Изменения

Дискретизация сигнала

4114 байтов добавлено, 6 лет назад
Дискретизация функций с реальным спектром
== Дискретизация функций с реальным спектром ==
 
Реальные функции имеют спектр , как правило, вида рис.1
 
[[Файл:D2.1_new.png|thumb|right|250px|Рис.1]]
 
Учет так называемых "хвостов" резко увеличивает вычислительные затраты. Нельзя точно восстановить сигнал по теореме Котельникова.
 
Для того , чтобы не возникало искажений, нужно пропустить изображение через фильтр низких частот- "окно", который устраняет высокочастотные составляющие и ограничивает спектр.
 
Примеры фильтров "окон".
 
1.Прямоугольное окно
 
<math>rect(\frac{f+F}{2F})=\begin{cases}1,|f|\le F \\
0,|f| \ge F\end{cases} </math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.1) \,\!</math>
 
2.Окно Хэннинга
 
<math>W(f)=\begin{cases} \frac{1}{2} (1+cos(\frac{\pi f}{F}), & pri |f|\le F \\ 0\ v\ ostalnih\ sluchayah \end{cases} \,\!</math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.2) \,\!</math>
 
3. Окно Кайзера
 
<math>W(f)=\begin{cases} \frac{I_0(\alpha\sqrt{1-{(\frac{f}{\tau}})}^2}{I_0(\alpha)}, & pri |f|\le F\ \alpha\ moget\ var'irovatsya \\ 0\ v\ ostalnih\ sluchayah \end{cases} \,\!</math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.3) \,\!</math>
 
Рассмотрим, что будет, если:
 
*а) спектр сигнала не является конечным, т.е. как на рисунке рис. 1.;
*b) если восстанавливающий фильтр имеет полосу пропускания <math> (-F,F)\!</math> шире, чем спектр сигнала.
 
[[Файл:D2.2_new.png|thumb|right|300px|Рис.2 Строб-эффект]]
 
[[Файл:D2.3_new.png|thumb|right|300px|Рис.3 Муар-эффект]]
 
<math>\color{Blue} a)\,\!</math> Процедуру восстановления сигнала по его отсчетам <math> a(k\Delta t)\!</math> можно представить, как результат пропускания через идеальный фильтр низких частот <math> \lambda_d(t)=\frac{1}{\Delta t}sinc(\frac{\pi t}{\Delta t})\!</math> и частотной характеристикой:
 
<math> H_d(t)=rect(f+\frac{1}{2\Delta t}) \!</math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.4) \,\!</math>
 
непрерывного сигнала <math> U(t) \quad= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} U(k\Delta t)f(t-k\Delta t)\!</math>
 
спектр которого — периодически продолженный с периодом <math>\frac{1}{\Delta t}\!</math>спектр сигнала <math>U(t)\!</math>
 
<math> \tilde{U_\Phi}(f) \quad =\sum_{m=-\infty}^{+\infty}\tilde{U}_\Phi(f-\frac{m}{\Delta t}) \!</math> <math>\quad \quad \color{Maroon} (3.5) \,\!</math>
 
Если спектр <math>\tilde{U}_\Phi(f)\!</math> ) ограничен <math> (-F,F)\!</math>, то выделяется строго один период спектра, соответствующий<math> m=0\!</math> и равный спектру <math>U(t)\!</math>.
 
Если спектр <math>U(t)\!</math>шире <math> (-F,F)\!</math>,то происходит перекрытие соседних периодов спектра сигнала <math> \tilde{U}(t) \quad\!</math> и уже невозможно выделить спектр сигнала в чистом виде. Это явление называется строб-эффектом
 
<math>\color{Blue} b)\,\!</math> Во втором случае в восстановленный после растрирования с шагом <math>\Delta t\,\!</math> непрерывный сигнал попадают компоненты исходного сигнала из плюс-минус первого порядка периодически продолжительного спектра
 
Это явление называется '''муар-эффектом'''.
Editors
409
правок