Модельное экспоненциальное представление сигналов

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 12:52, 3 ноября 2016.

Основные положения

Для описания процесса преобразования сигналов в линейных системах широко используют экспоненциальное выражение следующего вида:

при

которое описывает периодическую функцию с периодом . Степенной ряд сходится абсолютно на всей комплексной плоскости . Имеет место общая формула Эйлера:

где для любого


.


Из и следует, что

при

Мнимая линейная фазовая экспонента

Если , то с учетом

является периодической функцией с периодом , так что

,

На комплексной плоскости вектор при изменении описывает окружность единичного радиуса (рис. 1.1).

Одной из основных физических интерпретаций формулы является фазовый коэффициент пропускания и отражения транспаранта, преобразующего электромагнитного излучения. Если точка (x, y) перемещается по некоторой кривой на транспаранте, то комплексный вектор на рис. 1.1 совершает, вообще говоря, сложное вращательно–колебательное движение в соответствии с изменением фазы .

Рис. 1.1. Двумерная ГмтМ фазовой ТрМ поведения


Абсолютная величина фазового сдвига, определяемого геометрической толщиной объекта-транспаранта, имеет вид:


На рис. 1.1 показаны значения ,, соответствующие характерным значениям фазового сдвига . Если , то описывает комплексную амплитуду плоской волны. При линейном увеличении , или фаза линейно возрастает и вектор на рис. 1.1 вращается против часовой стрелки.


При имеем комплексную амплитуду сферической расходящейся и сходящейся волны. Фаза линейно зависит от расстояния , но нелинейно – от пространственных координат .


Для временных сигналов описывает временную фазовую задержку в комплексном представлении. При то получим временной множитель комплексного представления монохроматической волны. При этом вектор на рис. 1.1 вращается с постоянной угловой скоростью по часовой стрелке. Аналогичный вид имеют комплексные временные гармоники в ЭС.

Вещественная линейная амплитудная экспонента

Если , где – расстояние вдоль направления электромагнитного излучения, то на основании и

при

Выражение определяет классическую показательную функцию с основанием . При вещественная экспонента описывает поглощение и рассеяние излучения в среде распространения. Для временных сигналов описывает затухающие электрические колебания в системе.

Мнимая квадратичная фазовая экспонента

Если , то выражение описывает комплексную амплитуду сферической расходящейся и сходящейся электромагнитной волны в параксиальном приближении. Сферическая волна аппроксимируется параболической волной, которую также можно интерпретировать в виде комплексного вектора на рис. 1.1.

Вещественная квадратичная амплитудная экспонента

При выражение имеет вид функции Гаусса. Пространственная гауссоида описывает распределение амплитуды поля в поперечных типах колебаний, возникающих при генерации лазерного излучения (так называемые гауссовы пучки). При анализе вероятностного поведения случайных случайных полей и временных процессов функция Гаусса описывает плотность вероятности нормального закона распределения. Кроме того, она входит в интеграл вероятностей, который применяется для расчета вероятностных характеристик обнаружения.

В случае временных сигналов . Временная гауссоида определяет форму соответствующего временного гауссова импульса в системе.