Вероятностные характеристики обнаружения сообщений

Априорная и апостериорная вероятности. Отношение правдоподобия.

Дальнейшее обсуждение ведется, исходя из классического правила криптографии: любая шифрованная информация может быть обнаружена и идентифицирована.

Также, в дальнейшем будем считать, что задача дешифровки формируется относительно реализаций, вызывающих подозрение у экспертов на предмет присутствия скрытого (маскированного) сообщения. Введем следующие определения:

• подлежащий экспертизе сигнал представляет собой реализацию случайного процесса $Y\!$, поскольку случай возникновения подозрения непредсказуем;
• вероятность присутствия шифрованной информации в реализации $Y\!$ равна $P(\alpha /Y)\!$, где $\alpha\!$ – скрытый сигнал;
• вероятность отсутствия шифрованной информации в реализации $Y\!$ равна $P(o/Y)\!$

Перечисленные вероятности являются условными и апостериорными, поскольку их можно определить только после экспертизы, и, кроме того, они соответствуют условию получения реализации. Таким образом, для определения $P(\alpha /Y)\!$ и $P(o/Y)\!$ необходимо определить вероятность совместного появления двух событий

$P(AB)=P(A)•P(B/A)=P(B)• P(A/B)\!$

где $P(A)\!$ и $P(B)\!$ – вероятности появления одного из событий;

$P(B/A)\!$ и $P(A/B)\!$ - условные вероятности появления одного из событий $A\!$ или $B\!$ при условии что второе событие ($B\!$ или $A\!$) уже состоялось.

Далее считаем, что событие «$A\!$» заключается в том, что реализация $Y\!$ получена (произошел перехват сигнала), а событие «$B\!$» - в том, что полезный сигнал в реализации присутствует.

В этом случае

$Р(Y)•P(\alpha/Y)=P(\alpha)• P(Y/\alpha)\!$

Следовательно,

$P(\alpha/Y)=(P(\alpha)• P(Y/\alpha))/ Р(Y)\!$

Если считать, что событие «$B\!$» заключается в отсутствии шифрованной информации, то

$P(o/Y)=(P(o)• P(Y/o))/ Р(Y)\!$

где $P(\alpha )\!$ и $P(o)\!$ определяют априорные вероятности наличия и отсутствия скрытого сообщения в сигнале, предъявленном на экспертизу.

В задаче кодирования и расшифровки скрытых сообщений оба из перечисленных выше случаев содержат полную группу событий, поэтому

$P(\alpha)+P(o)= 1\!$

а также

$P(\alpha/Y)+Р(o/Y)=1\!$

При такой постановке задачи можно воспользоваться основными выводами теории обнаружения. Поэтому, далее вводим в рассмотрение критерий абсолютного отношения правдоподобия:

$L\alpha= P(\alpha/Y)/Р(o/Y)= P(\alpha/Y)/(1-Р(o/Y))= [P(\alpha)/P(o)]• [P(Y/\alpha)/Р(Y/o)]\!$

На основании изложенного можно записать

$P(\alpha/Y)= L\alpha/(1+L\alpha)\!$

Таким образом, можно считать, что $L\alpha\!$ определяет вероятность наличия шифрованной информации в реализации, предъявленной на экспертизу.

Если в результате экспертизы подозрительного сигнала было установлено, что $L\alpha>1\!$, то это означало бы

$P(\alpha/Y)>0,5\!$

и, следовательно

$P(o/Y)=1-P(\alpha/Y)<0,5\!$

Отсюда следует, что $P(\alpha/Y)>P(o/Y)\!$, то есть вероятность наличия скрытого сообщения в подозрительной реализации выше вероятности его отсутствия.

Однако, для определения $L\alpha>1\!$ необходимо не только определить величину

$W= P(Y/\alpha)/P(Y/o)\!$,

но узнать заранее значения $P(\alpha )\!$ и $P(o)\!$. Поскольку перечисленные вероятности являются априорными, для эксперта (экспертов) необходимо точно узнать обстоятельства, дающие основания для возникновения подозрений о наличии шифрованной информации.

В теории обнаружения величину W называют отношением правдоподобия. Для его вычисления необходимо, как отмечалось выше, чтобы априори были известны обстоятельства происхождения подозрительного сигнала.

Таким образом, можно считать, что решения экспертизы всегда сопровождаются ошибками. Программно-аппаратные средства, которыми располагает экспертиза, могут также вырабатывать ошибочные посылки, связанные с естественным несовершенством названных средств, т. е. наличием методических ошибок, носящих случайный характер. Кроме того, анализируемый экспертизой подозрительный сигнал теоретически может содержать вирусы, которые оказывают непредсказуемое воздействие на работу программно-аппаратных средств экспертизы.

