Модели систем

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 15:43, 14 ноября 2016.


Концептуальная модель

Преобразующая система обычно самостоятельного значения не имеет, а служит лишь исходным материалом для последующих этапов формализации идеальной модели путем построения некоторого множества знаковых моделей в виде формализованных схем, графиков, чертежей и т.п. Особую роль играют те формализованные схемы, которые являются промежуточными звеньями между концептуальной и математической моделями Преобразующая система. К ним следует прежде всего отнести структурную, функциональную и принципиальную схемы, которые полностью подводят итог предварительного содержательного описания.

  • Структурная схема определяет основные функциональные части преобразующей системы, их назначение и взаимосвязи.
  • Функциональная схема разъясняет определенные процессы, протекающие в отдельных функциональных элементах преобразующей системы. На схеме выделяют функциональные части системы обычно в виде условных графических обозначений и функционально - преобразующие связи между ними. Технические характеристики функциональных частей указывают рядом с графическими обозначениями или на свободном поле схемы. Там же помещают поясняющие подписи и диаграммы, описывающие преобразование сигналов в пространстве и во времени. Функциональная схема показывает не только пригодность элементов к выполнению определенной функциональной задачи, но и функциональные принципы построения преобразующей системы.
  • Принципиальная схема определяет полный состав элементов и связей между ними и, как правило, дает детальное представление о принципах работы системы. Такие схемы используют для описания работы электротехнических и радиоэлектронных систем. Например - комплекс стандартных условных графических обозначений (резисторы, конденсаторы, микросхемы и т.д.).

Математические модели

В теоретических исследованиях независимо от физической природы сигнала, преобразуемого в беспроводных каналах передачи сообщений (КПС) говорят о его математическом модельном представлении в виде в общем случае векторной функции пространственных координат, длины волны и времени. Эта функция определяет закон изменения физической величины каких-либо параметров реального сигнала, отождествляемых в теоретическом анализе с самим сигналом.

Линейная система

Определим линейную систему, как часть КПС, которая обеспечивает такое преобразование сигналов, что аддитивной совокупности входных сигналов можно сопоставить одну и только одну аддитивную совокупность выходных сигналов. При этом названная совокупность выходных сигналов может рассматриваться как совокупность сигналов, преобразованных системой раздельно.

Рассмотрим входную совокупность сигналов с помощью оператора суперпозиции вида:

Оператор рассматривается в виде:

где - функция, моделирующая входной сигнал;
- дельта-функция.

Т.е любую функцию можно представить, как суперпозицию в виде свертки этой функции, моделирующий сигнал, с дельта-функцией.

Линейный оператор преобразует входной сигнал в виде:

поскольку операторы и линейны.

Пользуясь свойством линейности, можно разделить операторы по параметрам интегрирования:

По определению линейной системы, реакция системы на единичное воздействие является импульсным откликом (функцией рассеяния, аппаратной функцией  :

Таким образом, для линейной инвариантной системы:

По определению преобразование Фурье от импульсного отклика (функции рассеяния) является передаточной функцией системы:

При рассмотрении многомерных систем результаты анализа можно рассматривать в общем виде:

Cистемы с нелинейными звеньями

Действие многомерной части пространственно-временного тракта, в которую входят слой пространства, пространственный фильтр, оптическая система, анализатор изображения, описывается линейными операторами. Однако в таких подсистемах, как приемник лучистой энергии, электронный тракт, можно выделить звенья, действие которых описывается нелинейными операторами. К таким элементам можно отнести и различные функциональные преобразователи, элементы гидро- и пневмоавтоматики и т.п

Методы анализа КПС, содержащего нелинейные звенья

Решение задачи анализа и оптимизации при принятии проектного решения предполагает наличие математической модели Математическое моделирование линейных систем основано на принципе суперпозиции. Для нелинейных систем не применим этот принцип, поэтому нереально полагать, что можно найти метод анализа, который был бы наилучшим для всех систем. Существуют две возможности анализа нелинейных систем. Во-первых, можно взять какое-либо конкретное нелинейное устройство или класс устройств и проводить их детальный анализ. Но методы, которые при этом будут развиты, могут оказаться неприменимыми к анализу других нелинейных систем.

