Случайные сигналы

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 18:09, 5 декабря 2016.

Вероятность случайного события есть численная мера степени объективной возможности этого события и связана с опытом, практическим понятием частоты события, В качестве еди¬ницы измерения вероятности принимают вероятность достоверного события, равную 1. Все другие события будут характеризоваться вероятностями, составляющими какую-то долю единицы. Противоположным по отношению к достоверному событию является невозможное событие с вероятностью, равной нулю. Тогда вероятность некоторого события лежит в диапазоне

Случайные величины

Событие является качественной характеристикой опыта. Для количественной характеристики опыта вводится понятие случайной величины, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.
Случайные величины будем обозначать большими буквами и т.п., а возможные значения случайных величин, или значения, полученные в результате опыта, — соответствующими малыми и т.п.
Разнообразие случайных величин весьма велико. Число принимаемых ими значений может быть конечным, счетным и несчетным. Если значения располагаются дискретно, т.е. их можно заранее перечислить, то говорят о дискретной случайной величине. Случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной случайной величиной.
Функция распределения.Чтобы задавать вероятности значений случайных величин, вводится понятие функции распределения случайной величины.Пусть - случайная величина н - произвольное действительное число.Наглядной количественной характеристикой распределения вероятностей случайной величины является вероятность события , т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее чем .Эта вероятность является некоторой функцией от и называется функиней распределения вероятностей случайной величины или интегральным законом распределения


Рассмотрим основные свойства функции распределения.

  1. При помощи функции распределения можно определить вероятность неравенства для любых и ,так что .
  2. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при имеет место неравенство .
  3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее чем (невозможное событие), равна нулю, так что .
  4. Вероятность того, что на интервале случайная величина примет какое-нибудь значение (достоверное событие) равна единице, так что .
  5. .Функция распределения непрерывна слева,т.е. или .
  6. .Функция распределения дискретной случайной величина разрывна и возрастает скачками в тех , которые являются возможными значениями , так что ,где .<br\ >

Плотность распределения вероятности. Выделим важный для практики класс непрерывных случайных величин. На основании свойства функции распределения вероятность попадания случайной величины на полуинтервал длинной равна приращению функции распределения:


Предел отношения этой вероятности к длине участка, т.е. предел средней ероятности ,приходящейся на единицу длины этого участка


называется плотностью распределения вероятностей (короче- плотностью вероятности), или дифференииальным законом распределения непрерывной случайной величины
Рассмотрим основные свойства плотности распределения вероятностей:

  1. В силу монотонного неубывания
  2. Вероятность попадания случайной величины на элементарный полуинтервал длиной :
    В частности, вероятность отдельного значения такой непрерывней случайной величины равна нулю. Поэтому в дальнейшем для простоты знак равенства в выражении будем отбрасывать и рассматривать ннтервал
  3. Вероятность попадания случайной величины на интервал .
  4. Функция распределения выражается через плотность распределения по формуле

  5. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения выражает вероятность достоверного события и равен единице:

  6. Размерность плотности распределения вероятностей обратна размерности случайной величины .

Система случайных величин

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых результат опыта описывается не одной случайной величиной, а двумя или более, образующими систему величин или -мерную случайную величину. Систему из случайных величин обозначают в виде -мерного случайного вектора . Для описания системы случайных величин нужно знать не только свойства отдельных величин, но и взаимные связи между составляющими случайными величинами.
В дальнейшем для простоты ограничимся рассмотрением двумерной непрерывной случайной величины. Примером такой системы из двух случайных величин могут служить измеренные в течение определенного промежутка времени значения яркости двух источников фона, расположенных в разных точках пространства .
Основной характеристикой системы двух случайных величин служит двумерная функция распределения , т.е. вероятность совместного выполнения двух неравенств и


Свойства двумерной функции распределения выводятся как обобщение, рассмотренных выше свойств одномерной функции распределения.
Плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин представляет собой вторую смешанную частную производную двумерной функции распределения ,так что


Свойства двумерной плотности вероятности аналогичны свойствам одномерного распределения .
Вероятность попадания двумерной случайной величины внутрь элементарного прямоугольника площадью

.

