Спектральные методы анализа нелинейных систем при детерминированных воздействиях

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 01:08, 20 октября 2016.
Статья по учебной дисциплине
Название дисциплины:

Обнаружение и распознавание сигналов

Раздел:

1. Классификация и обобщенное модельное представление систем преобразования и передачи сигналов

Глава:

1.3 Основные положения теории систем.

Преподаватель:

Чичварин Н. В.

Применение преобразования Фурье и Лапласа упрощает анализ не только линейных систем, но и нелинейных.

Преимущества при анализе структурных схем стационарных нелинейных полиномиальных систем дает применение многомерного преобразования Фурье. Но в этом случае есть существенное отличие, заключающееся в том, что однородный регулярный функционал Вольтерра.

не является многомерной сверткой, имеющей вид

Как следует из выражений , регулярный функционал Вольтерра ставит в соответствие входному сигналу выходной сигнал, зависящий от одной переменной , тогда как выражение определяет многомерный сигнал, зависящий от переменных.

Алгоритм вычисления спектра сигнала на выходе нелинейной системы дает теорема о переходе от одной переменной в области изображений. Сформулируем сначала эту теорему для функций двух аргументов.

Пусть для функции существует преобразование Фурье

Тогда

Докажем это. Пусть в формуле , тогда

Если ввести новую переменную , то и

Из последнего выражения следует утверждение теоремы:

Рассмотрим переход к одной переменной в области изображений для функции трех переменных , имеющей Фурье-образ . Приравняв переменные и обозначив по аналогии с предыдущим случаем , получим

Если теперь приравнять аргументы функции , т.е. положить и еще раз проделать операции, то окончательно

Т.о., для функции трех переменных операция перехода к одной переменной в частотной области сводится к последовательному двукратному вычислению интеграла типа Фурье-образа . В дальнейшем операцию перехода к одной переменной обозначим символом . Из доказанной теоремы вытекают два важных для дальнейшего изложения следствия.

Следствие 1. Если изображение имеет вид , то, обозначив , получим

т.е. переход к одной переменной осуществляется в этом случае простой заменой переменной.

Следствие 2. Если изображение имеет вид , то

На основании изложенного Фурье-образ функционала Вольтерра [см. формулу ] можно представить в виде

Аналогично полиному Вольтера вида , устанавливающему связь между сигналом на входе и сигналом на выходе , можно поставить в соответствие выражение в частотной области

где - Фурье-образы сигналов на выходе и входе нелинейной полиномиальной системы;
- Фурье-образ (изображение) ядра -го порядка.

Из выражения следует алгоритм вычисления спектра детерминированного сигнала на выходе нелинейной полиномиальной системы, который сводится к следующему:

  1. Вычисляются изображения многомерных ядер полиномиальной системы:
    и Фурье-образ сигнала на выходе системы.
  2. Осуществляется переход к одной переменной в частотной области для каждого члена в выражении .

Если для вычисления изображения ядра Вольтерра воспользоваться алгоритмом БПФ, то для вычисления изображений ядра размерности при разбиении области интегрирования на интервалов потребуется выполнить операций. Необходимое число операций при переходе к одной переменной путем интегрирования по методу квадратур Гаусса составит примерно . Уже при операция перехода к одной переменной оказывается почти на порядок более трудоемкой, чем вычисление изображения ядер. Чтобы уменьшить число операций при вычислении интегралов, можно воспользоваться приемом, который основан на известном свойстве преобразования Фурье и заключается в том, что значение нулевой гармоники преобразования Фурье от функции на нулевой частоте равно интегралу от этой функции, взятому в бесконечных пределах:

Если для реализации операции перехода к одной переменной применить алгоритм БПФ (см. раздел Быстрое преобразование Фурье), учитывая при этом, что нулевая гармоника полученного в результате расчета спектра равна искомому интегралу, то для этого понадобится выполнять всего операций.

См. также