Второй подход заключается в выборе некоторого общего метода анализа, не относящегося к какой-либо конкретной системе, но позволяющего проводить анализ и синтез широкого класса систем. Для частной задачи общий подход может оказаться более сложным, чем метод, предназначенный специально для конкретной задачи. Но если ресурсы ЭВМ позволяют реализовать этот общий метод, то это будет вполне оправдано.

Методы анализа нелинейных систем в достаточной мере развиты в теории автоматического управления. Поскольку существует широкий класс КПС, которые являются частью систем автоматического управления, то некоторые из этих методов можно использовать для анализа электронного тракта. При этом следует помнить, что в тракте , как правило, решается задача выделения полезного сообщения, которое может представляться реализацией случайного процесса на фоне помех, действующих либо на входе, либо в самом тракте прибора. Поэтому в любом случае тракт выполняет функцию фильтрации.

В связи с этим методы, предназначенные для исследования динамических свойств нелинейных систем, такие как метод малого параметра, гармонического баланса, гармонической линеаризации, частотный и др., не могут быть использованы для анализа работы КПС, содержащего нелинейные элементы.

Существуют точные и приближенные методы исследования нелинейных систем при случайных воздействиях. Точные методы позволяют отыскать характеристики сигналов, определяющие их полностью в статистическом смысле, а именно: -мерные функции распределения плотности вероятности выходных сигналов или моменты высших порядков. Среди точных методов анализа нелинейных систем следует отметить метод, основанный на интегрировании уравнений Фоккера — Планка - Колмогорова, метод преобразования моментных функций с использованием рядов Вольтерра, метод канонических разложений и метод Винера. Однако не все перечисленные методы являются универсальными. Например, путем интегрирования уравнений в частных производных Фоккера — Планка — Колмогорова удается получить лишь одномерные функции плотности распределения вероятности. Для применения метода канонических разложений необходимо, чтобы уравнения, описывающие системы, содержали непрерывные нелинейные функции относительно величин, характеризующих состояние системы.

Среди приближенных методов наибольшее распространение получили методы статистической линеаризации, эквивалентной передаточной функции и совместной статистической и гармонической линеаризации. Но эти методы дают удовлетворительные результаты лишь при нормальном законе распределения случайного сигнала на входе нелинейного элемента, что ограничивает возможности применения указанных методов. Поскольку речь идет о выборе метода исследования нелинейных систем, удобного для реализации на ЭВМ, то логично потребовать, чтобы математический аппарат, лежащий в основе этого метода, был аналогичен аппарату, используемому для анализа линейных систем. Известно, что для расчета линейных систем наиболее приемлемым является спектральный метод, в основе применения которого лежат алгоритмы БПФ.

С этой точки зрения особого внимания заслуживает метод исследования нелинейных систем с помощью функциональных рядов Вольтерра. Как будет показано ниже, этот метод обеспечивает наперед заданную точность и применим для рассматриваемого класса систем как при детерминированных, так и при случайных сигналах. Принципиально любое нелинейное устройство можно представить через композицию линейных и не-линейных звеньев. Под нелинейным звеном в дальнейшем будем понимать некоторое безынерционное устройство, на выходе которого мгновенное значение сигнала определяется соотношением

 

Чтобы пояснить метод описания работы нелинейных систем с помощью функциональных рядов Вольтерра, рассмотрим простейшую нелинейную систему, образованную последовательным соединением стационарного линейного звена с импульсным откликом и нелинейного звена в виде квадратора (рис. 1). Так как

Рис. 1. Простейшая нелинейная система
 

то, подставив интеграл в выражение , получим


 

Функционирование всей системы можно выразить двойной сверткой входного сигнала и двумерного ядра, которое в данном случае определяется произведением импульсных откликов линейной части системы

т.е. является сепарабельным.