Тогда вероятность попадания случайной точки в произвольную область


Одним из наиболее важных понятий при изучении системы случайных величин является понятие статистической независимости случайных величин, когда закон распределения величины не зависит от того, какое значение приняла величина . В общем случае случайные величины и независимы, если


Для независимых непрерывных случайных величин плотность распределения системы величин равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему:


Числовые характеристики случайных величин

Наиболее полной характеристикой случайной величины является функция распределения вероятностей я в частности плотность распределения вероятностей. Однако во многих практических задачах полная характеристика случайной величины или не нужна, или не может быть найдена. В этих случаях ограничиваются нахождением ряда числовых (детерминированных) параметров, характеризующих существенные черты распределения случайной величины: например, среднего значения, около которого группируются возможные значения случайной ветчины; числа, оценивающего степень разброса этих значений относительно среднего и т.д. Таким образом можно выразить основные свойства случайной величины с помощью минимального количества числовых характеристик. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты, аналогичные понятиям моментов, которые используются для описания распределения масс в классической механике.
Числовые характеристики также лежат в основе приближенной замены одного распределения другим, причем обычно стремятся произвести эту замену так, чтобы сохранились неизменными несколько важнейших моментов.
Математическим ожиданием называется средневзвешенное значение случайной величины , которое для непрерывной величины имеет вид


Число характеризует положение случайной величины на числовой оси и его иногда называют просто средним значением.
Основные свойства математического ожидания.

  1. Математическое ожидание постоянной равно этой постояной:
  2. Постоянный множитель можно выносить из-под знака математического ожидания:
  3. Для независимых случайных велечин и
  4. Математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю:

Начальным моментом -го порядка случайной величины называется математическое ожидание -й степени этой случайной величины


Oчевидно что начальный момент первого порядка .
Для двумерной случайной величины говорят о начальном моменте -го порядка


Интегралы берутся в интервале.
При этом первые начальные моменты:



представляют собой математические ожидания величин и и пределяют координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание случайной точки .
Переход к центрированной случайной величине равносилен переносу начала координат в среднюю точку, координата которой равна математическому ожиданию.
Центральным моментом -го порядка случайной величины называется математическое ожидание -ой степени центрированной случайной величины


Первый центральный момент , как следует из свойства математического ожидания, равен нулю, а второй центральный момент имеет минимальное значение.
Второй центральный момент является одной из главных числовых характеристик случайной величины и носит название дисперсии. Она представляет собой математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от среднего значения :


Дисперсия характеризует степень рассеяния, разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания и обладает следующими основными свойствами:

  1. По определению дисперсия является положительной детер¬минированной величиной.
  2. Дисперсия постоянного равна нулю:

  3. Неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат:
  4. Дисперсия суммы независимых случайных величин и равна сумме их дисперсий:
  5. На практике часто применяется формула, выражающая дисперсию случайной величины через ее второй начальный момент и квадрат математического ожидания:

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Поэтому для наглядной характеристики рассеивания используется детерминированная величина, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Она называется средним квадратическим отклонением случайной величины и равна корню квадратному из дисперсии:


Центральные моменты системы двух случайных величин

Рассмотрим числовые характеристики, которые используются для описания связи между различными случайными величинами.
Центральным моментом порядка двумерной случайной величины называется математическое ожидание произведения -й и -й степени соответствующих центрированных величин:



На практике широко применяются вторые центральные моменты системы. Два из них представляют собой дисперсии случайных величин и  :


характеризующие рассеивание случайной точки относительно точки .
Особую роль для характеристики системы двух случайных величин играет второй смешанный центральный момент



Он равен математическому ожиданию произведения центрированных величин и носит специальное название корреляционного момента (иначе -'момента связи') случайных величин .
Знание корреляционного момента позволяет находить математическое ожидание произведения и дисперсию суммы произвольных случайных величин, так что


Корреляционный момент как центральный момент второго порядка характеризует рассеивание величин и . Действительно если, например, одна из величин или мало отклоняется от среднего значения (почти не случайна), то корреляционный момент будет мал, какой бы тесной зависимостью не были связаны величины
Однако более важным является свойство корреляционного момента описывать связь между случайными величинами и . При этом для описания связи в чистом виде (без учета рассеивания) вводится безразмерная числовая нормированная характеристика


где - средние квадратические отклонения величин и . Величина представляет собой нормированный корреляционный момент и называется коэффициентом корреляции . Величина коэффициента корреляции заключена в пределах-
.

