Плоские и сферические гармонические волны

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 16:42, 14 ноября 2016.

Плоские монохроматические волны

Любое решение волнового уравнения вида

представляет собой плоскую волну, так как в каждый момент времени величина постоянна во всех точках плоскости, задаваемой векторным уравнением в виде скалярного произведения

где радиус-вектор точки;
единичный вектор нормали к плоскости, координаты которого определяются направляющими косинусами (рис. 1).
Рис.1. Трехмерная геометрическая модель, идентифицирующая процесс распространения однородной плоской волны в пространстве

Иначе говоря, плоская волна, фаза которой постоянна во всех точках некоторой плоскости, имеет плоский волновой фронт.

Общее решение волнового уравнения в виде , выражающее плоскую волну, которая распространяется в направлении вектора со скоростью , имеет вид

Аргумент функции не меняется при замене величин и на величины и соответственно. Физически это означает, что возмущение , которое в момент времени было в плоскости, находящейся на расстоянии от начала координат, в более поздний момент времени оказывается в плоскости, расположенной уже на расстоянии от начала координат. Вводя в в результате замены нa структуру плоского волнового фронта и учитывая, что для однородной плоской волны , получим скалярное комплексное выражение для электрического (магнитного) поля однородной плоской монохроматической волны


где длина волны в среде с показателем преломления n.


Длину волны

называют приведенной длиной волны (соответствует распространяющейся в вакууме монохроматической волне той же частоты).

Вектор или для вакуума , направленный вдоль единичного вектора нормали (рис. 1), называют волновым вектором. Его длину , соответственно для вакуума , называют волновым числом. Волновой вектор является обобщенным пространственным аналогом временной угловой частоты .

Так как выражение не изменяется при замене на то   является пространственным периодом плоской волны. Для задания ориентации пространственных гармонических осцилляции в плоской волне на практике очень удобно ввести векторы пространственной частоты

направления которых совпадают с направлением распространения , а длины соответственно равны

Они задают число пространственных периодов (осцилляций) в волне, укладывающихся на единице длины, 1/мм, соответственно в среде или в вакууме, и по аналогии с временной частотой называются пространственными частотами. Это еще более углубляет аналогию между волновым вектором и угловой частотой . 

В итоге комплексную амплитуду однородной плоской монохроматической волны можно представить в виде




В в соответствии с фаза увеличивается с ростом расстояния от начала координат, а фаза уменьшается с ростом времени . Выбор такого правила знаков в плоской волне обусловлен описанием ее распространения в направлении вектора . Он не имеет существенного значения, так как практический интерес представляет не абсолютная величина фазы, а разность фаз. В то же время в рамках выбранного правила знаков процесс распространения плоской волны сводится к следующему. Для любой точки некоторой плоскости согласно полная фаза волны в момент времени постоянна и равна . В более поздний момент времени полная фаза будет иметь то же значение на большем расстоянии от начала координат , так как , в то время как на прежнем расстоянии она уменьшается. В результате плоский волновой фронт перемещается в пространстве в направлении, которое в зависимости от специфики задачи можно охарактеризовать одним из трех коллинеарных векторов – единичным вектором нормали , вектором пространственной частоты или волновым вектором (рис. 1).

Таким образом, однородная плоская монохроматическая волна является тем важным частным случаем комплексного временного гармонического сигнала , который позволяет с единых позиций рассматривать частотно-временные и пространственно-частотные гармонические осцилляции произвольной монохроматической электромагнитной волны, представляемой в виде суммы плоских волн. Это в свою очередь служит первым шагом на пути создания общей частотной МП ОЭС при описании множества S входных сигналов набором плоских волн. Для описания плоской волны, распространяющейся в противоположном направлении, надо во всех полученных выражениях заменить векторы на противоположные .

Тогда на основании комплексная амплитуда примет вид

Нетрудно видеть, что противоположному направлению распространения соответствует комплексно-сопряженная амплитуда. В этом, в частности, проявляется одно из преимуществ введения комплексного оптического сигнала. Другое преимущество использования комплексной амплитуды выясняется при переходе к координатному представлению однородной плоской монохроматической волны. Вектор пространственной частоты перпендикулярен трехмерной плоскостной периодической решетке, состоящей, например, из максимумов пространственно-частотной гармоники, которая соответствует комплексной амплитуде плоской волны в фиксированный момент времени и тем самым задает ее ориентацию. 

