Прямое и обратное разложения в спектр Фурье описываются соответственно следующими выражениями:

${\displaystyle {\tilde {U}}_{\Phi }(f)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }U(t)exp[2\pi ti]dt\!}$ ${\displaystyle \quad \quad {\color {Maroon}(2.3)}}$

${\displaystyle U(t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\tilde {U}}_{\Phi }(f)exp(-2\pi fti)df\!}$

Так как спектр ${\displaystyle U_{\Phi }(f)\!}$ограничен интервалом ${\displaystyle (-F,F)\!}$,то его можно разложить в ряд Фурье

${\displaystyle {\begin{aligned}U(t)&=\int \limits _{-F}^{F}U_{\Phi }(f)exp(-2\pi fti)df=\int \limits _{-F}^{F}\sum _{l=-\infty }^{+\infty }x(l)exp(+i\pi fl\Delta t)exp(-2\pi fti)df=\\&=\sum _{l=-\infty }^{+\infty }x(l)\int \limits _{-F}^{F}exp[2\pi if(t-{\frac {k}{2F}})]df=\sum _{l=-\infty }^{+\infty }x(l){\frac {2sin[2\pi F(t-{\frac {k}{2F}})]}{2\pi (t-{\frac {k}{2F}})}}\\\end{aligned}}\!}$

По определению коэффициентов Фурье:

${\displaystyle x(l)={\frac {1}{2}}F^{-1}\int \limits _{-F}^{F}U_{\Phi }(f)exp({\frac {2\pi ifl}{2F}})df={\frac {1}{2}}F^{-1}\left({\frac {1}{2F}}\right)={\frac {1}{2}}FU(l\Delta t)\!}$

Таким образом, если взять отсчеты функции ${\displaystyle U(t)\!}$в точках ${\displaystyle t={\frac {k}{2F}}\!}$, удаленных друг от друга на величину ${\displaystyle \Delta t={\frac {1}{2F}}\!}$ (частота Найквиста), то функцию ${\displaystyle U(t)\!}$ можно абсолютно точно восстановить по этим отсчетам.

Двумерный случай:

где ${\displaystyle U({\frac {k_{1}}{2F_{1}}},{\frac {k_{2}}{2F_{2}}})\!}$ — отсчеты на двумерном прямоугольном реестре с шагом ${\displaystyle {\frac {1}{2F_{1}}}\!}$по оси х и ${\displaystyle {\frac {1}{2F_{2}}}\!}$по оси у.