Коэффициент корреляции характеризует наличие некоторой вероятностной зависимости между величинами. В самом деле, легко показать, что для независимых случайных величин корреляционный момент , а следовательно, и коэффициент корреляции равны нулю. Таким образом, из независимости случайных величин вытекает их некоррелированность.
Обратное, вообще говоря, неверно, т.е. из некоррелированности величин еще не следует их независимость. Можно привести пример, когда , а величины оказываются зависимыми. Таким образом, условие независимости случайных величин — более жесткое, чем условие некоррелированности, а сам факт независимости есть частный случай некоррелированности.
Коэффициент корреляции описывает не всякую зависимость. Он характеризует "степень тесноты* так называемой линейной вероятностной зависимости, которая заключается в том,что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или же убывать) по линейному закону.Если случайные величины связаны точной линейной функциональной зависимостью , то в зависимости от знака . В случае говорят о положительной корреляции величин и , т.е. при возрастании одной из них другая также в среднем возрастает. В случае имеет место отрицательная корреляция, когда при возрастании первой величины вторая в среднем убывает.

Случайные функции

Наглядное представление о случайной функции можно получить из самых различных областей физики и техники. Осциллограмма напряжения шумов на выходе ПИ, распределение яркости фона в пространстве, изменение мощности или длины волны ОКГ в процессе генерации, перемещение броуновской частицы - все это примеры случайных функций.
Основные определения. В широком, хотя и не особенно строгом понимании, случайной функцией является функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, но неизвестно заранее - какой именно. Более определенно случайной функцией называется такая функция, значение которой при любом значении ,является случайной величиной . Иначе говоря, случайная функция -это семейство случайных величин, зависящих от параметра , пробегающего некоторое множество значений .
В математической теории нет никаких оснований к тому, чтобы придавать аргументу какую-либо интерпретацию. Но в приложениях речь идет большей частью о случайных функциях времени и (или) пространственных координат. Если множество произвольно, то обычно пользуются термином случайная функция. Для тех случаев, когда параметр интерпретируется как время ,вместо термина случайная функция принято говорить о случайном (или стохастическом, или вероятностном) процессе . В оптике часто аргумент случайной функции является пространствен¬ной переменной; такую функцию называют случайным полем.
Примерами случайных полей (случайных функций нескольким переменных - пространственных координат и времени) могут служить: распределение яркости фона ;яркость равномерно освещенного диффузного рассеивателя ;высота волн на поверхности моря
Запись наблюдаемой величины, т.е. конкретный вид, принимаемый случайной функцией называется реализацией(траекторией) случайной функции н обозначается . Каждая реализация - это обычная (неслучайная) функция, так что в результате опыта случайная функция превращается в обычную функцию .
Конкретная осциллограмма напряжения с выхода ПИ в отсутствие полезного сигнала представляет собой реализацию шумового сигнала . Примерами реализации случайного поля являются фотоснимок поверхности неба (реализация фоновой засветки) и распределение яркости на конкретном диф¬фузном рассеивателе .
Зафиксируем теперь некоторое значение аргумента . Тогда случайная функция превратится в случайную величину в обычном смысле слова, которая называется ординатой (или сечением) случайной функции, соответствующей данному . Если провести сечение семейства из реализаций при данном , то получим значений, принятых случайной величиной в опытах.
Примером ординаты случайного поля является значение яркости фона измеряемое в данной точке пространства в течение определенного промежутка времени.