Рис.2. Двумерная геометрическая модель, идентифицирующая пространственно-частотную структуру плоской волны

На рис. 2 приведена решетка с вектором , лежащим в плоскости , так что ее реберные грани перпендикулярны этой плоскости (параллельны оси ). С учетом координаты

называют координатными пространственными частотами соответственно вдоль осей . Если направление распространения (или ) составляет с какой-либо осью угол меньше 90°, то соответствующая координатная пространственная частота положительна. Если угол больше 90°, то частота отрицательна. В оптике координатные пространственные частоты часто выражаются через дополнительные углы (углы падения)  так что  .

Тогда, переходя в к координатной форме записи скалярного произведения , получим





В частности, плоская волна, распространяющаяся в направлении , параллельном плоскости ( , рис. 2), имеет в произвольной точке   комплексную амплитуду

При получим выражение для комплексной амплитуды в точке плоскости

Наконец, если , то комплексная амплитуда плоской волны, распространяющейся в направлении оси , в точке имеет вид

а в точке   она будет

Оптико-физический смысл координатных пространственных частот заключается в том, что их знаки определяют направление распространения плоской волны, а численные значения обратно пропорциональны пространственным периодам трехмерной плоскостной решетки вдоль соответствующих координатных осей .

Для волны, распространяющейся в направлении (рис. 2) с вектором , лежащим в I квадранте, частоты так что .

В этом случае и определяют пространственные периоды плоских решеток, которые получаются в сечениях трехмерной решетки плоскостями и . Для II квадранта , для III квадранта  , а для IV .

На основании и координатные пространственные частоты в плоской волне связаны соотношением

откуда , где знак определяется знаком .

Тогда можно описать процесс распространения комплексной амплитуды плоской волны в пространстве, если выразить через

где .

В результате комплексная амплитуда плоской волны   на произвольном расстоянии от начала координат оказывается равной произведению комплексной амплитуды в плоскости на комплексную экспоненциальную функцию распространения [см.(2.18)]



описывающую фазовую пространственно-частотную дисперсию. В соответствии с выбранным правилом знаков с ростом фаза волны увеличивается. Как показано в 2.2.2 (см. 2.18) это выражение идентифицирует когерентную передаточную функцию когерентного слоя свободного пространства.


Cферические монохроматические волны

Сферической волной называют любое решение волнового уравнения вида

где .

Иначе говоря, в случае сферической волны величина в каждый момент времени постоянна на сфере . Общее решение , выражающее сферическую волну, расходящуюся от начала координат, имеет вид

z Множитель выражает закон сохранения энергии при распространении сферической волны и учитывает, что интенсивность сферической волны

остается постоянной в процессе распространения. Здесь — площадь поверхности сферы, а   – символ пропорциональности.

Скалярное комплексное выражение для электрического поля сферической расходящейся монохроматической волны получается из в результате замены на , так что с учетом однородности имеем

Откуда комплексная амплитуда однородной сферической расходящейся монохроматической волны

Так как общее выражение для сферической волны, сходящейся к началу координат, имеет вид

то комплексно сопряженная амплитуда

соответствует однородной сферической сходящейся монохроматической волне.

Сравнение выражений и показывает, что плоская и сферическая волны локально похожи друг на друга. В самом деле, на достаточно большом расстоянии от начала координат в некоторой малой окрестности можно приближенно считать, что, например, векторы и   коллинеарны, так что . Это и означает локальное совпадение комплексных амплитуд   и .

В окрестности некоторой оси, например , сферическую волну удобно рассматривать в параксиальном приближении. В этом случае величину в знаменателе можно приближенно заменить на , а в фазовом множителе разложить по биному Ньютона

Тогда для комплексной амплитуды имеем

Таким образом, в параксиальном (квадратичном) приближении сферическая волна аппроксимируется параболической волной.

