Вейвлет

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 23:42, 17 ноября 2016.


Вейвлет – обобщенное название семейств математических функций определенной формы, которые локальны во времени и по частоте, и в которых все функции получаются из одной базовой (порождающей) посредством ее сдвигов и растяжений по оси времени. Термин "вейвлет" (wavelet) в переводе с английского означает "маленькая (короткая) волна". Вейвлет-преобразования рассматривают анализируемые временные функции в терминах колебаний, локализованных по времени и частоте. Как правило, вейвлет-преобразования (WT) подразделяют на дискретное (DWT) и непрерывное (CWT).

Введение

Аналитика вейвлетных преобразований сигналов определяются математической базой разложения сигналов, которая аналогична преобразованиям Фурье. Основной отличительной особенностью вейвлет-преобразований является новый базис разложения сигналов - вейвлетные функции. Свойства вейвлетов принципиально важны как для самой возможности разложения сигналов по единичным вейвлетным функциям, так и для целенаправленных действий над вейвлетными спектрами сигналов, в том числе с последующей реконструкцией сигналов по обработанным вейвлетным спектрам.

Вейвлеты могут быть ортогональными, полуортогональными, биортогональными. Эти функции могут быть симметричными, асимметричными и несимметричными, с компактной областью определения и не имеющие таковой. Некоторые функции имеют аналитическое выражение, другие – быстрый алгоритм вычисления вейвлет-преобразования. Вейвлеты различаются также степенью гладкости. Для практики желательно было бы иметь ортогональные симметричные и асимметричные вейвлеты. К сожалению, такими вейвлетами являются лишь вейвлеты Хаара, которые не обладают достаточной гладкостью и не подходят для большинства приложений. Наибольшее применение находят биортогональные вейвлеты.

Базисными функциями вейвлет-преобразований, которые собственно и называются вейвлетами, могут быть самые различные функции с компактным носителем: модулированные импульсами синусоиды, функции со скачками уровня и т. п. Они обеспечивает хорошее отображение и анализ сигналов с локальными особенностями, в том числе со скачками, разрывами и перепадами значений с большой крутизной, при подборе соответствующего типа вейвлетов.

Следует, однако, различать вейвлеты по целевым задачам вейвлетных преобразований с позиций декомпозиции – реконструкции сигналов. По аналогии с преобразованием Фурье, было бы желательно иметь такое вейвлет-преобразование сигналов, которое обеспечивало бы полную информационную эквивалентность нового представления сигналов (вейвлетного спектра) временному (динамическому, координатному) представлению, и, соответственно, однозначность как декомпозиции сигналов, так и их реконструкции из вейвлетных спектров. Однако это возможно только при использовании ортогональных базисных функций, к числу которых относится достаточно ограниченное количество ортогональных и биортогональных вейвлетов. Этим вейвлетам и будет уделено основное внимание. Вместе с тем для качественного анализа сигналов и локальных особенностей в сигналах может применяться гораздо более обширная номенклатура вейвлетных функций, которые хотя и не обеспечивают реконструкцию сигналов, но позволяют по новому оценить информационное содержание сигналов и динамику изменения этой информации.

Определение вейвлета

В общем случае к вейвлетам относятся локализованные функции, которые конструируются из одного материнского вейвлета или по любой другой независимой переменной путем операций сдвига по времени и изменения временного масштаба :

где множитель, обеспечивающий независимость нормы функций от масштабирующего числа .

Непрерывное (интегральное) вейвлет-преобразование сигнала , которое применяется для качественного частотно-временного анализа, по смыслу соответствует преобразованию Фурье с заменой гармонического базиса на вейвлетный :

Вейвлетный масштабно-временной спектр , в отличие от фурье-спектра, является функцией двух аргументов: временного масштаба вейвлета (в единицах, обратных частоте) и временного смещения вейвлета по сигналу (в единицах времени), при этом оба параметра могут принимать любые значения в пределах областей их определения. На рис. 3 приведены примеры простейших неортогональных вейвлетов четного (Mhat) и нечетного (Wave) типов.

