Френелевский слой пространства

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 16:50, 14 ноября 2016.


Френелевский слой пространства - когерентный СП, с наложенными на него условиями Френеля:

  • толщина СП между областью расположения объекта и областью наблюдения значительно превышает максимальный линейный размер области (диаметр этой области).
;
  • максимальный линейный размер области наблюдения (диаметр ) также много меньше толщины слоя (рис. 1)
.

Общие положения

При заданных условиях можно в когерентной функции рассеяния СП пренебречь величиной по сравнению с единицей и считать, что

где:
,
расстояние между точками и в знаменателе заменяется величиной , так как .
Рис. 1. Трехмерная геометрическая модель слоя пространства(СП):
- толщина когерентного СП;
- угол дифракции;
- области объекта и наблюдения соответственно.

Учитывая, что при , можно считать с погрешностью не превышающей 5%.

Ограничимся двумя членами в биномиальном разложении:

Для френелевского приближения получим:

где


Таким образом, распределение комплексной амплитуды поля в виде задает френелевское дифракционное изображение, описываемое взаимной сверткой входного поля с френелевской КФР. Так как функция Френеля соответствует параксиальному приближению расходящейся сферической волны с амплитудой , то дифракцию Френеля называют также дифракцией сферических волн.

На практике часто для свёртки используют равносильное альтернативное представление преобразования Френеля в виде

Откуда

т. е. френелевское дифракционное изображение пропорционально фурье-образу произведения входного сигнала с комплексной амплитудой расходящейся сферической волны для частот .

Тогда

где френелевская КПФ (КПФ френелевского СП)

Первый экспоненциальный множитель в определяет набег фазы, который приобретает каждая плоская волна в спектре при распространении между плоскостями и . Второй экспоненциальный множитель описывает квадратичную фазовую дисперсию френелевского ПЧФ.

Границы

Нижняя граница

Нижнюю границу френелевского СП можно найти, если, исходя из критерия Релея, который является частным случаем сформулированных выше двух основных френелевских допущений, считать, что при замене выражения приближением максимальная ошибка в вычислении расстояния r при квадратичной аппроксимации фазового сдвига не превосходит . Тогда с учетом :

Отсюда получается, что . Величина представляет собой максимальный линейный размер области (диаметр этой области), являющейся объединением областей и . Геометрически область можно найти, если спроектировать область в плоскость (рис. 2).


Рис. 2. Двумерная геометрическая модель граничных областей слоя пространства:
-области объекта,наблюдения и объединения соответсвенно,ооо
-диаметры этих областей(диаметр области-это максимальный линейный размер области)


Тогда окончательно выражение для нижней границы френелевского СП имеет вид

Соответственно угловой размер области имеет вид

Верхняя граница

При очень большом расстоянии z выражение для френелевcкой КПФ оказывается несправедливым. Это обусловлено тем, что условие учитывает только переход от общей дифракционной модели к френелевcкой SvM модели. В то же время замена общего выражения для частотной модели СП френелевским пространственно-частотным фильтром (ПЧФ) определяет верхнюю границу френелевского приближения. Тогда квадратичное приближение для КПФ СП найдём, разлагая квадратный корень в ряд по биному, так что

Ограничиваясь первыми двумя членами, получим

При сопоставлении с , оказывается, что является квадратичным приближением для . Согласно критерию Релея максимальная ошибка при аппроксимации фазовой дисперсии не должна превышать , так что с учетом

откуда .

Вводя в рассмотрение пространственный период , как размер наиболее мелкой неоднородности объекта ( - наибольшая пространственная частота в ПЧС входного оптического сигнала), для верхней границы френелевского приближения имеем

Откуда угловой размер мелкой неоднородности

Выводы

Таким образом, совместное выполнение условий и

задает область расположения точки наблюдения , при котором одновременно справедливы координатная и частотная модели, описывающие пространственно-координатное и пространственно-частотное поведение френелевского СП. Если области и не перекрываются, то на определенном расстоянии справедлива либо координатная, либо частотная френелевская МП.

Примеры

Пример 1

При мм и мкм величина мм, а при мм возрастает до м.

Пример 2

При мм () и мкм величина мм, а при мм () возрастает до м.

См. также