Ошибки экспертизы. Средний и условный риск.

По аналогии с определениями, выработанными в теории обнаружения, далее рассматриваются следующие понятия:

• «ошибка ложной тревоги»;
• «ошибка необнаружения» скрытого сообщения в подозрительном файле.

Будем обозначать далее событие принятия решения об обнаружении скрытого сообщения в подозрительном сигнале как «ДА», а событие, связанное с необнаружением скрытого сообщения – как «НЕТ». Вводим далее следующие обозначения:

P(ДА/o) – P(лт) – вероятность ложной тревоги

Р(НЕТ /$\alpha$) – Р(но) – вероятность необнаружения

События, связанные с принятием решения о наличии, либо отсутствии скрытого сообщения в подозрительном файле образуют полную группу, так что

Р(НЕТ /$\alpha$) + Р(ДА /$\alpha$)=1,

Р(НЕТ /о) + Р(ДА /о)=1

Тогда вероятность обнаружения Р(обн) определяется зависимостью

Р(обн)= Р(ДА /$\alpha$)= 1 - Р(НЕТ /$\alpha$)= 1 - Р(но),

Р(пно)= Р(НЕТ /о)= 1 - Р(ДА /о)= 1 – Р(лт)

Величина Р(обн) – вероятность заключения экспертизы о наличии в подозрительной реализации скрытого сообщения при условии, что скрытое сообщение действительно в ней присутствует.

Величина Р(пно) – вероятность заключения экспертизы об отсутствии скрытого сообщения в подозрительной реализации, при условии, что его действительно там нет – вероятность правильного необнаружения.

Таким образом, можно считать, что чем больше значение Р(но) (или чем меньше Р(обн)), тем выше качество средств сокрытия сообщений. С учетом вышеперечисленного можно записать выражение для безусловных вероятностей

Р^а(лт)= Р($\alpha$) Р(лт); Р^а(но)= Р($\alpha$) Р(но),

Р^а(обн)= Р($\alpha$) Р(обн); Р^а(пно)= Р($\alpha$)Р(пно)

Вышеперечисленные вероятности в среднем могут быть вычислены опытным путем через частоты принятия экспертизой правильных и ошибочных решений в процессе анализа множества подозрительных реализаций, содержащих (либо нет) сообщение, шифрованное одним и тем же методом.

Далее воспользуемся вероятностной характеристикой, принятой в теории обнаружения, которая является более универсальной, чем отношения правдоподобия, рассмотренные выше.

Такой характеристикой является «средний риск» – R, сопутствующий ему «условный риск», сопутствующий отсутствию скрытого сообщения

r₀=S($\alpha$,0) Р(лт) + S(0,0) Р(пно)

Рассмотрим введенные обозначения. При отсутствии скрытого сообщения в подозрительной реализации затраты средств (т.е. времени, оборудования и задействованного персонала) можно считать S($\alpha$,0) – это коэффициент, оценивающий потери ресурсов экспертизы при попытке расшифровать файл, в котором нет скрытого сообщения. Соответственно S(0,0) - это отрицательный коэффициент, оценивающий экономию ресурсов экспертизы при попытке расшифровать файл, в котором нет скрытого сообщения, т.е. «выйгрыш» при правильном необнаружении.

Аналогично можно представить условный риск, соответствующий присутствию скрытого сообщения в подозрительной реализации. Итак

r_$\alpha$=S(0,$\alpha$) Р(пр) + S($\alpha$,$\alpha$) Р(обн)

где S(0,$\alpha$) – коэффициент, оценивающий потери экспертизы при необнаружении, пропуске;

S($\alpha$,$\alpha$) – отрицательный коэффициент, оценивающий положительные действия экспертизы, затрачиваемые на обнаружение скрытого сообщения

В соответствии с теорией обнаружения, средний риск определяется следующим образом

R=P₀r₀ + P_$\alpha$r_$\alpha$

Окончательно средний риск можно рассчитать по формуле

R=P₀S(0,0)+P_$\alpha$S($\alpha$,$\alpha$)+P₀Pлт [S($\alpha$,0)-S(0,0)]+P_$\alpha$ P(но) [S(0,$\alpha$)-S($\alpha$,$\alpha$)]

Из последнего следует, что наилучший способ шифрования должен оцениваться наибольшим средним риском вероятных действий экспертизы.

Оценка способа шифрования скрытого сообщения по критерию среднего риска экспертизы связана со следующими ограничениями:

• необходимо заранее задаваться величинами Р_$\alpha$ и Р₀ , которые разработчики способа маскирования должны задавать исходя из возможной тактики применения аппаратно-программных средств при решении той или иной оперативной задачи;
• необходимо заранее предполагать какой степенью компетентности и какими материально-временными ресурсами обладает экспертиза.