sluchayah \end{cases} \,\!</math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.2) \,\!</math>
 +
 +
3. Окно Кайзера
 +
 +
<math>W(f)=\begin{cases} \frac{I_0(\alpha\sqrt{1-{(\frac{f}{\tau}})}^2}{I_0(\alpha)}, & pri |f|\le F\ \alpha\ moget\ var'irovatsya \\ 0\ v\ ostalnih\ sluchayah \end{cases} \,\!</math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.3) \,\!</math>
 +
 +
Рассмотрим, что будет, если:
 +
 +
*а) спектр сигнала не является конечным, т.е. как на рисунке рис. 1.;
 +
*b) если восстанавливающий фильтр имеет полосу пропускания <math> (-F,F)\!</math> шире, чем спектр сигнала.
 +
 +
[[Файл:D2.2_new.png|thumb|right|300px|Рис.2 Строб-эффект]]
 +
 +
[[Файл:D2.3_new.png|thumb|right|300px|Рис.3 Муар-эффект]]
 +
 +
<math>\color{Blue} a)\,\!</math> Процедуру восстановления сигнала по его отсчетам <math> a(k\Delta t)\!</math> можно представить, как результат пропускания через идеальный фильтр низких частот <math> \lambda_d(t)=\frac{1}{\Delta t}sinc(\frac{\pi t}{\Delta t})\!</math> и частотной характеристикой:
 +
 +
<math> H_d(t)=rect(f+\frac{1}{2\Delta t}) \!</math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.4) \,\!</math> 
 +
 +
непрерывного сигнала <math> U(t) \quad= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} U(k\Delta t)f(t-k\Delta t)\!</math>
 +
 +
спектр которого — периодически продолженный с периодом <math>\frac{1}{\Delta t}\!</math>спектр сигнала <math>U(t)\!</math>
 +
 +
<math> \tilde{U_\Phi}(f) \quad =\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\tilde{U}_\Phi(f-\frac{m}{\Delta t}) \!</math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.5) \,\!</math>
 +
 +
Если спектр <math>\tilde{U}_\Phi(f)\!</math> )    ограничен <math> (-F,F)\!</math>, то    выделяется    строго    один    период  спектра, соответствующий<math> m=0\!</math> и равный спектру <math>U(t)\!</math>.
 +
 +
Если спектр <math>U(t)\!</math>шире <math> (-F,F)\!</math>,то происходит перекрытие соседних периодов спектра сигнала <math> \tilde{U}(t) \quad\!</math> и уже невозможно выделить спектр сигнала в чистом виде. Это явление называется строб-эффектом
 +
 +
<math>\color{Blue} b)\,\!</math> Во втором случае в восстановленный после растрирования с шагом <math>\Delta t\,\!</math> непрерывный сигнал попадают компоненты исходного сигнала из плюс-минус первого порядка периодически продолжительного спектра
 +
 +
Это явление называется '''муар-эффектом'''.

Версия 15:54, 29 марта 2016

Статья по учебной дисциплине
Название дисциплины:

Обнаружение и распознавание сигналов

Раздел:

2. Анализ регулярных сигналов

Глава:

2.2 Дискретизация и квантование пространственных сигналов.

Преподаватель:

Чичварин Н. В.

Дискретизация сигнала — замена непрерывного сигнала последовательностью чисел, являющихся представлением этого сигнала по какому-либо базису.

Постановка задачи

Пусть имеется непрерывный сигнал ,заданный на интервале . При переходе к оцифровке происходит следующая операция. Выбирается шаг дискретизации , и вместо исходного сигнала получается последовательность .Далее, выбирается формат оцифровки . Обычно он бывает кратным 8, хотя это необязательно. Предположим что существует такое число , что выполнены неравенства: для всех .Интервал разбивается на частей. После этого каждое значение заменяеться новой последовательностью , но теперь каждый новый член последовательности принимает значение из интервала .При желании вместо указанного представления можно перейти к представлению сигнала целыми числами со знаком.

На каждом из упомянутых шагов происходит искажение сигнала. Первая задача цифровой обработки заключается в оценке искажения исходного сигнала. Дальнейшая обработка состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации и подавлении шумов. Это осуществляется с помощью цифровой фильтрации. Даже оцифрованный сигнал занимает много места, и следующий шаг обработки заключается в сжатии сигнала. Обычно имеется ввиду сжатие с потерей информации. Здесь важно установить критерий допустимой потери информации. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Хотя последовательность бесконечна, в реальных условиях мы имеем дело лишь с конечными последовательностями. В этой связи нужна оценка потерь, связанных с усечением последовательностей.

Дискретизация на основе теоремы отсчетов (Котельникова)

Дискретизация на основе теоремы отсчетов (теорема Котельникова) - cамый распространенный способ дискретизации. Сигналы,спектр Фурье которых равен нулю за пределами интервала , могут восстановлены по своим отсчетам, взятым с шагом :

где

или , отсчеты берутся в точках

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Прямое и обратное разложения в спектр Фурье

Прямое и обратное разложения в спектр Фурье описываются соответственно следующими выражениями:

Доказательство

Так как спектр ограничен интервалом ,то его можно разложить в ряд Фурье

По определению коэффициентов Фурье:

Таким образом, если взять отсчеты функции в точках , удаленных друг от друга на величину (частота Найквиста), то функцию можно абсолютно точно восстановить по этим отсчетам.

Двумерный случай:

где — отсчеты на двумерном прямоугольном реестре с шагом по оси х и по оси у.


Дискретизация функций с реальным спектром

Реальные функции имеют спектр , как правило, вида рис.1

Рис.1

Учет так называемых "хвостов" резко увеличивает вычислительные затраты. Нельзя точно восстановить сигнал по теореме Котельникова.

Для того , чтобы не возникало искажений, нужно пропустить изображение через фильтр низких частот- "окно", который устраняет высокочастотные составляющие и ограничивает спектр.

Примеры фильтров "окон".

1.Прямоугольное окно

2.Окно Хэннинга

3. Окно Кайзера

Рассмотрим, что будет, если:

  • а) спектр сигнала не является конечным, т.е. как на рисунке рис. 1.;
  • b) если восстанавливающий фильтр имеет полосу пропускания шире, чем спектр сигнала.
Рис.2 Строб-эффект
Рис.3 Муар-эффект

Процедуру восстановления сигнала по его отсчетам можно представить, как результат пропускания через идеальный фильтр низких частот и частотной характеристикой:

непрерывного сигнала

спектр которого — периодически продолженный с периодом спектр сигнала

Если спектр ) ограничен , то выделяется строго один период спектра, соответствующий и равный спектру .

Если спектр шире ,то происходит перекрытие соседних периодов спектра сигнала и уже невозможно выделить спектр сигнала в чистом виде. Это явление называется строб-эффектом

Во втором случае в восстановленный после растрирования с шагом непрерывный сигнал попадают компоненты исходного сигнала из плюс-минус первого порядка периодически продолжительного спектра

Это явление называется муар-эффектом.