Теорема Эйлера

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 14:32, 1 мая 2016.

Теорема Эйлера

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема Эйлера

Если , то
.

Доказательство
Рассмотрим . Пусть - подмножество полной системы вычетов по модулю , состоящее из всех взаимнопростых с вычетов. Назовем это множество приведенной системой вычетов. Если взаимно просто с , то числа образуют ту же самую приведенную систему вычетов, взятую, возможно, в другом порядке. Таким образом,

.
Сокращая одинаковые множители, приходит к требуемому равенству. Теорема доказана.


Малая Теорема Ферма

Прямым следствием из теоремы Эйлера является малая теорема Ферма.

TemplateDifinitionIcon.svg Определение « Теорема Ферма »
Если , то

Пример

Решим уравнение .
В силу малой теоремы Ферма:

Так как первое уравнение решений не имеет, то и исходное уравнение также не имеет решений.

Литература

  • Чашкин А. В., Жуков Д.А. Элементы конечной алгебры.