Полученное выражение можно рассматривать как регулярный однородный функционал второй степени. При описании более сложных нелинейных динамических систем применяют полиномы Вольтерра, составленные из регулярных однородных функционалов вида

Регулярность этих функционалов понимается как симметричность ядер относительно переменных , т.е. значения функционалов не меняются при произвольной их перестановке. Если параметр в выражении рассматривать как переменную, то полином Вольтерра

задает оператор, действующий из пространства функций в пространство функций .

Работу системы, состоящей из линейного и нелинейного звеньев, можно описать оператором, который в явном виде задается выражением .

Пусть теперь нелинейное звено описывается произвольной непрерывной функцией. Если входной сигнал ограничен, а ядро, описывающее линейное преобразование, устойчиво, т.е

то сигнал на выходе линейного звена также ограничен.

Из теоремы Вейерштрасса известно, что существует последовательность полиномов, всюду сходящихся к , причем для ограниченных полиномов это влечет за собой сходимость в среднем. Таким образом, можно аппроксимировать функцией

Существуют различные способы aппpoкcимaции: соответствующие критериям наименьших квадратов, по Чебышеву и др., причем в каждом случае, задаваясь оценкой приближения, можно определить степень аппроксимирующего полинома.

Аналогично рассмотренному случаю, когда нелинейное звено описывалось степенной функцией вида, аппроксимирующую систему при нелинейности более сложного вида можно представить функциональным полиномом, образованным суммой регулярных функционалов:

где ;
знак обозначает - кратный интеграл в пределах ()

Чем точнее аппроксимация функции , тем точнее функциональное представление нелинейной системы.

Если функция аналитична в некоторой области, то ее можно представить в виде степенного ряда:

и дать оценку ошибки разложения.

В этом случае сигнал на выходе нелинейной системы может быть описан функциональным степенным рядом вида

Нелинейные системы, которые могут быть представлены функциональными степенными рядами, называются аналитическими. Применение функциональных полиномов (или рядов) Вольтерра для описания систем, содержащих нелинейные звенья, позволяет в явном виде получить связь между входным и выходным сигналами. Кроме того, поскольку ядра функциональных полиномов, как будет показано ниже, выражаются через импульсные отклики линейных звеньев системы, то такой подход, как и в случае линейных систем, в принципе позволяет решать задачу синтеза и оптимизации звеньев электронного тракта КПС.

Из соотношений и также следует, что математические выражения, описывающие работу линейных систем, являются частным случаем функциональных полиномов Вольтерра, когда все коэффициенты, кроме равны нулю. В связи с этим все результаты, которые будут получены ниже, для нелинейных систем можно обобщить на случай, когда тракт КПС содержит только линейные звенья.

Анализ нелинейных нестационарных систем во временной области

Рассмотрим нелинейную систему (рис. 2), образованную последовательным соединением линейного нестационарного и стационарного безынерционного нелинейного звеньев. Характеристика такого нелинейного звена описывается полиномом степени . В соответствии с изложенным выше сигналы на выходе линейного и нелинейного звеньев определяются выражениями



Тогда соотношение между входным и выходным сигналами можно определить, подставив в :

Если обозначить , то выражение будет иметь вид полинома Вольтерра

Если линейная система стационарна, то полином можно переписать как

где

Выражение определяет неразделимые ядра Вольтерра.

Рассмотренные примеры нелинейных систем являются иллюстрацией к общему положению, согласно которому любую функциональную нелинейную систему без обратной связи, образованную соединением инерционных линейных систем и аналитических безынерционных нелинейностей, можно описать полиномом Вольтерра.

Предположим, что описания систем в виде рядов или полиномов Вольтерра уже получены. Выведем выражения, описывающие ядра Вольтерра при различном соединении нелинейных систем. Пусть имеются две функциональные полиномиальные системы с ядрами соответственно. Сумма таких систем соответствует их параллельному соединению. По определению

где ,
а ядра Вольтерра определяются формулой

Ядра Вольтерра и сигнал на выходе системы, образованной произведением двух нелинейных систем, можно определить из выражения

где .

