Оценка измеряемых сигнальных параметров при аддитивных помехах с нормальным распределением

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 00:46, 25 мая 2017.

Измерение произвольного параметра по критерию максимума правдоподобия

Конкретизируя постановку задачи измерения, будем считать, что входная реализация представляет собой сумму нормально распределенной помехи , имеющей нулевое математическое ожидание, с полезным сигналом , форма которого и все параметры, кроме α, известны, так что

Предположим также, что оптимизация оценки осуществляется по критерию максимума правдоподобия. В этом случае значение функции правдоподобия максимально, т.е.:

или

Критерий 3º – это частный случай критерия максимума апостериорной вероятности при . В результате, он позволяет также минимизировать число ошибочных решений, но этот минимум оказывается наибольшим из всех других минимумов.

Последнее означает, что для решения задачи входная реализация должна быть обработана так, чтобы получить отношение правдоподобия как функцию измеряемого параметра α. На основе анализа на экстремум функции измерительная система должна определить значение , при котором эта функция достигает верхней грани.

При помехе с нормальным распределением отношение правдоподобия также является гауссовой функцией. Поэтому для упрощения измерительной подсистемы целесообразно вместо функции использовать . В самом деле, т.к. логарифм является монотонной функцией своего аргумента, то экстремальное исследование функций и приводит к одинаковому результату.

Расчет при объеме выборки в общем случае нестационарной помехи выполняют на основании положений, высказанных ниже.

Как показано в разделе 5, задача обнаружения при отсутствии полезной априорной информации о состоянии пространства событий всегда затруднительна. При неизвестной фазе полезного сигнала отношение "сигнал/помеха" на входе порогового устройства (ПУ), а следовательно, и качество оценок вероятностных характеристик обнаружения в многоканальной системе хуже, чем в одноканальной, используемой при полностью известных параметрах сигнала. Причем снижение качества тем значительней, чем больше интервал сдвига , т.е. чем меньше каналов при заданном времени анализа реализации (времени "наблюдения"). По многим формальным признакам задача измерения решается методами, схожими с решением задачи обнаружения.

Фоновая помеха и собственный шум приемника излучения (ПИ) могут существенно отличаться от белого шума. В этом случае использовать для расчета отношение правдоподобия можно лишь при конечном объеме выборки и интервале дискретизации, равном, в соответствии с теоремой Котельникова, времени корреляции результирующей помехи. Расчет при объеме выборки более сложен и в самом общем случае нестационарной помехи расчет выполняют по формуле:

где решение неоднородного интегрального уравнения:

в котором - корреляционная функция нестационарной помехи.

Нетрудно показать, что при помехе типа белого шума выражение превращается в формулу, аналогичную полученной для решения задачи обнаружения. Действительно, поскольку для белого шума , то из , с учетом фильтрующих свойств -функции, можно получить:

Тогда из получим:

Аналогично, для измерения можно записать:

где - решение линейного интегрального уравнения:

с ядром в виде корреляционной функции помехи.[1]

В соответствии с функциональная схема измерительной системы представлена на рис. 1.

Рис. 1. Структурно-функциональная схема измерительной системы

Входная реализация (сигнал с выхода тракта предварительной обработки сигнала в любой из систем каналов передачи сообщений (КПС) (оптико-электронной системе (ОЭС), акустоэлектронной системе (АЭС),радиоэлектронной системе (РЭС)) обрабатывается в каналах, в каждом из которых последовательно производится:

  1. умножение на функцию
  2. интегрирование произведения
  3. суммирование полученного результата с величиной

При этом значений поступают в решающее устройство (РУ), где сравниваются между собой. Чем ближе значение в j-м канале к истинному значению параметра сигнала в реализации , тем больше величина . Поэтому выходом РУ является значение того из каналов, в котором значение максимально. Соответствующая величина и принимается за оптимальную оценку измеряемого параметра по критерию максимального правдоподобия.

Сравнение функциональных схем измерительной системы (рис. 1) с корреляционным трактом обнаружения, работающей в условиях неизвестной фазы сигнала (рис. 2), показывает, что они близки между собой.

Рис. 2. Функциональная схема многоканального корреляционного тракта подсистемы обнаружения сигнала со случайной фазой  :
У-умножитель;
И-Интегратор;
БС-блок сравнения;
ПУ-пороговое устройство;
Г-генератор;
БЗ - блок задержки

В обоих случаях качество работы измерительной системы улучшается с увеличением количества каналов. Причем требуемое число каналов при заданном качестве, определяемом вероятностными характеристиками обнаружения или точностью измерений, зависит от диапазона изменения неизвестного параметра .

Система измерения амплитуды (пикового значения) сигнала

Задача построения измерительной системы существенно упрощается, если необходимость в сравнении значений в РУ отпадает, т. е. в том случае, когда можно получить в явном виде решение уравнения:

называемого уравнением правдоподобия. При оценке произвольного параметра сигнала имеется возможность получения лишь приближенного решения, да и то при условии, что измерение производится при большом отношении "сигнал/помеха".

В то же время при измерении амплитуды (пикового значения) сигнала имеется возможность получить точное решение. В этом случае, обозначая измеряемую амплитуду через , введем в рассмотрение нормированный сигнал , так что

Вводя в рассмотрение по аналогии с функцию , интегральное уравнение представим в виде

Рис. 3. Структурно-функциональная схема оптимальной системы измерения амплитуды сигнала

где - решение этого интегрального уравнения.

Тогда на основании имеем:

откуда получаем уравнение правдоподобия.

