Ковариация

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 00:19, 20 апреля 2017.


Ковариация (взаимная ковариация) – интегральная операция построения новой функции по двум исходным функциям:

где – исходные функции;
– переменные интегрирования;
– переменные, задающие сдвиг комплексно-сопряженной функции .

Автоковариация

В случае, когда , взаимную ковариацию принято называть автоковариацией.

Свойства ковариации

Введем замену и найдём значение ковариации:

откуда следует, что ковариация не является коммутативной операцией.

Отсюда же следует, что взаимная ковариационная функция обладает эрмитовой симметрией относительно перестановки индексов функций и по определению является эрмитово симметричной и, следовательно, обладает всеми свойствами эрмитово симметричной функции:

В силу данного свойства, вещественная ковариационная функция двух переменных обладает центральной симметрией, а вещественная ковариационная функция одной переменной четной функцией.

В результате замены взаимная ковариационная функция сводится к симметризованному виду:

Преобразование Фурье от ковариации и его свойства

Фурье-образ взаимной ковариационной функции имеет вид:

,

т. е. равен произведению Фурье-образа первой функции на комплексно-сопряженный Фурье-образ второй функции.

Соответственно, для Фурье-образа автоковариационной функции выражение имеет вид:


Фурье-образ ковариации всегда является вещественной функцией. Кроме того, вещественная часть и модуль являются центрально симметричными функциями, а мнимая часть и фазаантисимметричными функциями.

Для ковариационной функции одной переменной и оказываются четными, a и нечетными функциями.

См. также