Изменения

Нет описания правки
{{Проверка-}}
__NUMBEREDHEADINGS__
__TOC__
== Физическое определение <math>\delta \,\!</math>дельта-функции ==
Классические решения уравнений математической физики, с помощью которых описываются распространение полей в ОЭС, РЭС и АЭС, определяются только вне особых точек. Однако именно эти сингулярные точки играют основную роль, так как в них расположены точечные источники электромагнитного и акустического излучений. Для модельного представления одномерного тракта любого КПС необходима модель «точечного» входного сигнала (воздействия). Дирак ввел физическое понятие &delta;-функции, которая удобна при адекватном математическом описании точечных источников излучения, точечных зарядов и коротких электрических импульсов.
Введение <math>\delta \,\!</math>-функции послужило толчком для широкого развития нового раздела функционального анализа – ''теории обобщенных (сингулярных) функций'' или ''теории распределений''. Построенный математический аппарат, хотя и не дал новых методов решения, но привел к усовершенствованию аналитической формулировки задач и более глубокому исследованию проблемы существования решений уравнений математической физики. Теория обобщенных функций разрешает много неясных вопросов нахождения фурье-образов ряда абсолютно неинтегрируемых функций. Примерами таких обобщенных функций служат широко распространенные типовые сигналы в виде функции <math>1(x, y) \,\!</math>, задающей равномерно освещенную электромагнитным, либо акустическим излучением плоскость, и амплитудного коэффициента пропускания косинусоидальной амплитудной решетки <math>\cos (2\pi\nu_{x_0}x) \,\!</math> для моделирования компонент ОЭС и ФАР в РЭС и АЭС. Изложение строгой теории обобщенных функций выходит далеко за рамки дисциплины «ОиРС» и требует привлечения специального математического аппарата. Существенным фактором является то, что при описании сигналов в ОЭС, РЭС и АЭС, а также в электронных трактах указанных систем, <math>\delta \,\!</math>-функция и другие обобщенные функции встречаются, как правило, только на промежуточных этапах. В окончательном результате они отсутствуют совсем или входят под знак интеграла вместе с другой бесконечно дифференцируемой и финитной функцией. Необходимо, однако, понимать, что <math>\delta \,\!</math>-функция не является функцией в обычном математическом смысле. Например, <math>\delta(x-x_0) \,\!</math> с обычной точки зрения представляет собой функцию, тождественно равную нулю на всей действительной оси, кроме точки <math>x_0 \,\!</math>, где она не определена (бесконечная точка разрыва). Известно, что интеграл Римана не зависит от значений функции в конечном и даже счетном числе точек. Поэтому классический интеграл от <math>\delta(x-x_0) \,\!</math> должен быть тождественно равен нулю.
== Пример применения <math>\delta \,\!</math>дельта-функции при модельном описании пространственного сигнала ==
Из-за отсутствия математической строгости в физическом определении <math>\delta \,\!</math>-функции существует большой выбор амплитудных коэффициентов пропускания транспаранта, образующих <math>\delta \,\!</math>-образные последовательности в РЭС, ОЭС, АЭС.
являющаяся пределом, к которому стягивается круглое отверстие при освещении плоской, нормально падающей волной с единичной амплитудой. Так как объем любого цилиндра <math>~\color{Maroon} (2.6)</math> радиуса <math>a/n\,\!</math> в <math>\pi\,\!</math> раз больше объема прямоугольного параллелепипеда <math>~\color{Maroon} (2.2)</math> со стороной основания <math>a/n\,\!</math>, то этим множителем различаются между собой <math>\delta(r)=\delta(\sqrt{x^2+y^2})\,\!</math> и <math>\delta(x, y)\,\!</math>
== Свойства <math>\delta \,\!</math>дельта-функции ==
Приводимые обоснования свойств опираются на физическое определение <math>\delta \,\!</math>-функции и не являются математически строгими.
=== Практическая реализация <math>\delta \,\!</math>дельта-функции ===
В пространственных трактах ОЭС, РЭС и АЭС, <math>\delta \,\!</math>-функция характеризует щелевые или точечные источники излучения, либо единичные временные сигналы в электронных трактах. В одномерном случае <math>\delta \,\!</math>-образная модель определяет сигнал на выходе узкой щели шириной <math>\varepsilon: \,\!</math>
<center><math>\delta(x-x_0, y-y_0):s(x, y)\rightarrow s(x_0, y_0) \,\!</math></center>
=== Умножение на <math>\delta \,\!</math>дельта-функцию ===
Сигнал в виде <math>\delta \,\!</math>-образного воздействия имеет вид
т. е. единичная амплитуда <math>\delta \,\!</math>-функции изменяется в <math>s(x_0, y_0) \,\!</math> раз.
=== Изменение масштаба <math>\delta \,\!</math>дельта-функции ===
Это изменение эквивалентно соответствующему изменению амплитуды <math>\delta \,\!</math>-функции:
приводят к одинаковому результату.
=== Спектральная плотность <math>\delta \,\!</math>дельта-функции ===
На основании свойства преобразования Фурье:
<center><math>\bar\delta(\nu_x, \nu_y)= \iint\limits_{-\infty}^{\quad \infty} \delta(x, y)\mbox{exp}[-i2\pi(\nu_x x, \nu_y y)] \, dx\,dy= 1(\nu_x, \nu_y). \quad \quad {\color{Maroon}(3.6.2)} \,\!</math></center>
=== Производные <math>\delta \,\!</math>дельта-функции ===
Рассматривая для простоты одномерный случай <math>\delta'(x) \,\!</math>, интегрируя по частям и используя фильтрующее свойство,  получим
Editors
381
правка