Волновое уравнение акустики

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 16:45, 14 ноября 2016.


Волновые уравнения акустики жидкостей и газов

Уравнение, аналогичное волновому уравнению для электромагнитного излучения, полученное на основе механических аналогий, приведено в разделе 1.4.2.3. В электродинамике волновое уравнение (см. раздел 2.4.3) рассматривается как следствие уравнений Максвелла.

Для жидкостей и газов в акустике в качестве исходящего рассматривается уравнение гидродинамики - уравнение Эйлера:

,

уравнение непрерывности

,

и адиабатическое уравнение состояния

.

Здесь - скорость частиц жидкости или газа, - плотность, - давление, и - начальные значения давления и плотности, - показатель адиабаты. В случае идеального газа , где и - теплоёмкости при постоянных давлении и объёме; уравнение при этом представляет собой уравнение адиабаты Пуассона. В случае жидкостей величина определяется эмпирически; соответственно уравнение называется уравнением Тэта.

Ограничившись в дальнейшем рассмотрением волновых процессов бесконечно малой амплитуды, линеаризуем уравнения , полагая, что , , . Здесь , , - средние значения соответствующих величин, а , , - обусловленные звуком малые возмущения (в отсутствие потоков и ). Подставляя выписанные выражения для (в дальнейшем ограничимся случаем ) в уравнения и пренебрегая членами второго и высших порядков малости по и , получим

,
,
,

где . Величина называется адиабатическим модулем сжатия, а - адиабатической сжимаемостью.

Уравнения являются исходными для получения волновых уравнений. Продифферинцируем уравнение по времени и исключим в полученном выражении величину с помощью уравнения Эйлера . С учётом связи между и (формула ) получим волновое уравнение для :

.

Величина , таким образом, представляет собой квадрат фазовой скорости волны (скорости звука). Идентичные волновые уравнения, очевидно, могут быть записаны и для величин и , распространяющихся с той же скоростью .

Сделаем несколько замечаний о характере движения частиц в звуковой волне. Применяя операцию к обеим частям уравнения , получим . Это означает, что движение частиц в акустической волне, распространяющейся в идеальной среде, потенциально. В частности, если звуковое поле зависит от одной пространственной координаты, на пример от координаты , то , т.е. колебания частиц жидкости или газа происходят вдоль прямой, характеризующей направление распространения акустических волн. Иными словами, звуковые волны в идеальных жидкостях и газах являются продольными. Сказанное позволет использовать для их описания один скалярный потенциал , называемый потенциалом скорости. При этом колебательная скорость выражается в виде

Выведем волновое уравнение для потенциала . Для этого подставим выражение в уравнение . В результате будем иметь

Подставляя в уравнение и учитывая уравнение , получим

Подстановка же соотношения в даёт искомое волновое уравнение для :

Разумеется, уравнение можно было бы получить и из волновых уравнений для или . Однако вывод его непосредственно из уравнений гидродинамики более прдпочтителен с методической точки зрения.

Следует отметить, что описание акустических полей с помощью потенциала скорости обладает рядом преимуществ по сравнению с использованием для этой цели величин и . Анализ при этом сводится к решению одного скалярного уравнения с соответствующими граничными и начальными условиями, а переход к полевым переменным и осуществляется по найденным с помощью соотношений , и . Следует однако помнить, что физический смысл имеет не сам потенциал , а величины и , которые через него выражаются.

Остановимся вкратце на граничных условиях, налагаемых на акустическое поле в идеальной жидкости или газе. Если среда ограничена жёсткой поверхностью, не допускающей нормальных перемещений, то граничные условия имеют вид

где - вектор единичной нормали к поверхности. Если среда граничит с вакуумом (свободная поверхность), то

В случае границы раздела двух сред, характеризуемых индексами "1" и "2", используются условия непрерывности поля:

Граничные условия для потенциалов очевидным образом вытекают из граничных условий при использовании соотношений .

Для получения волновых уравнений с правой частью, или неоднородных волновых уравнений, используемых в задачах излучения и рассеяния звука, необходимо либо записать ненулевые правые части в уравнениях гидродинамики , либо ввести в рассмотрение дополнительные переменные (например, температуру в случае так называемых тепловых источников) и дополнить систему недостающим неоднородным уравнением для соответствующей переменной (в случае тепловых источников таким уравнением является уравнение теплового баланса). Ограничимся для определённости случаем наличия правой части в уравнении , которое при этом можно записать в виде

Величина , называемая плотностью внешней объёмной скорости, характеризует изменение объёма среды за единицу времени, отнесённое к начальному объёму. Линеаризуя уравнение по рассмотренной выше схеме, получим

Проводя с выражениями , , преобразования, аналогичные сделанными при выводе уравнения , получим неоднородное уравнение для давления

Переходя к потенциальному представлению и выполняя операции, аналогичные проделанным при выводе уравнения , получим неоднородное волновое уравнение для потенциала

Уравнение , очевидно, вытекает из уравнения , если на последнее подействовать оператором и воспользоваться соотношением .

