Дельта-функция как математическое описание точечного источника сигнала

Классические решения уравнений математической физики, с помощью которых описываются распространение полей в ОЭС, РЭС и АЭС, определяются только вне особых точек. Однако именно эти сингулярные точки играют основную роль, так как в них расположены точечные источники электромагнитного и акустического излучений. Для модельного представления одномерного тракта любого КПС необходима модель «точечного» входного сигнала (воздействия). Дирак ввел физическое понятие δ-функции, которая удобна при адекватном математическом описании точечных источников излучения, точечных зарядов и коротких электрических импульсов.

Дельта-функцией ${\displaystyle \delta (x - x_0, y - y_0) \,\!}$ называют такую функцию, которая равна нулю во всех точках плоскости ${\displaystyle \mathbb{R}^2 (x, y) \,\!}$, кроме особой точки ${\displaystyle (x_0, y_0) \,\!}$, где она обращается в бесконечность.

При этом интеграл от нее, распространенный на сколько угодно малую область, содержащую особую точку, равен единице.

${\displaystyle 1) \quad \delta (x - x_0, y - y_0) = \begin{cases} 0, & (x, y)\epsilon {\mathbb{R}}^2 \setminus (x_0, y_0) \\ \infty & x=x_0 y=y_0 \end{cases} \quad \quad {\color{Maroon}(1.1)} \,\!}$

${\displaystyle 2) \quad \iint\limits_{-\infty}^{\quad \infty} \delta(x-x_0, y-y_0) dx dy=\int\limits_{y_0-\varepsilon_2}^{y_0+\varepsilon_2} \int\limits_{x_0-\varepsilon_1}^{x_0+\varepsilon_1} \delta(x-x_0, y-y_0) dx dy = 1,\quad \forall \varepsilon_1,\varepsilon_1>0\quad \quad {\color{Maroon}(1.2)} \,\!}$

Дополнительно, по определению:

${\displaystyle \delta(x - x_0, y - y_0)=\delta(x - x_0)\delta(y - y_0) \,\!}$

т. е. двумерная ${\displaystyle \delta\,\!}$-функция равна произведению двух одномерных ${\displaystyle \delta \,\!}$-функций, т.е. является сепаррабельной. В частном случае ${\displaystyle \delta(x, y)= \delta(x)\delta(y)\,\!}$ локализована в начале координат.

Введение ${\displaystyle \delta \,\!}$-функции послужило толчком для широкого развития нового раздела функционального анализа – теории обобщенных (сингулярных) функций или теории распределений. Построенный математический аппарат, хотя и не дал новых методов решения, но привел к усовершенствованию аналитической формулировки задач и более глубокому исследованию проблемы существования решений уравнений математической физики. Теория обобщенных функций разрешает много неясных вопросов нахождения фурье-образов ряда абсолютно неинтегрируемых функций. Примерами таких обобщенных функций служат широко распространенные типовые сигналы в виде функции ${\displaystyle 1(x, y) \,\!}$, задающей равномерно освещенную электромагнитным, либо акустическим излучением плоскость, и амплитудного коэффициента пропускания косинусоидальной амплитудной решетки ${\displaystyle \cos (2\pi\nu_{x_0}x) \,\!}$ для моделирования компонент ОЭС и ФАР в РЭС и АЭС. Изложение строгой теории обобщенных функций выходит далеко за рамки дисциплины «ОиРС» и требует привлечения специального математического аппарата. Существенным фактором является то, что при описании сигналов в ОЭС, РЭС и АЭС, а также в электронных трактах указанных систем, ${\displaystyle \delta \,\!}$-функция и другие обобщенные функции встречаются, как правило, только на промежуточных этапах. В окончательном результате они отсутствуют совсем или входят под знак интеграла вместе с другой бесконечно дифференцируемой и финитной функцией. Необходимо, однако, понимать, что ${\displaystyle \delta \,\!}$-функция не является функцией в обычном математическом смысле. Например, ${\displaystyle \delta(x-x_0) \,\!}$ с обычной точки зрения представляет собой функцию, тождественно равную нулю на всей действительной оси, кроме точки ${\displaystyle x_0 \,\!}$, где она не определена (бесконечная точка разрыва). Известно, что интеграл Римана не зависит от значений функции в конечном и даже счетном числе точек. Поэтому классический интеграл от ${\displaystyle \delta(x-x_0) \,\!}$ должен быть тождественно равен нулю.

