Дискретизация сигнала — различия между версиями

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
м
(Дискретизация на основе теоремы отсчетов (Котельникова))
Строка 17: Строка 17:
  
 
== Дискретизация на основе теоремы отсчетов (Котельникова) ==
 
== Дискретизация на основе теоремы отсчетов (Котельникова) ==
 +
 +
Дискретизация на основе '''''теоремы отсчетов''''' ([[Теорема Котельникова|теорема Котельникова]]) - cамый распространенный способ дискретизации. Сигналы,спектр Фурье которых равен нулю за пределами интервала <math> (-F,F)\!</math>, могут восстановлены по своим отсчетам, взятым с шагом <math> \Delta t=\frac{1}{2F}\!</math>:
 +
 +
<math> U(t)=\int\limits_{k=-\infty}^{+\infty}U(k\Delta t)sinc(2\pi F(t- \frac{k}{2F}))\!</math> <math>\quad \quad {\color{Maroon}(2.1)}</math>
 +
 +
где <math>U(k\Delta t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}U(t)sinc(2\pi F(t- \frac{k}{2F}))\!</math> <math>\quad \quad {\color{Maroon}(2.2)}</math>
 +
 +
или <math>U(k\Delta t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}U(t)S(t- \frac{k}{2F}))\!</math>, отсчеты берутся в точках <math> (t= \frac{k}{2F}))\!</math>
 +
 +
{{Теорема|Прямое и обратное разложения в спектр Фурье|
 +
'''Прямое и обратное разложения в спектр Фурье''' описываются соответственно следующими выражениями:
 +
 +
<math>\tilde{U}_\Phi(f)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}U(t)exp[2\pi  t i]dt \!</math> <math>\quad \quad {\color{Maroon}(2.3)}</math>
 +
 +
<math>U(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\tilde{U}_\Phi(f)exp(-2\pi f t i)df\!</math>
 +
|
 +
Так как спектр <math>U_\Phi(f)\!</math>ограничен интервалом <math> (-F,F)\!</math>,то его можно разложить в ряд Фурье
 +
 +
<math>\begin{align}
 +
U(t) & =\int\limits_{-F}^{F}U_\Phi (f)exp(-2\pi fti)df=\int\limits_{-F}^{F} \sum_{l=-\infty}^{+\infty} x(l)exp(+i\pi fl\Delta t)exp(-2\pi fti)df= \\
 +
& =\sum_{l=-\infty}^{+\infty}x(l)\int\limits_{-F}^{F}exp[2\pi if(t- \frac{k}{2F})]df=\sum_{l=-\infty}^{+\infty}x(l)\frac{2sin[2\pi F(t-\frac{k}{2F})]}{2\pi(t-\frac{k}{2F}) } \\
 +
\end{align} \!</math>
 +
 +
По определению коэффициентов Фурье:
 +
 +
<math>x(l)=\frac{1}{2}F^{-1} \int\limits_{-F}^{F}U_\Phi (f)exp(\frac{2\pi ifl}{2F})df=\frac{1}{2}F^{-1}\left(\frac{1}{2F} \right)=\frac{1}{2}FU(l\Delta t)\!</math>
 +
 +
Таким образом, если взять отсчеты функции <math>U(t)\!</math>в точках  <math>t= \frac{k}{2F}\!</math>, удаленных друг от друга на величину  <math>\Delta t= \frac{1}{2F}\!</math> (''частота Найквиста''), то функцию <math>U(t)\!</math> можно абсолютно точно восстановить по этим отсчетам.
 +
 +
''Двумерный случай'':
 +
 +
<center><math>U(x,y)=\sum_{k_1=-\infty}^{+\infty}\sum_{k_2=-\infty}^{+\infty}U(\frac{k_1}{2F_1},\frac{k_2}{2F_2})sinc2\pi F_1(t_1- \frac{k_1}{2F_1})sinc2\pi F_2(t_2- \frac{k_2}{2F_2})\!</math> <math>\quad \quad {\color{Maroon}(2.4)}</math></center>
 +
 +
: где <math>U(\frac{k_1}{2F_1},\frac{k_2}{2F_2})\!</math> — отсчеты на двумерном прямоугольном реестре с шагом <math>\frac{1}{2F_1}\!</math>по оси х и <math>\frac{1}{2F_2}\!</math>по оси у.
 +
 +
}}
 +
 +
== Дискретизация функций с реальным спектром ==

Версия 15:47, 29 марта 2016

Статья по учебной дисциплине
Название дисциплины:

Обнаружение и распознавание сигналов

Раздел:

2. Анализ регулярных сигналов

Глава:

2.2 Дискретизация и квантование пространственных сигналов.

Преподаватель:

Чичварин Н. В.

Дискретизация сигнала — замена непрерывного сигнала последовательностью чисел, являющихся представлением этого сигнала по какому-либо базису.

Постановка задачи

Пусть имеется непрерывный сигнал ,заданный на интервале . При переходе к оцифровке происходит следующая операция. Выбирается шаг дискретизации , и вместо исходного сигнала получается последовательность .Далее, выбирается формат оцифровки . Обычно он бывает кратным 8, хотя это необязательно. Предположим что существует такое число , что выполнены неравенства: для всех .Интервал разбивается на частей. После этого каждое значение заменяеться новой последовательностью , но теперь каждый новый член последовательности принимает значение из интервала .При желании вместо указанного представления можно перейти к представлению сигнала целыми числами со знаком.

На каждом из упомянутых шагов происходит искажение сигнала. Первая задача цифровой обработки заключается в оценке искажения исходного сигнала. Дальнейшая обработка состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации и подавлении шумов. Это осуществляется с помощью цифровой фильтрации. Даже оцифрованный сигнал занимает много места, и следующий шаг обработки заключается в сжатии сигнала. Обычно имеется ввиду сжатие с потерей информации. Здесь важно установить критерий допустимой потери информации. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Хотя последовательность бесконечна, в реальных условиях мы имеем дело лишь с конечными последовательностями. В этой связи нужна оценка потерь, связанных с усечением последовательностей.

Дискретизация на основе теоремы отсчетов (Котельникова)

Дискретизация на основе теоремы отсчетов (теорема Котельникова) - cамый распространенный способ дискретизации. Сигналы,спектр Фурье которых равен нулю за пределами интервала , могут восстановлены по своим отсчетам, взятым с шагом :

где

или , отсчеты берутся в точках

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Прямое и обратное разложения в спектр Фурье

Прямое и обратное разложения в спектр Фурье описываются соответственно следующими выражениями:

Доказательство

Так как спектр ограничен интервалом ,то его можно разложить в ряд Фурье

По определению коэффициентов Фурье:

Таким образом, если взять отсчеты функции в точках , удаленных друг от друга на величину (частота Найквиста), то функцию можно абсолютно точно восстановить по этим отсчетам.

Двумерный случай:

где — отсчеты на двумерном прямоугольном реестре с шагом по оси х и по оси у.


Дискретизация функций с реальным спектром