Случайная функция как расширение понятия системы случайных величин

Рассмотрим случайный процесс , где параметр интерпретируется как время. Если аргумент принимает конечное множество значений ,то случайная последовательность сводится к системе из случайных величин .Эта -мерная случайная величина задается, как обычно, своим -мерным распределением вероятности .Если же множество значений бесконечно, то необходимо выяснить, какой смысл вкладывается в термин семейство случайных величин , зависящих от параметра ,т.е. необходимо определить, как в этом случав надо понимать задание случайной функции .
Зафиксируем значение аргумента случайной функции .Тогда случайная величина полностью задана, если известна ее плотность распределения вероятностей ,где за чертой обозначает, что речь идет о плотности вероятности ординат случайной функции в момент времени .
Однако плотность вероятности не может служить полной характеристикой случайной функции, поскольку она никак не отражает взаимную зависимость ординат случайной функции. Возможны функции , обладающие одинаковыми распределениями , но различающиеся статистическим соотношением между значениями и ,принимаемыми в два разных момента времени и . Соответствующие случайные величины могут быть полностью охарактеризованы двумерной плотностью вероятности ,где и указывают моменты времени, для которых взяты ординаты случайной функции.
Выбрав для аргумента три значения , и и указав трехмерную плотность вероятности можно получить еще более подробную характеристику случайной.
Продолжая эти рассуждения, найдем» что для любого фиксированного числа моментов времени -мерная плотность вероятности дает полные сведение о случайном процессе вниз от , но оставляет столь же полную неопределенность вверх. В этом и состоит принципиальное отличие случайной функции, у которой аргумент может принимать бесконечное множество значений, от частного случая, когда это множество конечно ( значений) и дело сводится к -мерной случайной величине.
В результате приходим к исчерпывающему способу задания случайной функции случайная функция задана, если ее конечно-мерная, плотность распределения вероятностей известна для любого числа произвольно выбранных значений из области изменения аргумента .
Рассмотренный способ определения случайной функции не всегда удобен вследствие своей громоздкости. Поэтому при исследовании законов распределения случайных функций обычно ограничиваются рассмотрением частных случаев, где для полной характеристики случайной Функции достаточно, например, знания двумерной плотности вероятности (так называемые процессы без последствия). Кроме того, вместо самих многомерных законов распределения на практике ограничиваются заданием соответствующих числовых параметров этих законов, подобно тому как в теории случайных величин часто вместо закона распределения этих величин указывают соответствующим образом выбранные параметры этих законов.

Моменты случайных функций. Корреляционная теория

Использование числовых моментных характеристик, оставляющее, по возможности, в стороне законы распределения, лежит в основе прикладной теории случайных функций.
Моменты случайной функции вводятся с той же целью, что и для системы случайных величин. Существенно новое состоит в том, что моменты случайных величин являются просто числами, в то время как моменты случайных функций представляют собой детерминированные ФУНКЦИИ выбранных значений параметра поскольку от этих значений зависят плотности распределения вероятностей.
Конечно, моменты дают менее полную характеристику случайной функции, чем ее функции распределения. Однако, no-первых, на практике эта характеристика часто оказываеюя достаточной, а во-вторых, само нахождение моментов зачастую значительно проше, чем вычисление конечномерных функций распределения. Кроме того, для практических целей, а также в ряде вопросов теории наиболее существенную роль играют моменты низших порядков, в особенности первого и второго.
Начальный момент первого порядка


является математическим ожиданием ординаты случайной функции в произвольный момент времени. По смыслу математическое ожидание есть некоторая детерминированная средняя функция, около которой различным образом варьируются конкретные реализации случайной функции.
Дисперсией случайной функции называется неслучайная функция , значение которой для каждого равно дисперсии соответствующей ординаты случайной функции:


Дисперсия представляет собой центральный момент второго по¬рядка и при каждом характеризует разброс возможных реали¬заций случайной функции относительно средней функции ,т.е. тепень случайности случайной функции.
По определению является положительной функцией. Извлекая из нее корень квадратный, получим функцию
- среднее квадратическое отклонение случайной функции.
Для описания внутренней структуры случайного процесса служит второй смешанный центральный момент (корреляционный момент)



Эта характеристика называется корреляционной (иначе автокорреляционной) функцией и выражает степень зависимости между ординатами случайной функции. Для оценки собственно статической связи между значениями случайной функции (без учета разброса, т.е. дисперсии) вводится нормированная корреляционная функция


которая представляет собой коэффициент корреляции случайных величин .
Для определения рассмотренных моментов первого и второго порядков требуется знание только одномерного и двумерного законов распределения. Такой раздел теории случайных функций,оперирующий только с моментами первых двух порядков, носит название корреляционной теории случайных функций.
Пользуясь свойствами корреляционной функции удобно вместо исходной случайной функции рассматривать центрированную случайную функцию .Математическое ожидание центрированной функции тождественно равно нулю» а ее корреляционная функция совпадает с корреляционной функцией исходной случайной функции, т.е.

Стационарные случайные функции

Наиболее важным свойством случайной функции, определяющим возможность применения особых методов исследования, является ее стационарность, т.е. независимость свойств случайной функции от начала отсчета ее аргумента.
При исследовании стационарного процесса в качестве начала отсчета можно выбрать любой момент времени и на любом участке времени получать один и те же характеристики. Образно говоря, стационарный процесс не имеет ни начала, ни конца.
В противоположность стационарным случайным процессам можно указать другие, явно нестационарные случайные процессы. Нестационарный процесс характерен тем, что он имеет определенную тенденцию развития во времени, характеристики такого процесс зависят от начала отсчета, т.е. от времени.
По своей природе стационарные случайные функции проще, чем нестационарные, и описываются более простыми характеристиками. В связи с этим на практике получила широкое применение специальная теория стационарных случайных функций.

Стационарные процессы

Все вероятностные характеристики стационарного случайного процесса не должны меняться при изменении начала отсчета времени. По определению, случайный процесс называется стационарным, если все многомерные плотности распределения вероятностей зависят только от взаимного расположения моментов времени ,но не от самих этих значений порознь, так что
,
где - любое число. Иначе такую стационарность называют стационарностью в узком смысле.
В частном случае при и , полагая , для стационарных функций имеем
,
,
т.е. одномерный закон распределения ординаты случайной функции не зависит от момента времени, для которого выбрана эта ордината, а двумерный закон распределения зависит только от разности моментов времени, для которых выбраны ординаты случайной функции.
Тогда для математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции стационарного процесса получим




Случайный процесс принято называть стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия постоянны, а корреляционная функция зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции.
Таким образом, стационарность в широком смысле является необходимым условием стационарности в узком смысле. Однако имеется один часто встречающийся класс случайных процессов, для которых оба понятия стационарности полностью совпадают. Это - нормальные, или гауссовские, случайные процессы. Плот¬ность распределения вероятностей, например, в двумерном случае


полностью определяется математическими ожиданиями, дисперсиями и корреляционными функциями.
В дальнейшем, ограничиваясь применением корреляционной теории, всегда будем использовать понятие стационарности в широком смысле.
Для стационарного случайного процесса свойства корреляционной функции приобретают более простой вид вследствие того, что она является функцией одного аргумента .

  1. характеризует среднюю мощность переменной составляющей, мощность постоянной составляющей, а средняя мощность случайного процесса.
  2. ,т.е. функция четная.
  3. Для количественной оценки статистической связи между ординатами случайного процесса пользуются термином время кореляции

Геометрически время корреляции равно половине основания прямоугольника с высотой ,имеющего площадь, равную площади под кривой модуля нормированной автокорреляционной функции. Величина дает ориентировочное представление о том, на каком интервале времени в среднем имеет место коррелированность между ординатами случайного процесса. Иначе говоря, последующее значение функции оказывается практически независимым, или некоррелированным, от предыдущего значения, если эти ординаты, разделены интервалом времени, большим .

