Функции Уолша

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 14:10, 14 мая 2016.
(перенаправлено с «Функция Уолша»)
Open book.svg Авторство
Чичварин Н. В.
Согласовано: 06.05.2016
Статья по учебной дисциплине
Название дисциплины:

Обнаружение и распознавание сигналов

Раздел:

2. Анализ регулярных сигналов

Глава:

2.10 Применение быстрых спектральных алгоритмов в модельном представлении преобразования дискретных сигналов

Преподаватель:

Чичварин Н. В.

Функции Уолша — семейство функций, образующих ортогональную систему, принимающих на всей области определения только значения 1 и -1.

Функции Уолша могут быть представлены в непрерывной форме, но чаще их определяют как дискретные последовательности из элементов. Группа из функций Уолша образует матрицу Адамара.

Получили широкое распространение в радиосвязи, где с их помощью осуществляется кодовое разделение каналов (CDMA), например, в таких стандартах сотовой связи, как IS-95, CDMA2000 или UMTS.

Система функций Уолша является ортонормированным базисом и, как следствие, позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщённый ряд Фурье.

Общие положения

Пусть функция Уолша определена на интервале , а за пределами этого интервала функция периодически повторяется. Введём безразмерное время . Тогда функция Уолша под номером k обозначается как . Нумерация функций зависит от метода упорядочения функций. Существует упорядочение по Уолшу — в этом случае функции обозначаются так, как описано выше. Также распространены упорядочения по Пэли () и по Адамару ().

Относительно момента функции Уолша можно разделить на чётные и нечётные. Они обозначаются как и соответственно. Эти функции аналогичны тригонометрическим синусам и косинусам. Связь между этими функциями выражается следующим образом:

Вид функций

Функции Уолша имеют вид

где двоичное представление числа;
m-ый разряд кода Грея номера k (m-ый номер двоичного разряда числа k (справа налево), — операция сложения по модулю 2);
.

Свойства функций

  1. Ортогональность

Скалярное произведение двух разных функций Уолша равно нулю:

  1. Мультипликативность

Произведение двух функций Уолша даёт функцию Уолша.

,
где — сложение по модулю 2 номеров в двоичной системе.
Рис. 1. Пример функций Уолша

Литература

  • Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. — М.:Высшая школа, 2005 — ISBN 5-06-003843-2
  • Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша: теория и применения. — М.:Наука, 1987
  • Залманзон, Лев Абрамович|Залманзон Л. А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. — М.: Наука, 1989 — ISBN 5-02-014094-5

См. также