Случайные процессы и их спектры

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 00:53, 22 мая 2017.

За последнее время внимание уделяется вопросам, связанным с борьбой с различного рода помехами. Помехи представляют собой нерегулярные явления и могут описываться лишь статистически. Типичным примером такого явления является шум, обусловленный флуктуациями, например, тепловыми. А так как именно разного рода помехи препятствуют увеличению чувствительности аппаратуры в различных отраслях техники, то неудивителен тот интерес, который проявляется к помехам техниками и физиками. С другой стороны, в той отрасли математики, которая одна лишь может доставить адекватное этим явлениям орудие исследования, - в теории вероятностей - также за последнее время усиленно развивается направление, изучающее не дискретные наборы случайных величин, а непрерывные случайные процессы. Таким образом, техники получают новый и специальным образом приспособленный к особенностям проблемы аппарат математического исследования. При таком положении можно с полным основанием ожидать быстрого развития теории и практики исследования помех. Действительно, за последнее время в этой области сделано довольно много. Нет, понятно, никакой возможности в рамках короткого обзора охватить этот обширный и специальный материал. Здесь будет сделана лишь попытка в самых общих чертах охарактерризовать применяемые в настоящее время определения и представления (см. список литературы в конце данного раздела). Прежде всего отметим некоторые из установившихся терминов.

Случайным или стохастическим процессом называется явление, описываемое непрерывной последовательностью значений некоторой величины, связанной c другой величиной не функциональной, а вероятностной зависимостью. Например, если наблюдаются значения величины для различных значений времени, то, записав связь между и в виде , можно сказать, что при величина может с определенной степенью вероятности принимать значения и т.д.

Важным частным видом случайного процесса является так называемый процесс без последействия, или марковский процесс. Его особенность заключается в том, что вероятность любого последующего значения наблюдаемой величины полностью определяется значением, наблюдаемым в данный момент; значение предшествующего хода явления ничего не добавляет к тому, что можно в данный момент сказать о последующем ходе явлений, основываясь на его вероятностных характеристиках.

Случайный процесс называется стационарным, если его вероятностная характеристика не изменяется с течением времени. Именно такого рода процессы представляют наибольший интерес для техники. Иногда для пояснения природы стационарного процесса ссылаются на неизменность порождающего этот процесс физического механизма. Так, например, основным (и неизменным во времени) механизмом, порождающим тепловые флуктуации, является броуновское движение. Таким образом, тепловые флуктуации - процесс стационарный.

Вероятностные характеристики случайных процессов

Случайно изменяющиеся величины можно охарактеризовать средними значениями, или математическими ожиданиями. Определение математического ожидания таково:

где означает функцию распределения.

По эргодической теореме Хинчина этот интеграл совпадает со средним значением величины во времени:

Интересным видом случайных процессов являются флуктуации различного рода, которые характеризуются отклонением наблюдаемой величины от некоторого среднего значения, причем положительные и отрицательные отклонения равновероятны. В этом случае

Среднее значение квадрата случайной величины , очевидно, не равно нулю и для стационарного процесса конечно:

Дисперсия случайной величины выражается через ее математическое ожидание следующим образом:

Поскольку второй член выпадает на основании , то можно сделать вывод, что:

Важнейшей характеристикой стационарного процесса является коэффициент корреляции, устанавливающий вероятностную зависимость между и при двух разных значениях времени, различающихся на . По определению из теории вероятностей коэффициент корреляции при равен:

Но так как , то:

Тогда, согласно , устанавливается зависимость коэффициента корреляции от времени:

Определенная таким образом величина называется функцией корреляции (аргумента ). Выделяются некоторые свойства функции корреляции.

Очевидно, что

так как при этом

т.е. функция корреляции устанавливает степень связи величины с самой собой. Во многих случаях при увеличении связь ослабевает, и в пределе

Если и статистически независимы, то по теореме о математическом ожидании произведения двух независимых величин:

т.е. коэффициент корреляции равен нулю.

Так как для стационарного процесса начало отсчета времени безразлично, то

т.е. - четная функция своего аргумента.

Если и связаны не вероятностной, а функциональной зависимостью, то это еще не означает полной корреляции, т.е. .Так, например, если - периодическая функция, то и - периодическая функция того же периода. Это вытекает непосредственно из определения функции корреляции и из условия стационарности: если , где - период, то

Нетрудно вычислить и коэффициенты Фурье периодической функции . Пусть

Тогда

Здесь в силу периодичности среднее берется за период: индексы и принимают все целые значения между и . Далее,

Поскольку , то выражение под знаком сумм равно нулю при любых комбинациях и , кроме , т.е. при . В последнем случае выражение равно единице, и в результате

т.е. амплитуда гармоники функции корреляции равна квадрату амплитуды соответствующей гармоники функции .