Однородные поля

В общем случае случайная функция , удовлетворяющая условию

(где - любое число), называется однородной по аргументу . Этот общий термин используется обычно в том случае, когда под понимается одна или несколько пространственных координат (например, функция, однородная по абсциссе). При этом принято говорить об однородном случайном поле. Если интерпретируется как время ,то однородность по времени и представляет собой стационарность.
Подобно понятию стационарного в широком смысле случайного процесса можно ввести понятие однородного в широком смысле случайного поля, понимая под этим случайную функцию двух (или нескольких) переменных ,для которой математическое ожидание и дисперсия постоянны, а корреляционная функция


зависит только от разности векторов и ,так что ,где
где .
Еще более частным видом случайной функции двух переменных является однородное изотропное случайное поле, для которого корреляционная функция зависит только от расстояния и не зависит от направления вектора . Примерами таких полей служат распределение яркости фона безоблачного неба в зените или яркость равномерно освещенного диффузного рассеивателя .
Для таких полей по аналогии с временем корреляции можно ввести понятие радиуса корреляции.

Эргодическое свойство стационарной случайной функции

Чтобы определить основные характеристики стационарной случайной функции, нужно располагать известным числом реализаций, т.е. иметь ансамбль систем. Однако обычно на практике имеется одна установка и экспериментатор за данный промежуток времени может получить лишь одну реализацию. Оказывается, что эргодичность случайной функции позволяет получать все статистические характеристики из одной достаточно длинной реализации.
Случайная функции называется эргодической. если любая ее вероятностная характеристика, полученная усреднением по множеству возможных реализаций с вероятностью сколь угодно близкой к единице, равна среднему, полученному из одной реализации при достаточно большом изменении аргумента. В случае эргодического стационарного процесса математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция могут быть вычислены по формулам:




Для эргодического однородного изотропного случайного поля имеем соответственно




Необходимым условием эргодичности случайных процессов является их стационарность (однородность). Это объясняется тем, что и , вычисляются как средние по времени постоянные числа. Для нестационарного процесса определение и как средних по множеству реализаций дает некоторые зависимости от времени. Следовательно, средние по времени не будут совпадать со средними по множеству.
Однако стационарность не является достаточным условием эргодичности. Так, случайный процесс , где - стационарный случайный процесс, a случайная величина, не является эргодическим.
Необходимым и достаточным условием эргодичности стационарного процесса является удовлетворение корреляционной функции предельному у соотношению


Физически этот результат объясняется тем, что случайные процессы, наблюдаемые в стационарно и устойчиво работающих системах, обычно имеют конечное время корреляции .

Спектральная плотность стационарной случайной функции

Центральное место в корреляционной теории занимает вопрос о гармоническом разложении как самой случайной функции, так и ее моментов второго порядка. Последние часто имеют энергетический смысл и могут служить простейшей мерой интенсивности случайных изменений.
Представление внешнего воздействия на систему и без отклика на это воздействие в виде суммы каких-то "элементарных" слагаемых является спецификой описания линейной системы. Это в равной мере относится как к детерминированным, так и случайным воздействиям. При этом выбор "элементарных" функций в виде как всегда лежит в основе гармонического анализа системы.
Стационарные случайные функции вследствие неизменности их вероятностных характеристик во времени имеют квазипериодический характер. Это позволяет заменить исследование стационарной случайной пункции исследованием случайной функции некоторой переменной, которая во многих приложениях имеет размерность частоты. Полученные таким способом результаты оказываются полностью эквивалентны результатам, которые находятся о помощью корреляционной функции случайного процесса. Однако применение этого способа во многих случаях позволяет значительно упростить выкладки и добиться большей наглядности.
Между характером корреляционной функции и внутренней структурой соответствующего ей случайного процесса существует определенная связь. При этом вид корреляционной функции зависит от того, какие частоты и в каких соотношениях преобладают в составе случайной функции. Спектральной плотностью случайного процесса называется прямое преобразование Фурье от корреляционной функции (теорема Хннчииа-Внкера):


Справедливо и обратное преобразование Фурье


Основные свойства спектральной плотности

  1. является действительной и четной функцией как фурье-образ действительной и четной функции.
  2. Четность функций и позволяет упростить связь между ними


  3. является неотрицательной функцией частоты, так как имеет место следующее неравенство:.
  4. Сушествование конечной дисперсии в силу свойства требует, чтобы настолько быстро, что
  5. Спектральная плотность и корреляционная функция обладают всеми свойствами, характерными для пары преобразований Фурье. В частности, чем шире спектр ,тем уже корреляционная функция , и наоборот.
  6. Спектральная плотность случайного процесса не содержит информации о фазах частотных составляющих. Поэтому в отличие от спектральной плотности детерминированного сигнала с ее помощью нельзя восстановить какую-либо реализацию случайного процесса. Можно всегда указать совокупность различных случайных функций, имеющих одну и ту же спектральную плотность.

