Циклические группы

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 00:29, 19 марта 2016.
TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Циклическая группа»
Циклическая группа - группа, которая порождается одним элементом.
- порождающий элемент.

Примеры

TemplateExampleIcon.svg Пример Примеры циклических групп



Наибольший общий делитель

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Наибольший общий делитель»
Для наибольший общий делитель обозначается НОД или и равен максимальному , такому что и
TemplateLemmaIcon.svg Лемма «Утверждение»
- порождающий в циклической группе порядка НОД.


Алгоритм Евклида

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Алгоритм Евклида
Доказательство
т.к.


Применение алгоритма Евклида в теории циклических групп

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Утверждение:
Подгруппа циклической группы - циклическая
Доказательство
есть элемент есть
- минимальный элемент из , такой что


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Утверждение:

- подгруппа в , тогда если то и

Доказательство

По индукции к алгоритму Евклида

НОД
Группа циклическая


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример
- порядок - показывает, в какую степень нужно возвести что бы получить


Расширенный алгоритм Евклида

НОД

-формула справедлива для каждого шага алгоритма
- целочисленная линейная комбинация
TemplateExampleIcon.svg Пример Пример

Наибольший делитель и


Основные свойства и теоремы в теории циклических групп

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Лемма 1

Если и , то

Доказательство

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Лемма 2

Если - конечная циклическая группа, то

Доказательство
Обозначим - порядок группы
  • - линейная комбинация с целыми коэффициентами


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Лемма 3

- коммутативная циклическая группа

Доказательство

В силу Леммы 2 (Циклическая группа - подгруппа в ) но - подгруппа они равны


Для . Чтобы определить порядок произвольного элемента достаточно определить порядок где
на каждом шаге обращается в 1.

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Лемма 4
если ( делитель )
Доказательство
Так как , где - наибольший общий делитель, а по условию леммы , значит и


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема

Критерий того, что - образующий:

Доказательство
Количество элементов такое, что
, где - функция Эйлера
- простое

Множество чисел, делящихся на

и и


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема

Фактор-группа циклической группы - циклическая

Доказательство

Пусть - группа, - подгруппа,
- нормальная подгруппа, то есть


Нормальность требуется для того, чтобы результат не зависел от выбранных элементов. Если есть группа


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример





Симметрическая группа подстановок Sn

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение»

-биекция, - симметрическая группа -й степени(группа подстановок)

Группа вычетов Zn

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение»

- группа остатков по модулю

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример