Преобразование одномерных случайных сигналов в КПС

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 23:37, 17 ноября 2016.


Введение

Если сигнал на входе линейной подсистемы КПС является детерминированным, то его соотношение с выходным сигналом однозначно определяется импульсным откликом подсистемы. Таким же однозначным является соотношение входа - выхода и для случайных сигналов, однако в данном случае это связь между статистическими характеристиками, а не параметрами сигналов. Поэтому для описания реакции подсистемы на случайный входной сигнал используется статистический подход.

Фильтрация случайных сигналов

Если параметры случайного входного сигнала специально не оговариваются, то по умолчанию принимается, что на вход фильтра поступает реализация случайного стационарного процесса с нулевым средним, которая преобразуется сигнал на выходе фильтра. Значение принимаем равным 1.

Сохранение природы сигнала

Допустим, что фильтр имеет импульсный отклик . Зададим на входе фильтра стационарный квазидетерминированный случайный сигнал, который не обладает свойством эргодичности, но имеет все свойства случайного сигнала, и может быть описан в явной математической форме:

где и - взаимно независимые случайные величины, причем значение равномерно распределено в интервале .

При этом выходной сигнал определится выражением:

Из этого выражения следует, что выходной сигнал фильтра также является случайным и содержит те же самые случайные параметры, что и входной сигнал, а, следовательно, для него существуют определенные статистические характеристики. Пример реализации квазидетерминированного случайного сигнала и его фильтрации аналогом сглаживающего RC-фильтра приведен на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Фильтрация квазидетерминированного сигнала.

Математическое ожидание

Математическое ожидание (индекс операции – ) произвольного входного случайного стационарного сигнала на выходе фильтра определится выражением:

Отсюда следует, что математическое ожидание выходных сигналов фильтра равно математическому ожиданию входных сигналов, умноженному на коэффициент усиления фильтром постоянной составляющей. При среднее значение выходных сигналов не изменяется и равно среднему значению входных сигналов. Если фильтр не пропускает постоянную составляющую сигналов (сумма коэффициентов импульсного отклика фильтра равна нулю), то случайный выходной сигнал всегда будет иметь нулевое математическое ожидание.

Корреляционные соотношения

Для нецентрированных входных сигналов размером автокорреляционная функция (АКФ), а равно и функция автоковариации (ФАК) для центрированных случайных сигналов, вычисляется по формуле:

Формула применяется довольно редко, в основном для детерминированных сигналов с небольшим числом отсчетов. Для случайных и зашумленных сигналов уменьшение знаменателя и числа перемножаемых отсчетов по мере увеличения сдвига приводит к нарастанию статистических флюктуаций вычисления АКФ. Большую достоверность в этих условиях обеспечивает вычисление АКФ в единицах мощности сигнала по формуле:

при

т.е. с нормированием на постоянный множитель и с продлением сигнала нулевыми значениями (в левую сторону при сдвигах или в правую сторону при использовании сдвигов ). Эта оценка является смещенной и имеет несколько меньшую дисперсию, чем по формуле . Разницу между нормировками по формулам и можно наглядно видеть на рис. 1.2.

Рис. 1.2.

Формулу (5.1.3) можно рассматривать, как усреднение суммы произведений, т.е. как оценку математического ожидания:

По аналогичной формуле может быть вычислена и АКФ выходных сигналов. Для произведения выходных сигналов и , образующих функцию автокорреляции выходных сигналов, можно также записать (без дополнительных множителей):

Если взять математические ожидания от обеих частей этого равенства, то, с учетом соотношения в правой части под знаками сумм

получим:

Таким образом, функция автокорреляции выходного сигнала равна АКФ входного сигнала, свернутой дважды, в прямом и обратном направлении, с импульсным откликом фильтра, что сохраняет четность АКФ выходного сигнала. Для центрированных процессов аналогичное заключение действительно и для ковариационных функций. На рис. 1.3 приведен пример нормированных АКФ входной и выходной случайных последовательностей при фильтрации RC-фильтром, форма импульсного отклика которого также приведена на рисунке.

Рис. 1.3. Функции корреляционных коэффициентов.