Из-за отсутствия математической строгости в физическом определении ${\displaystyle \delta \,\!}$-функции существует большой выбор амплитудных коэффициентов пропускания транспаранта, образующих ${\displaystyle \delta \,\!}$-образные последовательности в РЭС, ОЭС, АЭС.

В качестве канонического типового пространственного сигнала в РЭС, ОЭС, АЭС, допустимо рассмотреть пространственный модулятор на выходе непрозрачного транспаранта с квадратным отверстием при освещении его плоской, нормально падающей волной электромагнитного, либо акустического излучения с единичной амплитудой. Такой сигнал задается амплитудным коэффициентом пропускания

${\displaystyle \tau_{rect}^{tr}(x, y) = rect(x, y) = rect (x) rect (y) = \begin{cases} 1, & |x|\le {1 \over 2}, |y| \le {1 \over 2} \\ 0, & |x|> {1 \over 2}, |y| > {1 \over 2} \end{cases} \quad \quad {\color{Maroon}(2.1)} \,\!}$

Графически эта функция имеет вид куба и представляет собой произведение двух одномерных канонических типовых сигналов в виде квадратов ${\displaystyle rect(x) \,\!}$ (рис. 2)

Последовательность выходных сигналов с rect-образными коэффициентами пропускания и входной  амплитудой ${\displaystyle {n_2 \over (ab)}}$ имеет вид:

${\displaystyle s_n^{rect}(x, y)=\frac{n^2}{ab}\tau_{n}^{tr}(x, y)=\frac{n^2}{ab}rect \left ( {x \over {a / n}},{y \over {b / n}} \right )\longrightarrow\delta(x, y), n \rightarrow \infty \quad \quad {\color{Maroon}(2.2)}\,\!}$

Выражение задает двумерную последовательность прямоугольных параллелепипедов с уменьшающимся прямоугольным основанием размерами ${\displaystyle {a \over n}\times {b \over n} \,\!}$ и увеличивающейся высотой ${\displaystyle n^2 \over ab \,\!}$. В частности, одномерная последовательность соответствующих прямоугольных импульсов:

${\displaystyle s_n^{rect}(x)=\frac{n}{a}\tau_{n}^{tr}(x)=\frac{n}{a}rect \Bigg[ {x \over {\big(a / n \big)}} \Bigg] \longrightarrow \delta(x),n \to \infty \quad \quad {\color{Maroon}(2.3)} \,\! }$приведена на рис.3.

Очевидно, что при ${\displaystyle n\rightarrow\infty}$ ширина прямоугольника ${\displaystyle {a \over n}\rightarrow 0}$, а высота ${\displaystyle {n \over a}\rightarrow \infty}$, так что выполняется первая часть определения ${\displaystyle \color {Maroon}(1.1)}$

${\displaystyle \lim_{n \quad \quad \infty}s_n^{rect}(x,y)=\delta(x, y);\quad\lim_{n \quad \quad \infty}s_n^{rect}(x)=\delta(x)}$

Так как объем двумерного прямоугольного параллелепипеда и площадь одномерного прямоугольника равны единице ${\displaystyle \forall n\,\!}$, то

${\displaystyle \lim_{n \quad \quad \infty}\int\limits_{-\varepsilon_2}^{\varepsilon_2}\int\limits_{-\varepsilon_1}^{\varepsilon_1} s_n^{rect}(x, y)\, dx\ dy =1 }$ ${\displaystyle \lim_{n \quad \quad \infty}\int\limits_{-\varepsilon_1}^{\varepsilon_1} s_n^{rect}(x)\, dx =1 }$

Иначе говоря, выполняется также и вторая часть определения ${\displaystyle \delta \,\!}$-функции. Отсюда следует, что :

