Теория групп

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 00:10, 19 марта 2016.

Понятие группы. Аксиомы группы. Примеры групп

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Группа»
Группа - множество, с заданной на нём бинарной операцией :

, где
- операция, которая удовлетворяет следующим свойствам:

  • - ассоциативность
  • - нейтральный элемент
  • - обратный элемент
TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 1

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 2

Если группа конечная, то ее можно задать в виде таблицы.

не может быть

- нейтральный элемент

Пусть нейтральный элемент на

не верно


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема-Нейтральный элемент единственен
Доказательство

, т.ч.


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема-Обратный элемент единственен
т.ч.
Доказательство


обратный элемент один.


TemplateExampleIcon.svg Пример Примеры групп

- группа

; 0 - нейтральный элемент; х - обратный элемент.

- не группа

- не группа

- группа остатков по модулю n

- некоммутативная группа


Понятие подгруппы. Порядок группы. Порядок элемента

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Подгруппа»
Подгруппа - подмножество, замкнутое относительно операции

  • замкнутая

- подгруппа, если выполняются все аксиомы относительно

Доказательства:

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Порядок группы»
Порядок группы равен количеству её элементов .

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Порядок элемента a»

В группе ровно один элемент порядка один - нейтральный.