Плоские, сферические и цилиндрические волны

В данном параграфе мы кратко остановимся на основных свойствах плоских, сферических и цилиндрических волн, знание которых понадобится нам в дальнейшем.

Плоские волны

Пусть звуковое поле зависит только от одной декартовой координаты, например, от координаты . В этом случае уравнение принимает вид

и, как нетрудно убедиться непосредственной подстановкой, имеет общее решение

где и - произвольные функции. Первое слагаемое в описывает плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении отрицательных значений , а второе - волну, распространяющуюся в направлении отрицательных значений . Для колебательной скорости и звукового давления волны, распространяющейся в положительном направлении получим

Из и видно, что звуковое давление в плоской волне связано с колебательной скоростью простым соотношением

где величина называется волновым сопротивлением среды.

В случае гармонической временной зависимости звукового поля от уравнения легко прийти к уравнению Гельмгольца относительно :

имеющему общее решение

Здесь первое слагаемое описывает волну, распространяющуюся в положительном направлении оси , а второе - в отрицательном, и - постоянные, - волновое число. Величина , называемая длиной волны, определяет расстояние между соседними максимумами или минимумами в гармонической волне. Если плоская волна распространяется в произвольном направлении относительно осей декартовой системы координат, характиризуемом единичным вектором , то, как нетрудно убедиться, уравнению удовлетворяет общее решение

где . Для гармонической зависимости от времени соответствующее решение принимает вид

где - волновой вектор.

Произвольно зависящая от времени плоская звуковая волна может быть разложена в интеграл Фурье по гармоническим волнам

где

Таким образом, зная закономерности гармонических линейных волновых процессов, нетрудно получить соответствующие результаты и в случае произвольной зависимости от времени. По этой причине в дальнейшем мы ограничим наше рассмотрение, в основном, гармоническими волнами.

Если плоская волна амплитуды падает по нормали на свободную границу среды, характеризуемую значением , то звуковое поле в последней строится в виде суммы

Здесь - коэффициент отражения, определяемый из граничных условий , которые для гармонически зависящего от времени потенциала принимают вид

- условие Дирихле (везде, где это не вызовет недоразумений, мы будем опускать временной множитель ).

Подставляя выражение в при , получим . То же самое значение коэффициента отражения, очевидно, имеет место и для волны давления: . Нетрудно, однако, понять, что в случае границы раздела двух сред, которые мы будем обозначать индексами "1" и "2", поле в первой среде представляет собой сумму падающей и отражённой волн

а поле во второй среде определяется только прошедшей волной

где через и обозначениы коэффициенты отражения и прохождения. Используя граничные условия , которые для потенциалов примут вид

,

и подставляя выражения , в при , получим систему двух алгебраических уравнений относительно и , решение которой даёт

,

Здесь и - волновые сопротивления первой и второй сред, и - соответствующие значения плотности и скорости звука. Значение коэффициента отражения для давления, очевидно также определяется первой формулой , в то время как коэффициент прохождения по давлению имеет вид . При из следует, что , как и в случае отражения от акустически мягкой (свободной) границы. При , что соответствует случаю абсолютно жёсткой границы, .

Введём теперь понятие вектора плотности потока энергии звуковой волны, или вектора Умова - Пойтинга , характеризующего энергию, переносимую волной через единичную площадку за единицу времени: . В случае гармонической временной зависимости и чаще пользуются усреднённым за период времени значением плотности потока, или для краткости, просто потока энергии . Модуль этой величины принято называть интенсивностью звука . Проводя усреднение, нетрудно уедиться, что через комплексные амплитуды и интенсивность можно выразить следующим образом:

.

Возможны и другие определения интенсивности звука, на которых мы здесь не будем останавливаться. В частности, интенсивность может быть определена как векторная и даже как комплексная величина.

Отношения интенсивностей отражённой и прошедшей волн к интенсивности падающей волны , очевидно, определяются выражениями

,

причём в соответствии с законом сохранения энергии . Из следует, что если волновые сопротивления сред сильно различаются, то значение весьма мало, т.е. волна практически не проходит через границу раздела. Всё сказанное легко обобщается и на случай наклонного падения влоской волны на границы раздела сред. Соответствующие вычисления мы рекомендуем проделать самостоятельно.