${\displaystyle \iint\limits_{-\infty}^{\quad \infty} \delta(x,y)\, dx\ dy=1;\quad \int\limits_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\, dx=1 \quad \quad {\color{Maroon}(2.4)}}$

Таким образом, выражения ${\displaystyle ~\color{Maroon} (2.2)}$ и ${\displaystyle ~\color{Maroon} (2.3)}$ определяют двумерную и одномерную ${\displaystyle \delta \,\!}$-образную последовательность выходных сигналов ТрМ. В двумерной последовательности при ${\displaystyle n \quad \quad \infty\,\!}$ прямоугольное отверстие стягивается в точечное отверстие с бесконечной плотностью амплитуды или интенсивности в рассматриваемой точке. В одномерном случае ТрМ описывается пропускание щелевого транспаранта. Поэтому в пределе получим бесконечно узкую одномерную светящуюся щель ${\displaystyle \delta(x)1(y) \,\!}$ При этом амплитуда или интенсивность этих источников равны единице.

Одним из канонических типовых сигналом осесимметричных оптических и антенных систем является сигнал на выходе непрозрачного транспаранта с круглым отверстием, амплитудный коэффициент пропускания которого имеет вид

${\displaystyle \tau_{circ}^{tr} = \frac{1}{\pi}\mbox{circ}\, r= \begin{cases} \frac{1}{\pi}, & r \le 1\\ 0, & r > 1 \end{cases}, r=\sqrt{x^2+y^2} \quad \quad {\color{Maroon}(2.5)} \,\!}$

График этой функции в виде цилиндра приведен на рис. 4, а ее канонический характер проявляется в том, что объем цилиндра ${\displaystyle \left ( \frac{1}{\pi} \right) \mbox{circ}\, r \,\!}$ равен единице.

Тогда ${\displaystyle \delta \,\!}$-образная последовательность выходных сигналов модели с circ-образными коэффициентами пропускания, которая в пределе по-прежнему стремится к точечному отверстию, имеет вид

${\displaystyle s_n^{circ}(r)=\frac{n^2}{\pi\ a^2} \tau_n^{tr}(r) =\frac{n^2}{\pi\ a^2}\mbox{circ}\left ( \frac{r}{a/n} \right)\rightarrow \frac{1}{\pi}\delta(r)}$

при ${\displaystyle n\rightarrow \infty \quad \quad {\color{Maroon}(2.6)}}$

где ${\displaystyle \frac{n^2}{a^2} \mbox{circ}\left ( \frac{r}{a/n} \right) \rightarrow\delta(r)=\delta(\sqrt{x^2+y^2})=\pi \delta(x, y) }$ при ${\displaystyle n \rightarrow \infty}$

В результате допустима модель в виде ${\displaystyle \delta \,\!}$-функция в полярных координатах

${\displaystyle 1) \delta(r)=\pi\delta(x, y)= \begin{cases} 0, & r \ne 0, \\ \infty, & r=0; \end{cases} \quad \quad {\color{Maroon}(2.7)} \,\!}$

${\displaystyle 2) \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{\quad \infty} \delta(r)r\, dr d\psi=\iint\limits_{-\infty}^{\quad \infty} \pi \delta(x, y)\, dx dy=\pi,\,\!}$

являющаяся пределом, к которому стягивается круглое отверстие при освещении плоской, нормально падающей волной с единичной амплитудой. Так как объем любого цилиндра ${\displaystyle ~\color{Maroon} (2.6)}$ радиуса ${\displaystyle a/n\,\!}$ в ${\displaystyle \pi\,\!}$ раз больше объема прямоугольного параллелепипеда ${\displaystyle ~\color{Maroon} (2.2)}$ со стороной основания ${\displaystyle a/n\,\!}$, то этим множителем различаются между собой ${\displaystyle \delta(r)=\delta(\sqrt{x^2+y^2})\,\!}$ и ${\displaystyle \delta(x, y)\,\!}$

Приводимые обоснования свойств опираются на физическое определение ${\displaystyle \delta \,\!}$-функции и не являются математически строгими.

