Теорема Кэли (теория групп)

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 20:58, 20 февраля 2015.

Теорема Кэли

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
Если - конечная группа и , следовательно может быть вложена в группу подстановок .
Доказательство
Рассмотрим . Пронумеруем элементы в .

. Действуем на .

Мономорфизм.

Таким образом таким образом мы построили отображение

.

Покажем инъективность:

Например


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 1

Левый сдвиг - строим явный гомоморфизм


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 2



Дополнения к теории групп

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
Если - подгруппа и и , то
Доказательство

- коммутант (группа, порожденная коммутатором )

-?


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
Доказательство
Достаточно доказать : коммутатор четный


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример

Можно сделать четное число "перестановок" (т.к. место пустого поля фиксировано), каждая "перестановка" (передвижение) по сути дела транспозиция.

Таблица 2 не решаема, т.к. изначально нечетная циклическая структура.


Определение знака подстановки. Теорема о знаке подстановки

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Знак подстановки»
Знак подстановки . При четном - четная, иначе нечетная.
TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
Знак подстановки не зависит от её представления в виде произведения транспозиций

.

Доказательство
Доказываем по индукции

- произведение ченого числа даст

- подстановка раскладывается нечетным

- - четное

- - нечетное


для утверждение верно.

Если для - теорема верна, то и для - тоже верна.

- либо нет , либо можно его преобразить к виду

, где .

. Все первые подстановки не содержат

- в крайней правой позиции

- не встречается

Запишем циклы упорядоченно

.

На некотором шаге наткнулись на , если она последняя, то цель достигнута, иначе:

  • правее стоит , но , тогда переставляем таким образом:
  • , тогда (исчезло одно из вхождений )
  • , тогда
  • , тогда - подстановка уменьшена в длине, в алгоритме конечное число шагов.

Пусть для получилось или

Для получилось или

Если , то у два разных прообраза невозможно.


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример