Теорема Парсеваля

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 18:19, 5 декабря 2016.

Под теоремой Парсеваля обычно понимают унитарность преобразования Фурье. То есть сумма (или интеграл) квадрата функции равна сумме (или интегралу) квадрата результата преобразования. Следует заметить, что общий вид теоремы Парсеваля часто называют Теоремой Планшереля или Обобщенной формулой Рэлея. Теорема была доказана для рядов Марком-Антуаном Парсевалем в 1799 году и была позднее применена к преобразованию Фурье.

Теорема

Запись теоремы имеет вид

или

где обозначает непрерывное преобразование Фурье, которое связывает временной или пространственный сигнал с его представлением в частотной области , или пространственный сигнал c его спектром
– временная частота;
– пространственные частоты.

Дискретный вид теоремы

В дискретном виде теорему записывают следующим образом:

где представляет собой дискретное преобразование Фурье сигнала , имеющего отсчетов.

Теорема Парсеваля устанавливает равенство между энергией сигнала и энергией его спектра.

Пример кода на языке MATLAB, демонстрирующий теорему Парсеваля

 N = 100;               % количество отсчетов
 x = randn(1,N);        % нормальное распределение
 Et = norm(x)^2;        % или так: Et = sum(x.^2);
 fprintf('Энергия сигнала во временной области: %f \n', Et);
 
 X = fftn(x);
 Ew = 1/N * norm(X)^2;  % или так: Ew = 1/N * sum(X.^2);
 fprintf('Энергия сигнала в  частотной области: %f \n', Ew);
 
 xnew = ifftn(X);
 Etn = norm(xnew)^2;    % или так: Etn = sum(xnew.^2);
 fprintf('Энергия сигнала во временной области: %f \n', Etn);
 
 Результат работы программы
 -----------------------------
 Энергия сигнала во временной области: 94.236108 
 Энергия сигнала в  частотной области: 94.236108 
 Энергия сигнала во временной области: 94.236108

Литература

  1. Баскаков, С. И. "Радиотехнические цепи и сигналы", 3-е изд, М.: «Высшая школа», 2000, 462 с.
  2. Гоноровский, И. С. "Радиотехнические цепи и сигналы", 4-е изд, М.: «Радио и связь», 1986, 512 с.