Практическая реализация дельта-функции

В пространственных трактах ОЭС, РЭС и АЭС, ${\displaystyle \delta \,\!}$-функция характеризует щелевые или точечные источники излучения, либо единичные временные сигналы в электронных трактах. В одномерном случае ${\displaystyle \delta \,\!}$-образная модель определяет сигнал на выходе узкой щели шириной ${\displaystyle \varepsilon: \,\!}$

${\displaystyle \delta(x)1(y)\approx(1/\varepsilon)\mbox{rect}(x/\varepsilon)\mbox{rect}(y/b), \ \varepsilon<<1,\ b>>1 \,\!}$

В электрическом тракте ОЭС, РЭС и АЭС сигнал зависит от времени, то есть ${\displaystyle \delta(t-t_0) \,\!}$ задает короткий временной импульс длительностью ${\displaystyle \triangle t\,\!}$, озникающий в момент времени ${\displaystyle t_0: \,\!}$

${\displaystyle \delta(t-t_0) \approx (1/\triangle t)\mbox{rect}[(t-t_0)/\triangle t]. \,\!}$

В двумерном случае говорят о сигнале на выходе транспаранта, (антенны) с круглым отверстием радиуса ${\displaystyle \varepsilon: \,\!}$

${\displaystyle \delta(x, y) \approx [1/\pi \varepsilon^2]\mbox{circ}\left(\sqrt{x^2+y^2}/\varepsilon\right) \,\!}$,

тогда ${\displaystyle \delta(x, y, t)=\delta(x, y)\delta(t) \,\!}$ описывает поведение точечного источника, вспыхивающего в начальный момент времени t=0, так что

${\displaystyle \delta(x, y, t) \approx [1/(\pi \varepsilon^2 \triangle t)]\mbox{rect}(t/\triangle t)\mbox{circ} \left(\sqrt{x^2+y^2}/\varepsilon \right) \,\!}$

Свойства симметрии

Из определения${\displaystyle \delta \,\!}$-образной последовательности, сходящейся к ${\displaystyle \delta(x-x_0, y-y_0) \,\!}$ следует:

${\displaystyle \delta(x-x_0, y-y_0)=\delta[-(x-x_0),-(y-y_0)],\,\!}$

т. е. ${\displaystyle \delta \,\!}$-функция является центрально-симметричной функцией относительно особой точки ${\displaystyle (x_0, y_0) \,\!}$ (рис. З). В частности, ${\displaystyle \delta(x) \,\!}$ оказывается четной функцией. Далее, если рассматривать ${\displaystyle \delta \,\!}$-образные подпоследовательности половинных прямоугольных параллелепипедов, заданных на какой-нибудь половине основания, например ${\displaystyle -a/(2n)+x_0\le x \le x_0, \, -b/(2n)+y_0\le y \le y_0+b/(2n), \,\!}$ то очевидно:

${\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{x_0} \delta(x-x_0, y-y_0)\, dxdy=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{x_0}^{\infty} \delta(x-x_0, y-y_0)\, dxdy= \int\limits_{-\infty}^{y_0}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(x-x_0, y-y_0)\, dxdy= \int\limits_{y_0}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(x-x_0, y-y_0)\, dxdy =1/2.\,\!}$

Фильтрующее свойство

Для любой функции ${\displaystyle s(x, y) \,\!}$, непрерывной в точке ${\displaystyle (x_0, y_0) \,\!}$, справедливо соотношение

${\displaystyle \iint\limits_{-\infty}^{\quad \infty} s(x, y) \delta(x-x_0, y-y_0)\, dxdy = \int\limits_{y_0-\varepsilon_2}^{y_0+\varepsilon_2}\int\limits_{x_0-{\varepsilon}_1}^{x_0+{\varepsilon}_1} s(x, y)\delta(x-x_0, y-y_0), dxdy = s(x_0, y_0). \quad \quad {\color{Maroon}(3.3.1)} \,\!}$