Дифракционный интеграл

Параксиальное приближение для сферической волны имеет место в том случае, когда . При этом . Поэтому комплексная амплитуда сферической волны в параксиальном приближении

Проанализируем дифракцию световой волны на транспаранте с периодическим синусоидальным распределением амплитудного пропускания. Подобные транспаранты называют дифракционными решетками. Пусть плоская световая волна амплитудой , распространяющаяся в направлении положительной полуоси , падает на транспарант, находящийся в плоскости . Допустим, что транспарант имеет амплитудное пропускание

являющееся периодической функцией от с пространственной частотой , а и - вещественные постоянные. При транспарант не вносит фазового сдвига. Непосредственно за транспарантом комплексная амплитуда волны

Первый член данного выражения описывает плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси , как и падающая волна, второй и третий члены - плоские волны, направления распространения которых с осью составляют углы и , причем (рис.4). Таким образом, в результате дифракции часть падающей на транспарант световой волны отклоняется от первоначального направления распространения.

С помощью соотношения для плоской волны можно определить комплексную амплитуду света при любом удалении от транспаранта, например при

Для первого члена выражения , для второго и третьего членов . Из следует, что если , то возникают поверхностные волны. Они будут затухающими при , т.е. когда длина волны больше периода дифракционной решетки, поскольку при этом становится мнимой величиной, а - экспоненциальным множителем, убывающим с увеличением .

Амплитудное пропускание двумерной дифракционной решетки в общем случае описывается комплексной периодической функцией двух переменных и . Однако его также легко представить в виде суммы простейших синусоидальных функций путем разложения в ряд Фурье [2]:

Дифрагированная на таком транспаранте световая волна представляет собой суперпозицию бесконечного числа плоских волн с амплитудами, пропорциональными соответствующим коэффициентам разложения и направлениями распространения, определяемыми и Следовательно, суммарная амплитуда дифрагированных волн в плоскости

Рис.5. К решению задачи дифракции с помощью интеграла Френеля-Кирхгофа

В общем случае

где - преобразование Фурье от ,

причем интегрирование производят в области, удовлетворяющей неравенству (вне этой области волны быстро затухают при удалении от транспаранта). Следовательно, можно сделать следующее заключение: если плоская волна амплитудой , распространяющаяся в направлении оси , падает на помещенный в плоскости транспарант с амплитудной функцией пропускания , то спектр комплексной амплитудыв плоскости имеет вид

Для параксиальных волн , пользуясь приближением , справедливым при малых значениях и , выражение можно представить следующим образом:

Ввиду того, что фаза в выражении является параболической функцией пространственных частот, это приближение называют параболическим. Согласно правилу Рэлея искажение фазы волны не должно превышать , т.е. устанавливаются границы применимости параболического приближения [2]:

Решение задачи дифракции можно представить также с помощью интеграла Френеля-Кирхгофа [3]:

где (рис 1.5);
и - координаты точек, принадлежащих плоскостям и .

Угол между положительным направлением оси и отрезком прямой называют коэффициентом наклона. Формулы и на расстоянии от плоскости дфракции дают один и тот же результат [2]. Интеграл является матматическим выражением известного принципа Гюйгенса-Френеля.

Дифракционные формулы Френеля и Фраунгофера

Рассмотрим дифракцию света, падающего на непрозрачный экран с отверстием произвольной формы. Отверстие в экране называют апертурой. В зависимости от удаленности источника света и плоскости наблюдения от дифрагирующего экрана различают зоны дифракции Фраунгофера и Френеля. Дифракция Фраунгофера наблюдается в дальней зоне, удаленной от дифрагирующего экрана на расстояние, во много раз превышающее размеры апертуры. Дифракция Френеля имеет место в ближней зоне, распространяющейся до зоны дифракции Фраунгофера, как это показано на рис.6. Дифракция Фраунгофера по существу является предельным случаем дифракции Френеля при больших расстояниях от экрана. Заметим, что зона дифракции Френеля также начинается на некотором расстоянии от экрана. Непосредственно за апертурой вблизи экрана находится область тени (рис.6). Здесь и далее будем предполагать, что размеры отсверстия на экране велики по сравнению с длиной волны падающего света, а источник света находится на таком расстоянии от экрана, что свет, падающий на экран, имеет практически плоский волновой фронт и постоянную амплитуду. В общем случае апертура представляет собой транспарант с двумерной амплитудной функцией пропускания . В частном случае апертура является отверстием с амплитудной функцией пропускания

