Плоские монохроматические волны

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 16:43, 14 ноября 2016.


Любое решение волнового уравнения вида

представляет собой плоскую волну, так как в каждый момент времени величина постоянна во всех точках плоскости, задаваемой векторным уравнением в виде скалярного произведения

где радиус-вектор точки;
единичный вектор нормали к плоскости, координаты которого определяются направляющими косинусами (рис. 1).
Рис.1. Трехмерная геометрическая модель, идентифицирующая процесс распространения однородной плоской волны в пространстве

Иначе говоря, плоская волна, фаза которой постоянна во всех точках некоторой плоскости, имеет плоский волновой фронт.

Общее решение волнового уравнения в виде , выражающее плоскую волну, которая распространяется в направлении вектора со скоростью , имеет вид

Аргумент функции не меняется при замене величин и на величины и соответственно. Физически это означает, что возмущение , которое в момент времени было в плоскости, находящейся на расстоянии от начала координат, в более поздний момент времени оказывается в плоскости, расположенной уже на расстоянии от начала координат. Вводя в в результате замены нa структуру плоского волнового фронта и учитывая, что для однородной плоской волны , получим скалярное комплексное выражение для электрического (магнитного) поля однородной плоской монохроматической волны


где длина волны в среде с показателем преломления n.


Длину волны

называют приведенной длиной волны (соответствует распространяющейся в вакууме монохроматической волне той же частоты).

Вектор или для вакуума , направленный вдоль единичного вектора нормали (рис. 1), называют волновым вектором. Его длину , соответственно для вакуума , называют волновым числом. Волновой вектор является обобщенным пространственным аналогом временной угловой частоты .

Так как выражение не изменяется при замене на то   является пространственным периодом плоской волны. Для задания ориентации пространственных гармонических осцилляции в плоской волне на практике очень удобно ввести векторы пространственной частоты

направления которых совпадают с направлением распространения , а длины соответственно равны

Они задают число пространственных периодов (осцилляций) в волне, укладывающихся на единице длины, 1/мм, соответственно в среде или в вакууме, и по аналогии с временной частотой называются пространственными частотами. Это еще более углубляет аналогию между волновым вектором и угловой частотой . 

В итоге комплексную амплитуду однородной плоской монохроматической волны можно представить в виде




В в соответствии с фаза увеличивается с ростом расстояния от начала координат, а фаза уменьшается с ростом времени . Выбор такого правила знаков в плоской волне обусловлен описанием ее распространения в направлении вектора . Он не имеет существенного значения, так как практический интерес представляет не абсолютная величина фазы, а разность фаз. В то же время в рамках выбранного правила знаков процесс распространения плоской волны сводится к следующему. Для любой точки некоторой плоскости согласно полная фаза волны в момент времени постоянна и равна . В более поздний момент времени полная фаза будет иметь то же значение на большем расстоянии от начала координат , так как , в то время как на прежнем расстоянии она уменьшается. В результате плоский волновой фронт перемещается в пространстве в направлении, которое в зависимости от специфики задачи можно охарактеризовать одним из трех коллинеарных векторов – единичным вектором нормали , вектором пространственной частоты или волновым вектором (рис. 1).

Таким образом, однородная плоская монохроматическая волна является тем важным частным случаем комплексного временного гармонического сигнала , который позволяет с единых позиций рассматривать частотно-временные и пространственно-частотные гармонические осцилляции произвольной монохроматической электромагнитной волны, представляемой в виде суммы плоских волн. Это в свою очередь служит первым шагом на пути создания общей частотной МП ОЭС при описании множества S входных сигналов набором плоских волн. Для описания плоской волны, распространяющейся в противоположном направлении, надо во всех полученных выражениях заменить векторы на противоположные .

Тогда на основании комплексная амплитуда примет вид

Нетрудно видеть, что противоположному направлению распространения соответствует комплексно-сопряженная амплитуда. В этом, в частности, проявляется одно из преимуществ введения комплексного оптического сигнала. Другое преимущество использования комплексной амплитуды выясняется при переходе к координатному представлению однородной плоской монохроматической волны. Вектор пространственной частоты перпендикулярен трехмерной плоскостной периодической решетке, состоящей, например, из максимумов пространственно-частотной гармоники, которая соответствует комплексной амплитуде плоской волны в фиксированный момент времени и тем самым задает ее ориентацию. 

Рис.2. Двумерная геометрическая модель, идентифицирующая пространственно-частотную структуру плоской волны

На рис. 2 приведена решетка с вектором , лежащим в плоскости , так что ее реберные грани перпендикулярны этой плоскости (параллельны оси ). С учетом координаты

называют координатными пространственными частотами соответственно вдоль осей . Если направление распространения (или ) составляет с какой-либо осью угол меньше 90°, то соответствующая координатная пространственная частота положительна. Если угол больше 90°, то частота отрицательна. В оптике координатные пространственные частоты часто выражаются через дополнительные углы (углы падения)  так что  .

Тогда, переходя в к координатной форме записи скалярного произведения , получим





В частности, плоская волна, распространяющаяся в направлении , параллельном плоскости ( , рис. 2), имеет в произвольной точке   комплексную амплитуду

При получим выражение для комплексной амплитуды в точке плоскости

Наконец, если , то комплексная амплитуда плоской волны, распространяющейся в направлении оси , в точке имеет вид

а в точке   она будет

Оптико-физический смысл координатных пространственных частот заключается в том, что их знаки определяют направление распространения плоской волны, а численные значения обратно пропорциональны пространственным периодам трехмерной плоскостной решетки вдоль соответствующих координатных осей .

Для волны, распространяющейся в направлении (рис. 2) с вектором , лежащим в I квадранте, частоты так что .

В этом случае и определяют пространственные периоды плоских решеток, которые получаются в сечениях трехмерной решетки плоскостями и . Для II квадранта , для III квадранта  , а для IV .

На основании и координатные пространственные частоты в плоской волне связаны соотношением

откуда , где знак определяется знаком .

Тогда можно описать процесс распространения комплексной амплитуды плоской волны в пространстве, если выразить через

где .

В результате комплексная амплитуда плоской волны   на произвольном расстоянии от начала координат оказывается равной произведению комплексной амплитуды в плоскости на комплексную экспоненциальную функцию распространения [см.(2.18)]



описывающую фазовую пространственно-частотную дисперсию. В соответствии с выбранным правилом знаков с ростом фаза волны увеличивается. Как показано в 2.2.2 (см. 2.18) это выражение идентифицирует когерентную передаточную функцию когерентного слоя свободного пространства.