По определению ${\displaystyle \delta(x-x_0, y-y_0) \,\!}$ равна нулю всюду, кроме особой точки ${\displaystyle (x_0, y_0) \,\!}$, а в ${\displaystyle \varepsilon \,\!}$-окрестности этой точки ${\displaystyle s(x, y)\approx s(x_0, y_0) \,\!}$. Вынося ${\displaystyle s(x_0, y_0) \,\!}$ из-под интеграла и учитывая ${\displaystyle ~\color{Maroon} (1.2)}$, получим ${\displaystyle ~\color{Maroon} (3.3.1)}$. С учетом свойства 2 выражение ${\displaystyle ~\color{Maroon} (3.3.1)}$ представляет собой взаимную свертку исходной функции ${\displaystyle s(x, y) \,\!}$ с ${\displaystyle \delta \,\!}$-функцией, так что

${\displaystyle s(x_0, y_0)=\mbox{Sv}_{s \delta}(x_0, y_0)=s \otimes \delta(x_0, y_0)= \iint\limits_{-\infty}^{\quad \infty} s(x, y) \delta(x_0-x, y_0-y)\, dx\,dy \quad \quad {\color{Maroon}(3.3.2)} \,\!}$

Выражение ${\displaystyle ~\color{Maroon} (3.3.2)}$ можно рассматривать как результат сканирования непрозрачного экрана с точечным отверстием ${\displaystyle \delta(x-x_0, y-y_0) \,\!}$ по плоскости ${\displaystyle xy \,\!}$, на которой задан оптический сигнал ${\displaystyle s(x, y) \,\!}$. При фиксированном положении экрана, через отверстие проходит (отфильтровывается) сигнал ${\displaystyle s(x_0, y_0) \,\!}$ В одномерном случае сканирует узкая щель (например, в РЛС бокового обзора):

${\displaystyle s(x_0)=s\otimes \delta(x_0)= \int\limits_{-\infty}^{\infty} s(x)\delta(x_0-x)\, dx = \int\limits_{-\infty}^{\infty} s(x)\delta(x-x_0)\, dx \,\!}$

Если точка ${\displaystyle x_0 \,\!}$ является точкой разрыва первого рода функции ${\displaystyle s(x)\,\!}$, то с учетом свойства 2 фильтрующее свойство имеет вид

${\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} s(x)\delta(x-x_0)\, dx= \int\limits_{-\infty}^{x_0} s(x)\delta(x_0-x)\, dx + \int\limits_{x_0}^{\infty} s(x)\delta(x_0-x)\, dx= (1/2)[s(x_0-0)+s(x_0+0)]. \,\!}$

Если считать, что особая точка ${\displaystyle (x, y) \,\!}$ может перемещаться по плоскости, то ${\displaystyle ~\color{Maroon} (3.3.3)}$ удобно переписать в виде

${\displaystyle s(x, y)=s\otimes\delta(x,y)= \iint\limits_{-\infty}^{\quad \infty} s(u,\upsilon)\delta(x-u, y-\upsilon)\, du\,d\upsilon \quad \quad {\color{Maroon}(3.3.4)} \,\!}$

где ${\displaystyle u,\upsilon \,\!}$ – переменные интегрирования, а ${\displaystyle x, y \,\!}$ – координаты особой точки. Выражение ${\displaystyle ~\color{Maroon} (3.3.4)}$ показывает, что прстранственный сигнал в РЭС, ОЭС и АЭС всегда можно рассматривать как непрерывную двумерную сумму излучающих точечных источников ${\displaystyle \delta(x-u, y-\upsilon) u \delta(u-x, \upsilon-y), \,\!}$ расположенных во всех точках ${\displaystyle x, y \,\!}$ и имеющих амплитуду ${\displaystyle s(x, y) \,\!}$ в этих точках. Исходя из этого, любой множитель перед ${\displaystyle \delta \,\!}$-функцией называют ее амплитудой. В частности, амплитуда ${\displaystyle \delta(x, y) \,\!}$равна единице.