Рис. 1. Вейвлеты Mhat и Wave.

Для количественных методов анализа (декомпозиция сигналов с возможностью последующей линейной реконструкции сигналов из обработанных вейвлет-спекторов) строго с математических позиций в качестве вейвлетных базисов можно использовать любые локализованные функции , если для них существуют функции-двойники (парные функции) , такие, что семейства и могут образовывать парные базисы функционального пространства . Вейвлеты, определенные таким образом, позволяют представить любую произвольную функцию в пространстве в виде ряда:

где коэффициенты – проекции сигнала на вейвлетный базис пространства, которые определяются скалярным произведением

Если вейвлет обладает свойством ортогональности, то и вейвлетный базис ортогонален. Вейвлет может быть неортогональным, однако если он имеет двойника и пара () дает возможность сформировать семейства и , удовлетворяющие условию биортогональности на целых числах

то возможно разложение сигналов на вейвлетные ряды с построением обратной формулы реконструкции. С точностью обратного вейвлет-преобразования связано большинство ограничений, накладываемых на вейвлеты.

Ортогональный вейвлет

Если для семейства функций выполняется условие ортогональности:

то семейство может использоваться в качестве ортонормированного базиса пространства . Отсюда следует, что произвольная функция этого пространства может быть представлена в виде ряда (разложения по базису ):

где коэффициенты представления сигнала – проекции сигнала на новый ортогональный базис функций, как и в преобразовании Фурье, определяются скалярным произведением

Этот ряд равномерно сходится, то есть

При выполнении этих условий базисная функция преобразования называется ортогональным вейвлетом.

Функции Хаара

Простейшим примером ортогональной системы функций являются функции Хаара. Базисная функция Хаара определяется соотношением

Легко проверить, что при две любые функции, полученные с помощью этого базисного вейвлета путем масштабных преобразований и переносов, имеют единичную норму и ортогональны. На рис. 2 приведены примеры функций для первых трех значений и при различных их комбинациях, где ортогональность функций видна наглядно.

Рис. 2. Функции Хаара.

Свойства вейвлета

  • Локализация
Вейвлет должен быть непрерывным, интегрируемым, иметь компактный носитель и быть локализованным как во времени (в пространстве), так и по частоте. Если вейвлет в пространстве сужается, то его "средняя" (доминирующая) частота повышается, спектр вейвлета перемещается в область более высоких частот и расширяется. Этот процесс должен быть линейным – сужение вейвлета вдвое должно повышать его доминирующую частоту и ширину спектра также вдвое. Вейвлетную функцию можно считать достаточно хорошо локализованной при выполнении условий:
при
  • Нулевое среднее значение, т.е. выполнение условия для нулевого момента:
Данное свойство обеспечивает выделение локальных особенностей сигналов в пределах вейвлетного носителя на уровне региональных изменений и тренда, нулевое усиление постоянной составляющей сигналов с нулевым значением частотного спектра вейвлета при и локализацию спектра вейвлета в виде полосового фильтра с центром на определенной (доминирующей) частоте вейвлетной функции. Для игнорирования регулярных полиномиальных составляющих сигнала и анализа мелкомасштабных флюктуаций и особенностей высокого порядка, как правило, требуются и нулевые значения определенного количества последующих моментов:
Такие вейвлеты называются вейвлетами m-го порядка.
  • Ограниченность. Необходимое и достаточное условие:
Оценка хорошей ограниченности и локализации может выполняться с использованием выражений:
или
где – средняя частота вейвлета.
Число должно быть как можно больше.
  • Автомодельность базиса или самоподобие.
Форма всех базисных вейвлетов должна быть подобна материнскому вейвлету , т.е. должна оставаться одной и той же при сдвигах и масштабировании (растяжении/сжатии), иметь одно и то же число осцилляций.

Литература

  1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: Основы теории и примеры применения. – Успехи физических наук, 1996, т.166, № 11, стр. 1145-1170.
  2. Дьяконов В., Абраменкова И. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2002, 608 с.

См. также