Сферические волны

Рассмотрим волновое уравнение в сферической системе координат, причём будем считать, что акустическое поле обладает сферической симметрией, т.е. зависит только от радиуса сферической системы координат . В этом случае можно ограничится только радиальной частью оператора Лапласа и переписать в форме

Будем искать решение в виде

где - произвольная функция. Подставляя в , получим уравнение для :

которое, как легко видеть, по форме совпадает с волновым уравнением , описывабщим распространение плоской волны. Пользуясь этим обстоятельством, общее решение уравнения можно сразу записать в виде

где первое слагаемое описывает расходящуюся сферическую волну, распространяющуюся от центра системы координат, а второе слагаемое - сходящуюся сферическую волну.

Несмотря на то, что выше мы не налагали никаких ограничений на функции и , такие ограничения возникают из-за особенностей, присущих сферическим волнам. В частности, если рассматривать расходящуюся сферическую волну, представляющую наибольший интерес для приложений, то нетрудно убедиться, что в случае ограниченного во времени волнового процесса звуковое давление должно удовлетворять соотношению . В самом деле, проинтегрируем линеаризованное уравнение Эйлера по времени в пределах от до . В результате получим

Таким образом . Одноко поскольку в расходящейся сферической волне при (см. формулу ), то значение константы должно быть тождественно равно нулю во всём пространстве, что и доказывает высказанное выше утверждение.

Для гармонически меняющихся во времени сферических волн потенциал принимает вид

Рассчитаем давление и колебательную скорость в расходящейся гармонической сферической волне амплитуды (множитель опускаем):

.

Отношение при этом определяется выражением

которое стремится к значению волнового сопротивления плоской волны при . Это говорит о том, что при больших значениях сферические волны близки к плоским.

Цилиндрические волны

По аналогии со случаем сферических волн выпишем волновое уравнение в цилиндрических координатах, учтя в лапласиане только радиальную часть,

Решение уравнения в случае произвольной зависимости поля от времени весьма сложно, поэтому мы ограничимся полями, гармонически зависящими от времени, полагая, что

Подставляя в , придём к уравнению Бесселя нулевого порядка относительно :

Решениями этого уравнения являются цилиндрические функции. В результате решения для , соответствующее сумме расходящихся и сходящихся цилиндрических волн, имеет вид

где и - функции Ханкеля первого и второго рода нулевого порядка. Выпишем выражения для расходящейся цилиндрической волны при малых и больших значениях , используя соответствущие асимптотики функции . В результате получим, что при

а при

Легко проверить, что так же, как и в сферических волнах, имеет место равенство , а при цилиндрические волны близки к плоским.

Излучение круглой поршневой диафрагмы в жёстком экране. Поле на оси

Перейдём к рассмотрению поля, излучаемого круглым поршнем радиуса , который гармонически колеблется в жёстком экране с заданной амплитудой скорости . Согласно сказанному выше, потенциал поля излучения в любой точке пространства определяется при этом интегралом Рэлея . В этом параграфе мы проанализируем наиболее простой случай вычисления поля на оси излучателя. Этот случай допускает точное решение и позволяет прояснить многие важные особенности поведения поля, характерные для излучателей любых типов.

Обозначая в величину через и переходя к цилиндрическим координатам и при интегрировании по поверхности (см. рис. 1), запишем потенциал на оси излучателя в виде

Рис. 1 К расчёту поля на оси круглой поршневой диафрагмы
Рис. 2 Зависимость абсолютной величины поля на оси круглого поршневого излучателя от расстояния z

Интегрируя по и вводя замену , из получим

Проанализируем характерные особенности поля в соответствии с выражением . Сначала определим значения , при которых абсолютная величина обращается в нуль. Очевидно, это имеет место при

где или, что то же, при

Условие отражает хорошо известный из элементарного курса результат, заключающийся в том, что нули соответствуют чётному числу зон Френеля, укладывающихся на излучателе. Напомним, что зоны Френеля ограничиваются линиями пересечения с плоскостью излучателя коцентрических сфер с центром в точке наблюдения , радиусы сфер отличаются друг от друга на . Совершенно аналогично определяются положения максимумов абсолютной величины поля :

где или

т.е. максимумы формируются в том случае, когда на излучателе укладывается нечётное число зон Френеля. Найдём координату наиболее удалённого максимум (при ). Возводя в квадрат, получим

Если предположить, что , как это обычно и бывает на практике, то координату наиболее удалённого максимума можно оценить более простым соотношением

Наконец, проанализируем, как ведёт себя поле при . Для этого разложим корневые выражения в в ряд Тэйлора, ограничившись первыми двумя членами и заменим значение синуса его аргументом . В результате получим

где - объёмная скорость поршня. Таким образом, при больших расстояниях поле на оси поршневого излучателя представляет собой сферически расходящуюся волну и отличается от поля монополя только множителем 2, появляющимся из-за того, что звук в данном случае излучается в полупространство.