Заметим, что для свертки импульсных откликов, производя замену , мы имеем равенство:

где - функция корреляции импульсного отклика фильтра.

Отсюда:

Это означает появление в случайном сигнале на выходе фильтра определенной корреляционной зависимости, определяемой инерционностью фильтра. Эффективный интервал корреляции данных в сигнале тем меньше, чем выше верхняя граничная частота его спектра (по уровню 0.5):

Оценка интервала корреляции для конечных (непериодических) функций, как правило, производится непосредственно по функциям автокорреляции :

где значение ограничивается величиной 3-5 интервалов спада центрального пика до величины порядка .

Без такого ограничения за счет суммирования модуля флюктуаций, не несущих информации, значение завышается относительно расчетного по спектральной характеристике сигнала. Значение может определяться также непосредственно по координате пересечения нулевой линии функцией автоковариации . Дальше обычно начинаются статистические флуктуации значения около нулевой линии, вызванные ограниченностью выборки.

Функция случайных статистически независимых отсчетов близка к функции, свертка которой с приведет к формированию на выходе выходного сигнала, нормированная форма АКФ которого будет стремиться к форме . При достаточно большой выборке случайных отсчетов входного сигнала это означает практически полное повторение функцией формы корреляционной функции импульсного отклика, как это можно видеть на рис. 1.4, который отличается от рис. 1.3 только количеством выборки . Соответственно, интервал корреляции выходных сигналов для случайной входной последовательности можно определять непосредственно по функции непосредственно импульсного отклика фильтра.

Рис. 1.4. Функции корреляционных коэффициентов большой выборки.

Для взаимной корреляционной функции (ВКФ) входного и выходного сигналов соответственно имеем:

т.е. функция взаимной корреляции входного и выходного сигналов равна свертке АКФ входного сигнала с функцией импульсного отклика фильтра. Заключение действительно и для функций ковариации.

Другая взаимно корреляционная функция может быть получена из соотношения:

Отметим, что для статистически независимых случайных величин при одностороннем импульсном отклике ( при i<0) функция также является односторонней, и равна при , а функция соответственно равна при .

Спектры мощности случайных сигналов

Спектр мощности выходного сигнала

Если на вход фильтра с импульсным откликом поступает случайный стационарный эргодический сигнал , имеющий на интервале функцию автокорреляции и спектр мощности , то на выходе фильтра регистрируется стационарный эргодический сигнал . Соответственно, энергетический спектр выходного сигнала на том же интервале:

Оценка спектра мощности (спектральной плотности энергии):

Спектр мощности сигнала на выходе фильтра равен спектру мощности входного сигнала, умноженному на квадрат модуля частотной характеристики фильтра. С учетом четности корреляционных функций спектр мощности выходного сигнала также является четной действительной функцией и не имеет фазовой характеристики процесса.

Спектр мощности сигнала и его функция автокорреляции связаны преобразованием Фурье:

Средняя мощность выходного сигнала

Средняя мощность выходного сигнала определяется с использованием формулы :

Если значение мощности входного сигнала неизвестно, то вычисляется непосредственно средний квадрат значений выходного сигнала:

Вывод: средняя мощность выходного сигнала равна средней мощности входного сигнала, умноженной на сумму квадратов коэффициентов импульсного отклика фильтра.

Дисперсия выходного сигнала

Для центрированных случайных сигналов средняя мощность равна дисперсии сигналов. Для нецентрированных выходных сигналов:

Взаимный спектр мощности

Взаимный спектр мощности входного и выходного сигнала:

Осуществляя преобразование Фурье левой и правой части выражения, получаем:

что повторяет формулу .

Усиление шумов

Критерием качества при использовании любого метода фильтрации информации можно считать выполнение целевого назначения с минимальным усилением шумов (максимальным их подавлением). Обозначим через аддитивный шум во входном сигнале с математическим ожиданием и дисперсией . Значения статистически независимы. С учетом помехи во входном сигнале значение сигнала на выходе:

Математическое ожидание значений выходного сигнала:

Вычислим дисперсию распределения отсчетов выходного сигнала:

Отсюда следует, что сумма квадратов значений импульсного отклика цифрового фильтра представляет собой коэффициент усиления шумов, равномерно распределенных в главном частотном диапазоне фильтра. Это полностью соответствует прямому использованию выражения при

Таким образом, коэффициент усиления фильтром дисперсии статистически распределенных шумов при расчете по импульсному отклику:

По дискретной частотной функции фильтра:

Пример:

Сглаживающий фильтр: .