Решение уравнения правдоподобия дает оценку амплитуды (пикового значения) сигнала по критерию максимума правдоподобия (Критерий 3º):[2]

Структурно-функциональная схема ОЭС измерения амплитуды сигнала приведена на рис. 3.

Устройство, состоящее из:

  1. генератора функции  ;
  2. перемножителя;
  3. интегратора,

которое формирует на входе РУ значение интеграла , называется оптимальным приёмником (ОП). ОП выдает отсчёт выходного напряжения в момент , т.е. величину интеграла в числителе . Сигнал на выходе РУ определяет оценку в масштабе

который зависит от априорно известных функций и .

== Статистические характеристики оптимальной оценки амплитуды и ==

Очевидно, что оценка является случайной величиной . Поэтому для нахождения её статистических характеристик необходимо знать закон распределения оценки. Как следует из , оценка получается интегрированием реализации с весом, зависящим от функции или от вида сигнала и корреляционной функции помехи. Следовательно, оценка формируется в результате линейной обработки реализации, и поэтому закон распределения оценки при нормальном распределении помехи также будет нормальным. Тогда для статистического описания оценки качества процесса измерения амплитуды сигнала достаточно найти её математическое ожидание и дисперсию.

Математическое ожидание случайной оптимальной оценки измеряемой амплитуды Математическое ожидание случайной оптимальной оценки α O Π T r d = α O C O Π T {\displaystyle \alpha {O \Pi T}^{rd} = \alpha {OC}^{O \Pi T} \,\!} измеряемой амплитуды a {\displaystyle a\,\!}

Поскольку при аддитивной помехе:

то, подставляя в , для математического ожидания оценки получим:

Так как по условию математическое ожидание помехи равно нулю, то , т.е. математическое ожидание оценки амплитуды сигнала по критерию максимума правдоподобия равно истинному значению амплитуды. Такая оценка в математической статистике называется несмещенной.

Дисперсия случайной оптимальной оценки измеряемой амплитуды Дисперсия случайной оптимальной оценки a O Π T r d = { a r d O Π T } {\displaystyle a^{rd} {O \Pi T}=\{ a^{O \Pi T} {rd}\} \,\!} измеряемой амплитуды a {\displaystyle a\,\!}

Найдем дисперсию оценки:

Так как с учетом :

то в итоге получим

Известно, что дисперсия оценки по критерию максимума правдоподобия является минимальной по сравнению с дисперсиями других оценок амплитуды сигнала. В математической статистике оценка с наименьшей дисперсией называется эффективной.

Аналогия между задачами обнаружения объекта и измерения параметров сигнала

В заключение еще раз остановимся на аналогии в решении задач обнаружения и измерения параметров сигналов. С одной стороны, имеется большое сходство работы оптимального приемника (ОП) (рис. 3) с нахождением корреляционного интеграла в корреляционном методе обнаружения. С другой стороны, так как корреляционный метод и применение оптимальной фильтрации при определенных условиях (см. раздел 5.6) дают одинаковые результаты, то правомерна постановка вопроса о реализации ОП в виде оптимального пассивного частотно-временного фильтра (ЧВФ). Решение этой задачи дано в разделе 5.6, где показано, что первое слагаемое в выражении для отношения правдоподобия можно получить, пропуская входную реализацию через оптимальный линейный ЧВФ с передаточной функцией (ПФ):

где имеет размерность сигнала. Второе слагаемое в равно половине отношения "сигнал/помеха" на выходе ЧВФ.

Таким образом, функциональная схема измерительной системы может быть представлена в виде, изображенном на рис. 4.

Рис. 4. Структурная функциональная схема оптимальной измерительной системы с пассивным ЧВФ

Реализация принимается m каналами, каждый из которых состоит из оптимального ЧВФ с ПФ (см. раздел 5.6) и сумматора, в котором текущее значение сигнала на выходе ЧВФ[3]

складывается с величиной . Полученные в каждом канале функции поступают в РУ, где сравниваются между собой. Выходом РУ является оценка измеряемого параметра по критерию максимума правдоподобия, равная значению в том из каналов, в котором величина максимальна.

В том случае, когда измеряемый параметр не влияет на отношение "сигнал/помеха", измерительная система упрощается, т.к. отпадает необходимость выработки величины и её суммирования с сигналом на выходе оптимального ЧВФ. Такие параметры иногда называют неэнергетическими, в противоположность энергетическим параметрам, влияющим на отношение "сигнал/помеха".

Для определения амплитуды (пикового значения) сигнала функциональная схема измерительной системы, приведенная на рис. 5, содержит последовательно включенные оптимальный ЧВФ и РУ с ПФ фильтра.

Рис. 5. Функциональная схема системы измерения амплитуды сигнала с оптимальным пассивным ЧВФ: опт - оптимальный ЧВФ; РУ - решающее устройство

На выходе оптимального ЧВФ получаем:

а РУ формирует отсчет этой функции в момент времени по отношению к моменту прихода сигнала. В соответствии с положениями раздела 5.5 и этот отсчет равен числителю , т.е. величине .

Поскольку и , то дисперсия оценки амплитуды сигнала в соответствии с равна

где - отношение "сигнал/помеха" на выходе оптимального ЧВФ для сигнала с единичной амплитудой. Таким образом, чем больше отношение "сигнал/помеха", тем меньше ошибка измерения амплитуды. Оптимальный ЧВФ, максимизируя , позволяет минимизировать дисперсию, т. е. получать эффективную оценку.

Примечания

  1. Здесь и далее: rd означает случайный .
  2. Здесь и далее: scl означает масштаб.
  3. Здесь и далее: FTF означает ЧВФ.

См. также