Теория конечных полей

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 23:06, 11 мая 2016.

Содержание

Когда кольцо является полем

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
Конечное коммутативное кольцо с является областью целостности оно поле
Доказательство

- по условию теоремы

Докажем, что

Рассмотрим все произведения какого-то элемента на все элементы кольца:

Все они различны, иначе:

Т.к. все произведения различны, то найдется и такое:

, тогда - обратный к

В силу коммутативности кольца:


Степень расширения поля. Теорема о конечном поле с простой характеристикой

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Степень расширения поля »
- степень расширения
TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
Если - конечное поле и , то
Доказательство

В поле всегда есть подполе (см. Характеристика кольца).


Теорема о конечном поле порядка q. Следствия из теоремы

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема

Если , то для любого выполняется

Доказательство

Для 0 утверждение очевидно.

содержит его элементы без нулевого , значит её порядок равен:


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Следствие из теоремы

Все элементы поля являются корнями многочлена

Доказательство

Очевидно следует из теоремы.


Теорема о неприводимом многочлене степени m над полем простого порядка

Функция Мебиуса. Леммы о неприводимом многочлене

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «

Определение - Функция Мёбиуса

»

- какие-то простые числа.

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Лемма - Свойство функции Мёбиуса

Доказательство

Если , то единица является единственным делителем, и, следовательно, .

При представим в виде произведения простых чисел:

.

Легко видеть, что в сумме нужно учитывать только делители без кратных множителей. Поэтому:


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Лемма - Обращение Мёбиуса

- определены на множестве

.

Доказательство

, т.к. суммы отличаются только порядком слагаемых.

Заменим согласно с условием теоремы:

- по свойству функции Мёбиуса


TemplateDifinitionIcon.svg Определение «

Определение - Число неприводимых многочленов

»

Число неприводимых многочленов степени с коэффициентами из :

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Лемма - Рекуррентное соотношение для числа неприводимых многочленов

.

Доказательство

Без доказательства


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема - Число неприводимых многочленов

Число неприводимых многочленов степени с коэффициентами из :

.

Доказательство

Из рекуррентного соотношения для числа неприводимых многочленов и из обращения Мёбиуса при следует утверждение теоремы.


Симметрический многочлен. Теорема Виета

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «

Определение - Симметрический многочлен

»

Многочлен от нескольких переменных, не изменяющийся при любых перестановках переменных.

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема - Виета

Если  — корни многочлена

(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:

Иначе говоря равно сумме всех возможных произведений из корней.

Доказательство


Теорема о существовании и единственности поля простого порядка

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема

Пусть — простое.

поле из элементов.

Любое конечное поле из элементов изоморфно полю .

Доказательство

Чтобы доказать существование поля из элементов, приведем пример. Это поле - поле вычетов (остатков от деления) по модулю .

Можно легко проверить все свойства операций. Обратные элементы по умножению будут существовать для всех элементов кроме , т.к. , т.к. — простое. Тогда по алгоритму Евклида можно найти .

Докажем единственность с точностью до изоморфизма.

Пусть — единица поля . Любой элемент поля можно представить в виде — суммы единиц этого поля. Очевидно, что при любом . Тогда для отображения , заданного равенством , и для любых справедливо равенство:

.

Аналогичное равенство имеет место для умножения:

.

Следовательно, — изоморфизм.


Мультипликативная группа поля

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «

Определение - Мультипликативная группа поля

»

Мультипликативная группа поля - множество обратимых элементов.

Очевидно, что - абелева группа.

Леммы о порядке элемента

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Лемма 1

элемент , т.ч.

Доказательство

Докажем от противного. Пусть

Отсюда:

Тогда все - корни . Противоречие.


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Лемма 2

элемент такой, что

Доказательство

Следует из Леммы 1 при


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Лемма 3

Если в абелевой группе , где - НОК - наименьшее общее кратное.

Доказательство

, если


Теорема о циклической группе поля

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема

- циклическая группа

Доказательство

.

Рассмотрим . Их порядки соответственно - взаимопростые.

Рассмотрим:

Каждый следующий элемент имеет порядок взаимопростой с предыдущим, а последний элемент имеет порядок, равный порядку группы, что делает его образующим элементов группы, а, следовательно, группа является циклической.


Примитивный элемент. Примитивный многочлен

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Примитивный элемент поля »

Примитивный элемент поля - это образующий элемент .[1]

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Примитивный многочлен »

Многочлен примитивный, если его корень в - примитивный элемент

Минимальный многочлен. Теорема о корне многочлена над полем простого порядка.

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «

Определение - Минимальный многочлен

»

Пусть — поле из элементов, — элемент этого поля.

Нормированный многочлен называется минимальным многочленом элемента , если и степень многочлена минимальна среди всех многочленов положительной степени из , для которых является корнем.

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема

Если - корень многочлена над , то и - тоже корень

Доказательство

. (см. Характеристика кольца)


Количество примитивных элементов и многочленов циклической группы поля

Количество образующих элементов циклической группы равно количество примитивных элементов равно .

Количество примитивных многочленов над равно .

Выбор базиса линейного пространства поля многочленов

- линейное пространство над и если - корень неприводимого многочлена степени , тогда - базис в .

Данное представление элементов удобно при использовании мультипликативного представления элементов поля, но неудобно в расчётных задачах.

Существует другой базис - нормальный базис, удобный в некоторых типах задач.

В этом случае должно удовлетворять условию .

Автоморфизм Фробениуса

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «

Определение - Автоморфизм Фробениуса

»

Автоморфизм Фробениуса задается над полем следующим соотношением:

Проверим определение автоморфизма:

См. также

Мультипликативная группа кольца

Литература

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ — М. : Мир, 1988. — С. 430. — ISBN 5-03-000065-8.

Примечания

  1. Стоит четко разделять эти два понятия. Когда говорят о примитивном элементе, имеют в виду примитивный элемент поля, а когда говорят об образующем элементе, речь идет об образующем элементе мультипликативной группы поля.