Коэффициент усиления шумов: . Дисперсия шумов уменьшается в раз. Выполните расчет коэффициента усиления шумов для пятиточечного фильтра МНК.

Контрольный ответ: .

Функция когерентности

Функция когерентности входного и выходного сигналов фильтра оценивается по формуле:

Если функции и отличны от нуля и не содержат дельта-функций, то для всех частот значения функции когерентности заключены в интервале:

Для исключения дельта-функции на нулевой частоте (постоянная составляющая сигнала) определение функции когерентности производится по центрированным сигналам. Для фильтров с постоянными параметрами функция когерентности равна 1, в чем нетрудно убедиться, если в формулу подставить выражения и , определенные через . Для совершенно не связанных сигналов функция когерентности равна нулю. Промежуточные между 0 и 1 значения могут соответствовать трем ситуациям:

  1. В сигналах (или в одном из них) присутствует внешний шум (например, шум квантования при ограничении по разрядности).
  2. Фильтр не является строго линейным. Это может наблюдаться, например, при определенном ограничении по разрядности вычислений, при накоплении ошибки в рекурсивных системах и т.п.
  3. Выходной сигнал помимо зависит еще от каких-то входных или внутренних системных процессов.

Величина задает долю среднего квадрата сигнала на частоте , не связанную с сигналом .


Основные характеристики приемников электромагнитного излучения

Отношение амплитуды напряжения (тока) , снимаемого с ДИ(детектора излучения), к амплитуде синусоидально-модулированного потока электромагнитного излучения равно интегральной вольтовой (токовой чувствительности измеряемой в В/Вт:

Отношение амплитуды выходного напряжения (тока) к амплитуде падающего синусоидально-модулированного монохроматического потока электромагнитного излучения равно спектральной вольтовой (токовой) чувствительности измеряемой в В/Вт:

Относительная спектральная вольтовая (токовая) чувствительность ПЛЭ есть отношение вольтовой (токовой) спектральной чувствительности к ее максимальному эначению  :

При облучении ДИ интегральным синусоидально-модулированым лучистым потоком амплитуда напряжения на выходе ДИ:

где - амплитуда монохроматического лучистого потока. С учетом интегральная вольтовая чувствительность:

Коэффициент использования ДИ представляет собой отношение интегралов в формуле , т.е.:

где ; - максимальное значение монохроматического потока электромагнитного излучения.

Числитель в формуле представляет собой эффективный (для данного LИ) поток электромагнитного излучения, т.е.:

Наряду с понятием эффективного потока электромагнитного излучения вводится понятие эффективной полосы чувствительности ДИ (). Она представляет собой диапазон длин волн, в котором был бы сосредоточен весь эффективный поток, при условии, что в этом интервале волн поток на всех волнах имеет одно и то же значение, равное максимальному, т.е.:

Сравнивая формулы и , получаем связь между и

Пороговым потоком ДИ является тот минимальный поток электромагнитного излучения, который вызывает на выходе приемника сигнал, равный уровню собственных шумов. Заменяя в реакцию ДИ среднеквадратическим значением шумов , получим

По аналогии с можно ввести понятие монохроматического порогового потока:

Так как пороговый лоток зависит от размеров чувствительной площадки ДИ и полосы пропускания электронного тракта измерительной аппаратуры , то для оценки пороговых потоков различных ДИ вводится понятие обнаружительной способности (приведенной пороговой чувствительности):

Соответственно для монохроматической обнаружительной способ имеем следующую зависимость:

Инерционные свойства ДИ характеризуются его постоянной времени или частотной характеристикой, которую по аналогии с терминологией, принятой при определении частотных свойств оптической системы и АИ, будем называть передаточной функцией . При этом считают, что не зависит от спектрального состава электромагнитного излучения.