Данный случай важен, поскольку часто встречается при анализе оптических систем хранения и обработки информации [3,4]. В любом из рассмотренных случаев непосредственно за экраном при световое поле описывается распределением амплитуд

Рис.6. Зоны дифракции Фраунгофера и Френеля

Свет, падающий на экран, также имеет произвольную комплексную амплитуду Тогда световое поле имеет за экраном комплексную амплитуду:

В дальнейшем будем считать, что непосредственно за экраном световое поле имеек комплексную амплитуду . Поэтому интеграл Френеля-Кирхгофа для рис.6 можно записать в виде

где

Приближение Френеля

Для дифракционного поля в области, удаленной от экрана на расстояние, значительно превышающее максимальный размер апертуры, интеграл Френеля-Кирхгофа значительно упростится. Действительно, если

то можно полагать, что с ошибкой менее если угол . Расстояние в знаменателе подынтегрального выражения можно заменить координатой , поскольку

и согласно . Однако выражение неприемлемо для замены в экспоненциальном члене, так как на экспоненту влияет даже малое изменение . Для получения более точного приближения воспользуемся разложением . Учитывая первые два члена данного разложения для аппроксимации квадратного корня, примем

С учетом интеграл Френеля-Кирхгофа можно записать в следующем упрощенном виде:

Данное выражение называют приближением Фреленя, а соответствующее ему поле - дифракционным полем Френея. Интегральное преобразование вида

где

называют преобразованием Френеля. Следовательно, приближение Френеля представляет собой двумерное преобразование Френеля дифрагировавшего на экране светового поля. Приближение Френеля справедливо в зоне [3]

где - максимальный радиус апертуры;
- максимальный радиус области наблюдения в плоскости (см. рис. 6);
- наименьшая неоднородность распределения светового поля , связанная с максимальной пространственной частотой поля .

Приближение Фраунгофера

Ранее отмечалось, что дифракция Фраунгофера является предельным случаем дифракции Френеля при больших значениях , т.е. в дальней зоне. При этом можно принять более жесткое допущение, нежели чем , а именно

Рассмотрим приближение Френеля, записанное в виде . С учетом допущения можно принять Тогда дифракционная формула еще более упроститься:

Полученное приближение имеет основной множитель в виде интеграла, являющегося преобразованием Фурье распределения комплексных амплитуд света, дифрагировавшего на экране, и его называют приближением Фраунгофера. Такоим образом, дифракция Фраунгофера представляет собой фурье-образ светового поля, дифрагировавшего на экране, умноженный на квадратичный фазовый множитель . Если интересующая область в плоскости наблюдения дифракции Фраунгофера лежит вблизи оси , так что выполняется условие

или то

В последнем случае приближение Фраунгофера упрощается:

Зона дифракции Фраунгофера определяется из условия [3]

Если мкм; мкм, то зоне дифракции Фраунгофера соответствует условие см.

Приближение тени

Если требуется определить поле вблизи экрана, то используют приближение тени:

справедливое при [3]

Оптические системы, выполняющие преобразование Фурье

С помощью простой сферической линзы можно создавать картину, являющуюся фурье-образом входного изображения. Благодаря этому свойству, а также возможности применения линз для формирования световых пучков требуемой конфигурации они находят широкое применение в оптических системах хранения и обработки информации. Рассмотрим простейшую оптическую систему, состоящую из одной тонкой сферичской линзы с фокусным расстоянием , помещенной в плоскости , и расположенного вплотную к ней транспаранта с комплексным амплитудным пропусканием . Линзу называют тонкой, если луч, входящий в точку с координатами , выходит из нее на противоположной поверхности в точке примерно с такими же координатами. Это означает, что смещением луча внутри линзы можно пренебречь; линза задерживает фронт падающей волны.

См. также