В теории обобщенных функций левая часть ${\displaystyle ~\color{Maroon} (3.3.1)}$ представляет собой формальное интегральное выражение для любой обобщенной функции, которое называют скалярным произведением ${\displaystyle (s,\delta) \,\!}$. Оно, строго говоря, определяет ${\displaystyle \delta \,\!}$-функцию как линейный непрерывный функционал, который ставит в соответствие исходной функции ее значение в особой точке:

${\displaystyle \delta(x-x_0, y-y_0):s(x, y)\rightarrow s(x_0, y_0) \,\!}$

Умножение на дельта-функцию

Сигнал в виде ${\displaystyle \delta \,\!}$-образного воздействия имеет вид

${\displaystyle s_\delta (x, y) = s(x, y)\delta(x-x_0, y- y_0)=s(x_0, y_0)\delta(x-x_0, y- y_0) \,\!}$,

т. е. единичная амплитуда ${\displaystyle \delta \,\!}$-функции изменяется в ${\displaystyle s(x_0, y_0) \,\!}$ раз.

Изменение масштаба дельта-функции

Это изменение эквивалентно соответствующему изменению амплитуды ${\displaystyle \delta \,\!}$-функции:

${\displaystyle \delta(x/a, y/b)=|ab|\delta(x, y) \quad \quad {\color{Maroon}(3.5.1)} \,\!}$

Иначе говоря, изменение амплитуды ${\displaystyle \delta \,\!}$-функции обусловливает изменение внутренней структуры точечного отверстия. Выражение ${\displaystyle ~\color{Maroon} (3.5.1)}$ следует из того, что интегралы

${\displaystyle \iint\limits_{-\infty}^{\quad \infty} s(x, y)\delta(x/a, y/b)\, dx\,dy = \iint\limits_{-\infty}^{\quad \infty} s(x, y)|ab|\delta(x, y)\, dx\,dy = |ab|s(0, 0)\,\!}$

приводят к одинаковому результату.

Спектральная плотность дельта-функции

На основании свойства преобразования Фурье:

${\displaystyle \bar\delta(\nu_x, \nu_y; x_0, y_0)= \iint\limits_{-\infty}^{\quad \infty} \delta(x-x_0, y-y_0)\mbox{exp}[-i2\pi(\nu_xx+\nu_y y)]\, dx\,dy=\mbox{exp}[-i2\pi(x_0\nu_x+y_0\nu_y)] \quad \quad {\color{Maroon}(3.6.1)} \,\!}$

Откуда спектры амплитуд и фаз имеют вид:

${\displaystyle a_\delta(\nu_x, \nu_y)=|\bar\delta(\nu_x, \nu_y; x_0, y_0)|=1(\nu_x, \nu_y); \,\!}$

${\displaystyle \varphi_\delta(\nu_x, \nu_y)=-2\pi(x_0\nu_x + y_0\nu_y) \,\!}$

так что спектр ${\displaystyle \delta \,\!}$-функции содержит все пространственные частоты ${\displaystyle -\infty<\nu_x, \nu_y < \infty \,\!}$. В частности,

${\displaystyle \bar\delta(\nu_x, \nu_y)= \iint\limits_{-\infty}^{\quad \infty} \delta(x, y)\mbox{exp}[-i2\pi(\nu_x x, \nu_y y)] \, dx\,dy= 1(\nu_x, \nu_y). \quad \quad {\color{Maroon}(3.6.2)} \,\!}$

Производные дельта-функции

Рассматривая для простоты одномерный случай ${\displaystyle \delta'(x) \,\!}$, интегрируя по частям и используя фильтрующее свойство,  получим

${\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} s(x)\delta'(x)\, dx= \Bigl. s(x)\delta(x) \Bigr|_{-\infty}^{\infty}-\int\limits_{-\infty}^{\infty} s'(x)\delta(x)\, dx=-s'(0) \,\!}$

Для  производной ${\displaystyle \delta^{(n)}(x) \,\!}$ n-го порядка имеем:

${\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} s(x)\delta^{(n)}(x)\, dx=(-1)^n s^{(n)}(0) \,\!}$