Модуль передаточной функции (МПФ) ДИ (амплитудная частотная характеристика) показывает зависимость его интегральной вольтовой чувствительности от частоты при синусоидальном законе модуляции облучающего потока. Обычно МПФ выражается в относительных единицах, в этом случае его можно назвать модулем нормированной передаточной функции  :

где и - значения интегральной вольтовой чувствительности на частотах модуляции и соответственно. Здесь, как и при определении принимают, что не зависит от спектрального состава падающего на ДИ потока электромагнитного излучения.

При анализе частотных свойств ДИ его рассматривают как апериодическое звено с постоянной времени , тогда

где - частотно-фазовая характеристика ДИ.

Частотные свойства ДИ оцениваются эквивалентной полосой пропускания, которая может определяться двумя способами: с учетом спектра шумов и без учета спектра шумов , так что

где - зависимость обнаружительной способности от частоты модуляции потока электромагнитного излучения;
- максимальное значение обнаружительной способности,
где - значение интегральной вольтовой чувствительности при .

С полосой пропускания ДИ связана его постоянная времени, равная без учета шумов

а с учетом спектра шумов

Шумы ДИ обычно разделяются на внутренние, зависящие от собственных свойств приемника, и внешние, возникающие от флюктуации электромагнитного излучения объектов и фона, а также от электромагнитного излучения элементов конструкции ОЭП, попадающих в его поле зрения. Внутренние шумы характеризуют или спектральной плотностью или среднеквадратическим значением их амплитуды .Спектральная плотность шума и его среднеквадратическое значение связаны известным соотношением

Уровень фонового шума на выходе ДИ определяется как реакция ДИ на случайный фоновый поток. Приведенные выше характеристики чувствительности ДИ соответствуют идеализированному случаю, когда каждый элемент приемной площадки имеет одинаковую чувствительность.

На самом деле любая чувствительная площадка ДИ обладает неравномерной чувствительностью в различных точках и зависимостью чувствительности от освещенности в каждой точке. В этом случае каждая элементарная площадка с координатами центра будет характеризоваться соответствующей спектральной и интегральной вольтовой чувствительностью:

С увеличением освещенности чувствительность падает.

Таким образом, для определения значения сигнала на выходе ДИ необходимо знать зависимость его спектральной или интегральной чувствительности по координатам чувствительной площадки с учетом освещенности. При измерениях характеристик ДИ указанные зависимости получить практически очень сложно. Поэтому обычно принимают следующее допущение. Закон изменения чувствительности по координатам ДИ остается постоянным при различной освещенности. Это дает возможность характеризовать чувствительность ДИ по площадке двумя параметрами: зависимостью чувствительности от потока электромагнитного излучения, падающего на всю площадь ДИ, т.е. от средней освещенности, и относительной чувствительностью по площадке.

В этом случае

или

где и - зависимость чувствительности от потока падающего на чувствительную площадку ДИ,
и - средние освещенности,
,
- площадь чувствительной площадки ДИ,
- относительное распределение чувствительности по площадке ДИ.
Рис.1

На рис. 1 показана типичная зависимость спектральной чувствительности ДИ от величины падающего потока электромагнитного излучения. Участок кривой соответствует линейной зависимости между и . Обычно его длина равна . Несмотря на нелинейный характер зависимости в большинстве случаев работы ОЭП указанную кривую можно линеаризовать. Линеаризация возможна, исходя из следующих соображений. В пеленгационных, тепловизионных, телевизионных и других ОЭП поток электромагнитного излучения от объектов во много раз меньше потока от фона, попадающего на ДИ, поэтому приближенно можно считать (рис, 17), что поток от объекта не меняет чувствительности ДИ и она может выбираться равной значению, определяемому фоновым потоком. В соответствии с изложенным интегральная и спектральная чувствительности при засветке фоновым потоком могут соответственно записываться как

