Теория групп подстановок

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 00:21, 19 марта 2016.

Теория групп подстановок - старейшая часть современной теории групп. Термин «группа» (фр. groupe - множество) впервые появился в 1830 г. в работе французского математика Эвариста Галуа (1811-1832), посвященной проблеме разрешимости аaлгебраических уравнений в радикалах.[1] Определение «абстрактной» группы дано английским математиком Артуром Кели (1821-1895) в 1854 г. в работе "О теории групп, основанной на уравнении ". Однако даже исследования абстрактных (конечных) групп ещё долгое время рассматривались как изучение групп подстановок, и только в 1880 г. начинается сознательное развитие (автономной) теории конечных групп. Напомним определение группы.

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение 1.»
Множество с заданной на нём бинарной операцией , называется группой, если выполнены следующие аксиомы:
  1. операция ассоциативна: для всех
  2. обладает нейтральным элементом : для всех
  3. для каждого элемента существует обратный :

порядок группы. Группа с коммутативной операцией называется коммутативной, а чаще - абелевой. [2] Подмножество называется подгруппой в , если для любых для любых (обозначение ).

Обозначим через группу, порождённую элементами , т.е. каждый элемент представляется в виде для некоторого натурального . Группа называется циклической, если для некоторого например, .
TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 1.
  1. Полная линейная группа над полем - все обратимые - матрицы с элементами из .
  2. Полная аффинная группа .


Пусть - конечное множество из элементов. Его элементы будем называть точками и обозначать малыми греческими буквами или натуральными числами с нулём.

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение 2.»
Биективное (взаимно однозначное) отображение множества в себя называется подстановкой на . Для обозначения подстановок на множестве будем использовать малые латинские буквы .

Образ точки при действии на неё подстановкой обозначим как или , а подстановку будем записывать либо в виде матрицы

где , или как произведения независимых (т.е. состоящих из непересекающихся множеств точек) циклов

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение 3»
Циклы длины один обычно не указываются в произведении. Цикл длины 2 называется транспозицией.

Пример

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 2.
Пусть со сложением и умножением по модулю 7. Отображение определяет подстановку на множестве , которая задаётся следующим образом:


Свойства

TemplateExampleIcon.svg Пример Упражнение 1.
  1. Каждая неединичная подстановка является произведением независимых циклов длины не меньшей, чем два. Это разложение в произведение определено однозначно с точностью до порядка следования циклов.
  2. Порядок подстановки (порядок циклической подгруппы ) равен наименьшему общему кратному длин независимых циклов, входящих в разложении .
  3. Каждая подстановка является произведением транспозиций.

Подстановки на множестве перемножаются в соответствии с общим правилом композиции отображений: . Например, для подстановок

имеем

Проверить: .


TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение 4»
Множество всех биективных отображений на множестве образуют группу относительно композиции отображений, называемую симметрической и обозначаемую или . Любая подгруппа группы называется группой подстановок на множестве (или группой подстановок степени ). Абстрактные группы будем обозначать большими латинскими буквами , а группы подстановок - . Символом обозначим единичный элемент (единицу) группы.

Действие группы

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение 5. Действие (абстрактной) группы на непустом множестве »
Пусть для каждого элемента каждой точки задан элемент множества , обозначаемый или (т.е. задана функция , отображающая множество в множество ). Тогда говорят, что задано действие группы на множестве (или группа действует на множестве ), если выполнены следующие свойства:
  1. для всех .
  2. для всех и всех .
Каждая подгруппа действует естественным образом на множестве , где - образ элемента при отображении .
TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 3.

1. Пусть и - функция от любых аргументов. Полагаем . Тогда функция получена действием на .

Если и , то .

TemplateExampleIcon.svg Пример Упражнение 2.
Для произвольных доказать

2. (пример некоторых определений из линейной алгебры на языке теории групп) Функция называется

а) кососимметричной, если для любой транспозиции , т.е.

б) симметричной, если для любой транспозиции , т.е. .


Знак подстановки

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Утверждение 1.
  1. Пусть , - некоторое разложение в произведение транспозиций. Тогда число , называемое чётностью (иначе: сигнатурой или знаком ) полностью определяется подстановкой и не зависит от способа разложения в произведение транспозиций (т.е. чётность натурального числа для данной подстановки одна и та же). Кроме того, для всех .
  2. Пусть подстановка разложена в произведение независимых циклов длин . Тогда
Доказательство

1.

2. Аналогично предыдущему пункту, рассмотренному для m подстановок.


Обозначим: -множество натуральных чисел.

TemplateExampleIcon.svg Пример Упражнение 3.
  1. Найти знак подстановки
  2. Пусть на множестве функций 4-x переменных задано действие как в примере 1.3.1. Какие подстановки оставляют полином инвариантным, т.е. . Найти полином от 4-x переменных, инвариантный относительно действия всех подстановок из группы , но не всей группы .
  3. (приложение к теории чисел) Пусть - простое число, и рассмотрим множество . Показать, что отображение
.

есть подстановка порядка 2 на с точно одной неподвижной точкой. Показать, что подстановка также имеет, по крайней мере, одну неподвижную точку.

Отсюда получить, что для некоторых .


TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение 6.»
Подстановка называется чётной, если , и нечётной .

Из определения следует, что все транспозиции - нечётные подстановки.

TemplateExampleIcon.svg Пример Упражнение 4.
Пусть . Доказать, что все чётные подстановки степени образуют подгруппу порядка , называемую знакопеременной группой степени
обозначается как или .


Примечания

  1. С биографией Э. Галуа можно ознакомится, например, в книге Инфельд Л. Эварист Галуа. "Избранник Богов", М: Молодая гвардия, 1960.
  2. В честь норвежского математика Н. Абеля. С его биографией рекомендуется ознакомиться по книге Оре О. "Замечательный математик Нильс Хенрик Абель", М: ФИЗМАТЛИТ, 1961.