Теорема Лагранжа (теория групп)

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 11:13, 10 августа 2016.

Смежный класс

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Смежный класс»
Смежный класс - множество элементов подгруппы группы , умноженных на некоторый фиксированный элемент .

- левый смежный класс

- правый смежный класс

TemplateExampleIcon.svg Пример


Отношение эквивалентности

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Отношение эквивалентности»

Условия выполнения:

- симметричность

- рефлексивность

- транзитивность

Теорема Лагранжа

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Лагранжа
Порядок подгруппы является делителем группы .

Доказательство
Все смежные классы внутри группы не пересекаются.
AS 1 2.png

, где

Покажем выполнение отношения эквивалентности:

  1. Симметричность:

    - подгруппа
  2. Рефлексивность:
  3. Транзитивность:


    Все подгруппы эквивалентны, поэтому они не пересекаются.


Следствия из теоремы Лагранжа

  1. Множество левых и правых смежных классов называется индексом.
  2. Порядок фактор-группы равен индексу