/u>. При этом считают, что

Передаточная функция ДИ

Чувствительную площадку ДИ можно представить в виде набора элементарных площадок , обладающих определенной чувствительностью и определяющих общий аддитивный сигнал, снимаемый со всей площадки. Чувствительность каждой элементарной площадки зависит от координат ее центра , длины волны , постоянной времени или частоты модуляции потока электромагнитного излучения и фоновой засветки . Следовательно, вольтовая спектральная чувствительность элементарной площадки в общем виде может быть записана как . Обычно при расчетах принимаются следующие допущения: зависимость чувствительности от длины волны и постоянная времени каждой элементарной площадки считаются одинаковыми, а вольтовая спектральная или интегральная чувствительность зависят от уровня фоновой засветки. С учетом указанных допущений вольтовую спектральную чувствительность можно представить в виде

Рис.2

В общем случае ДИ нельзя считать линейным звеном, так как при различных значениях спектральная (интегральная) чувствительность будет разной. Однако для большинства ОЭП возможна линеаризация зависимости и, следовательно, ДИ можно считать линейным звеном. Модель ДИ в соответствии с показана на рис 2. Она состоит из пространственного фильтра 1, описываемого зависимостью или ,

где
  • - нормированная пространственная передаточная функция (ППФ) ДИ;
  • спектрального фильтра 2, задаваемого зависимостью ;
  • преобразовательного безынерционного звена 3, характеризуемого зависимостью ;
  • временного фильтра 4 в виде апериодического звена, описываемого зависимостью ,
  • и генератора шума 5 со спектральной плотностью шума .

При линеаризации зависимости модель ДИ становится линейной и сигнал на выходе ДИ представляет собой аддитивную смесь полезного сигнала и шума.

Модель, состоящая из элементов 1,2,3,4, описывается передаточной функцией ДИ

Временной спектр сигнала на выходе ДИ

При преобразовании оптического сигнала ДИ необходимо учитывать взаимное расположение чувствительного слоя и плоскости изображения оптической системы. В зависимости от назначения и конструктивных особенностей ОЭП чувствительный слой может располагаться непосредственно в плоскости изображения (рис. 19), сопрягаться с ней с помощью дополнительной оптической системы (ДОС) или иметь смещение вдоль оптической оси (рис. 20) относительно плоскости изображения. Для максимального использования потока электромагнитного излучения от объекта перед смешенным ДИ часто устанавливается конденсор.

Рис.3

На рис.3 чувствительный слой совпадает с плоскостью изображения, так что . Это соответствует случаю, когда чувствительная площадка ДИ сама является анализатором изображения. Однако иногда в плоскости изображения, кроме ДИ, устанавливается подвижный АИ.

При расположении ДИ в соответствии с рис.4 в плоскости изображения, как правило, устанавливается подвижный АИ.

Рис.4

Рассмотрим преобразование оптического сигнала ДИ, расположенного в соответствии рис.3. Если - распределение освещенности от объекта в плоскости изображения, то для неравномерности чувствительности ДИ по слою вводится понятие приведенного потока электромагнитного излучения, который при смещении и повороте ДИ имеет вид:

Пространственная спектральная плотность приведенного потока электромагнитного излучения определяется как преобразование Фурье от :

Используя , для временного спектра приведенного потока электромагнитного излучения в соответствии со способом сканирования получим формулы.

Линейное сканирование

Круговое сканирование

Вращение вокруг центра

,
где

Следует заметить, что при практической реализации схемы рис.3 обычно перемещается изображение объекта, а не чувствительная площадка ДИ. Временная спектральная плотность сигнала на выходе ДИ связана с временной спектральной плотностью приведенного потока с помощью передаточной функции ДИ, т.е.

В случае непрерывной модуляции связь n-й гармошки сигнала на выходе и входе ДИ определяется зависимостью

где - временная частота n-й гармоники сигнала. Подставляя (74) в (77), а (75) и (76) в (78), получим окончательные зависимости для спектра сигнала на выходе ДИ:

линейное сканирование

Литература

  1. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989. – 540 с.
  2. Купер Дж., Макгиллем А. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. – М.: Мир, 1989. – 376 с.
  3. Л.З. Криксунов, О.В Полянин, В.И Козинцев, Г.М. Мосягин. Оптико-электронные приборы. – М.:Электроника, 2007

См. также