Случайные функции часто реализуются в технике в виде напряжения или электрического тока. При этом моменты второго порядка имеют энергетический смысл. Тогда с учетом свойства выражение пропорционально энергии внутри диапазона частот , так как энергия электрического тока пропорциональна квадрату амплитуды соответствующей гармоники. Эту электродинамическую аналогию имеют в виду, когда говорят об энергетической спектральной плотности случайного процесса.
В оптике, когда речь идет о случайной функции яркости такой простой аналогии не существует. Хотя моменты второго порядка по-прежнему служат мерой "интенсивности" случайных изменений, но дисперсия в этом случае имеет размерность квадрата случайной функции яркости.
Учитывая, что в общем случае ширина спектра любой случайной функции равна бесконечности, на практике пользуются понятном энергетической ширины спектра случайного процесса


где -значение спектральной плотности на некоторой характерной частоте. обычно берут равной максимуму спектральной плотности. Тогда произведение времени корреляции на ширину спектра есть постоянная величина, т.е.


Этот результат аналогичен тому, что для детерминированных сигналов произведение длительности импульса на ширину полосы частот также постоянно

  • Замечание.В случае однородного случайного поля двух переменных спектр корреляционной функции имеет вид

    Обратное преобразование Фурье дает спектральное разложение корреляционной функции

    Таким образом, и для однородного случайного поля задание корреляционной функции эквивалентно заданию спектральной плотности и, наоборот, спектральная плотность случайного поля однозначно характеризует корреляционную функцию.

Белый шум

Рассмотрим стационарный случайный процесс , функция корреляции которого имеет вид


Из следует, что любые две ординаты и в сколь угодно близкие моменты времени некоррелированы. Про такой процесс говорят, что он дельта-коррелирован.
Спектральная плотность дельта-коррелированного процесса


Случайный процесс, спектральная плотность которого постоянна на всех частотах, называется белым шумом. Так как дисперсия становится бесконечно большой

то в этом смысле понятно белого шума является математической абстракцией. Однако понятием белого шума широко пользуются в технике, применяя его в тех случаях, когда энергетическая ширина спектра случайного процесса много больше, чем полоса пропускания системы, на входе которой он действует.
Рассмотрим приближенную замену реального шума (процесса) на белый шум . Пусть на систему с постоянной времени воздействует реальный шум с функцией корреляции ,которая характеризуется достаточно широким спектром и, следовательно, малым, но конечным временем корреляции . За значение спектральной плотности "эквивалентного" белого шума берется значение


Примером шума, который в очень многих случаях можно считать дельта-коррелированным, является тепловой шум ПИ, обусловленный тепловым движением микрозарядов.

Преобразование плотности вероятности

Пусть известна плотность вероятности случайной величины , действующей на нелинейный безынерционный элемент. Нужно найти плотность вероятности выходной случайной величины . Связь между и дается нелинейной детерминированной зависимостью .Если определяет однозначное соответствие между и в каждый рассматриваемый момент времени независимо от значений в предыдущие моменты времени, то и вероятности событий на входе и выходе равны,т.е. .Учитывая, что плотности распределения вероятности неотрицательные функции, получим


Математическое ожидание и дисперсию случайной величины на выходе нелинейного элемента можно записать соответственно как:



Корреляционная функции и спектральная плотность на выходе НЭ


Определим спектральную плотность случайного процесса на выходе НЭ. Имеем


Первое слагаемое представляет собой произведение -функции на ,т.е.. Второй интеграл в представляет собой преобразование Фурье от произведения двух функций , которое равно свертке их Фурье-образов. С учетом изложенного принимает следующий окончательный вид


Дисперсия выходного случайного процесса определяется зависимостью