Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 00:21, 19 марта 2016.
Теория групп подстановок - старейшая часть современной теории групп. Термин «группа» (фр. groupe - множество) впервые появился в 1830 г. в работе французского математика Эвариста Галуа (1811-1832), посвященной проблеме разрешимости аaлгебраических уравнений в радикалах.[1] Определение «абстрактной» группы дано английским математиком Артуром Кели (1821-1895) в 1854 г. в работе "О теории групп, основанной на уравнении ". Однако даже исследования абстрактных (конечных) групп ещё долгое время рассматривались как изучение групп подстановок, и только в 1880 г. начинается сознательное развитие (автономной) теории конечных групп. Напомним определение группы.
 Определение «Определение 1.»
|
Множество с заданной на нём бинарной операцией , называется группой, если выполнены следующие аксиомы:
- операция ассоциативна: для всех
- обладает нейтральным элементом : для всех
- для каждого элемента существует обратный :
порядок группы. Группа с коммутативной операцией называется коммутативной, а чаще - абелевой. [2] Подмножество называется подгруппой в , если для любых для любых (обозначение ).
Обозначим через группу, порождённую элементами , т.е. каждый элемент представляется в виде для некоторого натурального . Группа называется циклической, если для некоторого например, .
|
|
 Пример Пример 1.
|
- Полная линейная группа над полем - все обратимые - матрицы с элементами из .
- Полная аффинная группа .
|
|
Пусть - конечное множество из элементов. Его элементы будем называть точками и обозначать малыми греческими буквами или натуральными числами с нулём.
 Определение «Определение 2.»
|
Биективное (взаимно однозначное) отображение множества в себя называется подстановкой на . Для обозначения подстановок на множестве будем использовать малые латинские буквы .
|
|
Образ точки при действии на неё подстановкой обозначим как или , а подстановку будем записывать либо в виде матрицы
где , или как произведения независимых (т.е. состоящих из непересекающихся множеств точек) циклов
 Определение «Определение 3»
|
Циклы длины один обычно не указываются в произведении. Цикл длины 2 называется транспозицией.
|
|
Пример
 Пример Пример 2.
|
Пусть со сложением и умножением по модулю 7. Отображение определяет подстановку на множестве , которая задаётся следующим образом:
|
|
Свойства
 Пример Упражнение 1.
|
- Каждая неединичная подстановка является произведением независимых циклов длины не меньшей, чем два. Это разложение в произведение определено однозначно с точностью до порядка следования циклов.
- Порядок подстановки (порядок циклической подгруппы ) равен наименьшему общему кратному длин независимых циклов, входящих в разложении .
- Каждая подстановка является произведением транспозиций.
Подстановки на множестве перемножаются в соответствии с общим правилом композиции отображений: . Например, для подстановок
имеем
Проверить: .
|
|
 Определение «Определение 4»
|
Множество всех биективных отображений на множестве образуют группу относительно композиции отображений, называемую симметрической и обозначаемую или .
Любая подгруппа группы называется группой подстановок на множестве (или группой подстановок степени ). Абстрактные группы будем обозначать большими латинскими буквами , а группы подстановок - . Символом обозначим единичный элемент (единицу) группы.
|
|
Действие группы
 Определение «Определение 5. Действие (абстрактной) группы на непустом множестве »
|
Пусть для каждого элемента каждой точки задан элемент множества , обозначаемый или (т.е. задана функция , отображающая множество в множество ). Тогда говорят, что задано действие группы на множестве (или группа действует на множестве ), если выполнены следующие свойства:
- для всех .
- для всех и всех .
Каждая подгруппа действует естественным образом на множестве , где - образ элемента при отображении .
|
|
 Пример Пример 3.
|
1. Пусть и - функция от любых аргументов. Полагаем . Тогда функция получена действием на .
Если и , то .
 Пример Упражнение 2.
|
Для произвольных доказать
|
|
2. (пример некоторых определений из линейной алгебры на языке теории групп) Функция называется
а) кососимметричной, если для любой транспозиции , т.е.
б) симметричной, если для любой транспозиции , т.е. .
|
|
Знак подстановки
 Теорема Утверждение 1.
|
- Пусть , - некоторое разложение в произведение транспозиций. Тогда число , называемое чётностью (иначе: сигнатурой или знаком ) полностью определяется подстановкой и не зависит от способа разложения в произведение транспозиций (т.е. чётность натурального числа для данной подстановки одна и та же). Кроме того, для всех .
- Пусть подстановка разложена в произведение независимых циклов длин . Тогда
|
Доказательство
|
1.
2. Аналогично предыдущему пункту, рассмотренному для m подстановок.
|
|
Обозначим: -множество натуральных чисел.
 Пример Упражнение 3.
|
- Найти знак подстановки
- Пусть на множестве функций 4-x переменных задано действие как в примере 1.3.1. Какие подстановки оставляют полином инвариантным, т.е. . Найти полином от 4-x переменных, инвариантный относительно действия всех подстановок из группы , но не всей группы .
- (приложение к теории чисел) Пусть - простое число, и рассмотрим множество . Показать, что отображение
.
есть подстановка порядка 2 на с точно одной неподвижной точкой. Показать, что подстановка также имеет, по крайней мере, одну неподвижную точку.
Отсюда получить, что для некоторых .
|
|
 Определение «Определение 6.»
|
Подстановка называется чётной, если , и нечётной .
|
|
Из определения следует, что все транспозиции - нечётные подстановки.
 Пример Упражнение 4.
|
Пусть . Доказать, что все чётные подстановки степени образуют подгруппу порядка , называемую знакопеременной группой степени
обозначается как или .
|
|
Примечания
- ↑ С биографией Э. Галуа можно ознакомится, например, в книге Инфельд Л. Эварист Галуа. "Избранник Богов", М: Молодая гвардия, 1960.
- ↑ В честь норвежского математика Н. Абеля. С его биографией рекомендуется ознакомиться по книге Оре О. "Замечательный математик Нильс Хенрик Абель", М: ФИЗМАТЛИТ, 1961.
ISSN 2542-0356
Следуй за Полисом
Оставайся в курсе последних событий
Лицензия
Если не указано иное, содержание этой страницы доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial-NoDerivatives» 4.0, а примеры кода – по лицензии Apache 2.0. Подробнее см. Условия использования.