Например, пусть дана последовательность весьма коротких импульсов, причем рассматриваются два различных условия:

  1. последовательность - периодическая;
  2. последовательность - случайная, т.е. величина интервала между соседними импульсами может принимать значение в зависимости от случая.
Рис. 1.

При первом условии (рис. 1, а) функция корреляции будет представлять собой также периодическую последовательность импульсов (несколько измененной формы). Это легко себе представить, если мысленно смещать графики и друг относительно друга, т.е. изменять . Ясно, что произведение равно нулю при всех кроме .

При втором условии (рис. 1, б) при данном смещении совпадение отдельных импульсов возможно, но на всем бесконечном протяжении оси совпадений будет относительно мало, так что среднее значение произведения будет равно 0 для любых кроме , когда это значение равно единице. Рассмотренный случай является примером предельно слабой корреляции.

Таким образом, функция корреляции представляет собой весьма универсальное и удобное средство описания общих вероятностных свойств случайных процессов. Но польза функции корреляции становится особенно очевидной, когда выясняются ее спектральные свойства.

Спектральные характеристики случайных процессов

Текущий спектр случайного процесса записывается в виде:

Мгновенная мощность процесса пропорциональна , элементарная работа равна .

Средняя мощность задается выражением:

что является средним квадратом величины , совпадающим с ее дисперсией. Таким образом, установлен физический смысл этих вероятностных величин.

Энергия процесса за время имеет вид:

По теореме Рэйли:

где

Из и следует:

где

В результате:

Таким образом, величина выражает спектральную плотность мощности, или спектр мощности. Величина есть мощность, приходящаяся на полосу частот .
Для вычисления спектра функции корреляции нужно воспользоваться определением свертки двух функций и :

Спектр свертки выражается произведением спектров обеих функций. Тогда спектр функции

равен

Таким образом, для спектра функции корреляции имеем

и следовательно, можем записать[1].

>

Учитывая четность функции и и используя косинус-преобразования Фурье:

Таким образом, спектр функции корреляции есть не что иное, как спектр мощности процесса, что позволяет использовать функцию корреляции как средство описания случайного процесса.

Анализ случайных процессов

Из приведенных соотношений можно сделать некоторые заключения о путях анализа случайных явлений типа флуктуационных шумов и других так называемых "гладких помех", относящихся к стационарным стохастическим процессам. Нужно построить анализатор, способный измерить величину , т.е. спектр мощности. Для этого анализатор должен измерять текущий спектр мощности

либо непосредственно, либо путем измерения текущего спектра энергии с одновременным делением последней величины на протекшее время . Анализатор должен включаться на достаточное время, чтобы его показание установилось в соответствии с определением

Само собой разумеется, что речь может идти только об одновременном анализе посредством набора избирательных элементов - резонаторов или полосных фильтров.

См. также

Примечания

  1. Нужно заметить, что численные коэффициенты во всех наших формулах отличаются от приводимых в других работах. Это обусловлено выбором основного определения спектра и, в частности, тем, что мы оперируем круговой частотой

Литература

  1. В. И. Бунимович, Флюктуационный процесс как колебание со случайной амплитудой и фазой, ЖТФ 19, 1231 (1949).
  2. Б. В. Гнеденко, Курс теории вероятностей, Гостехиздат, 1950.
  3. А. Н. Колмогоров, Статистическая теория колебаний с непрерывным спектром, Юбилейный сборник АН СССР, изд. АН СССР, 1947.
  4. А. Я. Хинчин, Математические основания статистической механики, Гостехиздат, 1943.
  5. А. Я. Хинчин, Теория корреляции стационарных стохастических процессов, Успехи матем. наук № 5, 42, 1938.
  6. J. Bernamont, Fluctuations de potentiel aux bornes d'un conducteur mètallique de faible volume parcouru par un courant, Ann. de Phys.(11) 7, 71 (1937).
  7. J. S. Carson, The statistical energy-frequency spectrum of random disturbances. BSTJ 10, 374 (1931).
  8. H. Cramer, On the theory of stationary random processes, Ann. Math. (2) 41. 215 (1940).
  9. G. W. Kenrick, The analysts of irregular motions with applications to the energy-frequency spectrum of statics and of telegraph signals, Phil. Mag. (7) 7, 176 (1929).
  10. Ming Chen Wang, G. E. Uhlenbeck, On the theory of Brownian motion, Rev. Mod. Phys. 17, 323 (1945).
  11. S. O. Rice, Mathematical analysis of random noise. BSTJ 23, 282 (1944); 24, 46 (1945).
  12. N. Wiener, Harmonic analysis of irregular motion. J. Math. and Phys. 5, 99 (1926).
  13. N. Wiener, Generalized harmonic analysis, Acta Math. 55, 177 (1930).