Теория колец

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 14:01, 2 мая 2016.

Общие сведения

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Кольцо»

Кольцо :

  1. - Абелева группа
  2. - Полугруппа
- Дистрибутивность
TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Порядок кольца»

Порядком кольца называется количество элементов в кольце и обозначается

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Кольцо с единицей»

Если - моноид кольцо с единицей

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Коммутативное кольцо»

Если - абелева группа кольцо коммутативно

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 1

- коммутативное кольцо с 1


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 2

- множество -мерных векторов образует кольцо относительно сложения и специального умножения

Для 2-х мерных векторов:

- мнимая единица

Для 3-х мерных векторов:

- орты

Для 4-х мерных векторов:


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 3

Не коммутативное кольцо - матрицы размера


Подкольцо

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Подкольцо»

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 4


Фактор кольцо

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Фактор кольцо»

с определенными на них операциями:

Делитель нуля

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Делитель нуля»

- делитель нуля, если , т.ч. . Для не коммутативных колец можно говорить о левых и правых делителях

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 5

- делители


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Утверждение

если - не делитель нуля.

Доказательство

Предположим, что всё таки , тогда:

- выходит, что - делитель - противоречие


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема

Если - не делитель 0, то это не значит, что он обратим.

Доказательство

Докажем теорему приведением примера. См. пример 6.


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 6

В нет делителей 0, но обратимы лишь {1,-1}. Остальные элементы - необратимы.


Область целостности

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Область целостности»

Кольцо, не содержащее делителей

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 7

В нет делителей


Центр кольца

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Центр кольца»

Если - коммутативно, то центр совпадает с

Ноль кольца

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема - Ноль кольца

Доказательство

- получили, что - нейтральный элемент кольца по сложению, а


Литература

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ — М. : Мир, 1988. — С. 430. — ISBN 5-03-000065-8.