Теперь рассмотрим последовательное соединение систем . При таком соединении сигнал на выходе

где .

Анализ выражений для ядер Вольтерра показывает, что задача определения сигнала на выходе нестационарных нелинейных систем методом полиномов Вольтерра сводится к вычислению -мерных интегралов, зависящих от параметра.

Спектральные методы анализа нелинейных систем при детерминированных воздействиях

Применение преобразования Фурье и Лапласа упрощает анализ не только линейных систем, но и нелинейных.

Преимущества при анализе структурных схем стационарных нелинейных полиномиальных систем дает применение многомерного преобразования Фурье. Но в этом случае есть существенное отличие, заключающееся в том, что однородный регулярный функционал Вольтерра.

не является многомерной сверткой, имеющей вид

Как следует из выражений , регулярный функционал Вольтерра ставит в соответствие входному сигналу выходной сигнал, зависящий от одной переменной , тогда как выражение определяет многомерный сигнал, зависящий от переменных.

Алгоритм вычисления спектра сигнала на выходе нелинейной системы дает теорема о переходе от одной переменной в области изображений. Сформулируем сначала эту теорему для функций двух аргументов.

Пусть для функции существует преобразование Фурье

Тогда

Докажем это. Пусть в формуле , тогда

Если ввести новую переменную , то и

Из последнего выражения следует утверждение теоремы:

Рассмотрим переход к одной переменной в области изображений для функции трех переменных , имеющей Фурье-образ . Приравняв переменные и обозначив по аналогии с предыдущим случаем , получим

Если теперь приравнять аргументы функции , т.е. положить и еще раз проделать операции, то окончательно

Т.о., для функции трех переменных операция перехода к одной переменной в частотной области сводится к последовательному двукратному вычислению интеграла типа Фурье-образа . В дальнейшем операцию перехода к одной переменной обозначим символом . Из доказанной теоремы вытекают два важных для дальнейшего изложения следствия.

Следствие 1. Если изображение имеет вид , то, обозначив , получим

т.е. переход к одной переменной осуществляется в этом случае простой заменой переменной.

Следствие 2. Если изображение имеет вид , то

На основании изложенного Фурье-образ функционала Вольтерра [см. формулу ] можно представить в виде

Аналогично полиному Вольтера вида , устанавливающему связь между сигналом на входе и сигналом на выходе , можно поставить в соответствие выражение в частотной области

где - Фурье-образы сигналов на выходе и входе нелинейной полиномиальной системы;
- Фурье-образ (изображение) ядра -го порядка.

Из выражения следует алгоритм вычисления спектра детерминированного сигнала на выходе нелинейной полиномиальной системы, который сводится к следующему:

  1. Вычисляются изображения многомерных ядер полиномиальной системы:
    и Фурье-образ сигнала на выходе системы.
  2. Осуществляется переход к одной переменной в частотной области для каждого члена в выражении .

Если для вычисления изображения ядра Вольтерра воспользоваться алгоритмом БПФ, то для вычисления изображений ядра размерности при разбиении области интегрирования на интервалов потребуется выполнить операций. Необходимое число операций при переходе к одной переменной путем интегрирования по методу квадратур Гаусса составит примерно . Уже при операция перехода к одной переменной оказывается почти на порядок более трудоемкой, чем вычисление изображения ядер. Чтобы уменьшить число операций при вычислении интегралов, можно воспользоваться приемом, который основан на известном свойстве преобразования Фурье и заключается в том, что значение нулевой гармоники преобразования Фурье от функции на нулевой частоте равно интегралу от этой функции, взятому в бесконечных пределах:

Если для реализации операции перехода к одной переменной применить алгоритм БПФ (см. раздел Быстрое преобразование Фурье), учитывая при этом, что нулевая гармоника полученного в результате расчета спектра равна искомому интегралу, то для этого понадобится выполнять всего операций.