Некоммутативные группы

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 23:53, 18 марта 2016.

Примеры некоммутативных групп

TemplateExampleIcon.svg Пример Примеры

- группа перестановок

- группа симметрий n-угольника

- группа обратимых матриц над полем по

,

, - бесконечные

- некоммутативная; - некоммутативная ; - некоммутативная


AS 1 8 1.png


Основные понятия и определения некоммутативных групп. Центр группы. Централизатор элемента х

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Центр группы»
Центр группы - подмножество элементов, коммутирующих с любым элементом группы.
TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Централизатор элемента х»
Централизатор элемента х - те элементы,которые коммутируют с данным элементом х

- подгруппа в

У каждого элемента свой централизатор, у единичного-вся группа.

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема о нормальной подгруппе
Доказательство


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
- центр группы есть пересечение всех централизаторов
Доказательство

Рассмотрим для любого элемента группы . В пересечение таких групп войдут только те элементы, которые коммутируют со всеми элементами группы, что по определению является центром группы.


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
Доказательство


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
, где - простое,то - абелева
Доказательство
действует на


Основные понятия и определения теории некоммутативных групп. Коммутатор. Коммутант. Нормализатор

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Коммутатор»
Коммутатор


При помощи коммутатора строится группа Коммутант
TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Коммутант»
Коммутант
TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Нормализатор»
Нормализатор подгруппы

Отличие нормализатора от централизатора: , a


TemplateLemmaIcon.svg Лемма «Утверждение»


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
Коммутант - есть минимальная подгруппа ,т.ч. - абелева
Доказательство

- нормальная подгруппа


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
Доказательство


Действие группы на множество. Орбита. Стабилизатор

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Действие группы»
Действие группы на множестве - группа, - множество - группа перестановок элементов
TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Орбита»
Орбита точки - множество всех элементов , в которое может перейти под действием . Причем - элемент группы, - элемент, на который действует элемент множества.
TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Стабилизатор»
Стабилизатор точки - те элементы , которые переводят в себя.


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
- подгруппа в
Доказательство


- Всё множество - объединение орбит своих точек, распадается на непересекающиеся орбиты. Отношение принадлежности орбите - рефлексивно, симметрично и транзитивно, следовтельно, образует класс эквивалентности.


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
Если группа конечна,то
Доказательство

Если

- в одну сторону


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Лемма
Доказательство

- орбита не из одного элемента


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Лемма
Доказательство

- только такими вариантами


TemplateLemmaIcon.svg Лемма «Лемма»
TemplateLemmaIcon.svg Лемма «Доказательство»


Почему не может быть 1?





Возьмем

С другой стороны

выбрать элемент не из центра группы нельзя центр совпадает с самой группой не бывает некоммутативных групп с порядком .