Типичный график зависимости изображён на рис. 2. Видно, что при поле имеет сложную осциллирующую структуру, причём период осцилляций уменьшается при приближении к поверхности поршня. Данную область значений называют ближней зоной излучателя, или зоной Френеля. Поскольку определение протяжённости ближней зоны в значительной мере произвольно, часто за её границу принимают большее значение . Последнее определение имеет некоторые преимущества, о чём ещё будет говориться ниже.

Приведём теперь один методически важный пример использования принципа Гюйгенса в форме интеграла Рэлея, непосредственно связанный с проведённым рассмотрением. А именно, покажем, что применение интеграла к бесконечному фронту плоской волны, который мы будем рассматривать как поршневой излучатель, даёт за фронтом ту же самую плоскую волну. В самом деле, пусть вдоль оси распространяется плоская волна, значение колебательной скорости в которой описывается выражением . Не ограничивая общности, проведём сечение в плоскоски и зададим в этом сечении колебательную скорость , равную колебательной скорости частиц в волне. Подстановка выписанного значения скорости в интеграл Рэлея и переход к цилиндрическим координатам приводят к интегралу вида , в котором однако предел интегрирования заменяется на . Интегрируя, получим

При переходе к последнему равенству использован принцип предельного поглощения, т.е. предположения о том, что волновое число имеет бесконечно малую положительную мнимую часть множителя, т.е. при , для поля на оси имеем .

Если , то первое экспоненциальное слагаемое в выписанном выражении много меньше второго. При этом поле колебательной скорости не осциллирует вдоль оси излучателя и представляет собой затухающую плоскую волну . К аналогичному эффекту приводит также сглаживание распределения колебательной скорости вдоль радиуса излучателя. В этом легко убедиться, внося величину в под знак интеграла и заменяя её на функцию . В качестве можно, в частности, выбрать параболическую зависимость , где - параметр. Обозначая через и интегрируя, получаем, что при осцилляции поля на оси в той или иной степени ослабляются (в зависимости от ), а нулевые минимумы амплитуды исчезают. В случае , соответствующем обращению в нуль на краях излучателя, осцилляции подавляются полностью и вдоль оси распространяется плоская волна . Заметим, что требование неявным образом присутствует и в предыдущем примере для среды с конечным поглощением. В этом случае оно, очевидно, является следствием условия перехода к плоской волне и неравенства , которое всегда выполняется для акустических волновых процессов.

Дальнее и ближнее поля круглой поршневой диафрагмы. Диаграмма направленности

Рассчитаем поле круглой поршневой диафрагмы в точках, лежащих вне оси. Точное решение для этого случая, полученное немецким акустиком Штенцелем и основанное на разложении полей в ряды из специальных функций, оказывается чрезвычайно громоздким. Поэтому мы ограничимся приближённым рассмотрением вопроса. Этого вполне достаточно для большинства практических приложений.

Проанализируем сначала более простую задачу об определении поля в дальней зоне, т.е. при . Для этого расстояние представим в виде

отбросив при разложении в степенной ряд члены второго и высших порядков по и . Не ограничивая общности, совместим точку наблюдения с плоскостью и перейдём в (4.1) к сферическим координатам в соответствии с формулами (см. рис. 3). При этом и интеграл Рэлея принимает вид

При записи выражения мы пренебрегли отличием от в знаменателе , аналогично тому, как это делалось при выводе соотношения для поля излучения диполя.

Воспользовавшись известным соотношением , где - функция Бесселя нулевого порядка, от перейдём к выражению

описывающему сумму вкладов элементарных колец радиуса и ширины . Учитывая далее другое известное свойство бесселевых функций , где - функция Бесселя первого порядка, получим окончательно

где - объёмная скорость поршня. При , т.е. для поля на оси, член в квадратных скобках равен единице и переходит в полученное ранее выражение . При значениях угла , отличных от нуля, амплитуда поля убывает, осциллируя.

Рис. 3 К расчёту поля круглой поршневой диафрагмы в произвольной точке полупространства
Рис. 4 Простое построение картины поля поршневого излучателя
Рис. 5 Типичная диаграмма направленности круглого поршневого излучателя (kR = 10)

Для углов , соответствующих равенству , амплитуда обращается в нуль. Ближайший в оси нуль имеет место при , откуда , где - диаметр поршня. Ослабление поля по уровню , т.е. по половинной мощности, наступает при . Последнее обстоятельство позволяет предложить простое графическое построение, иллюстрирующее распределение в пространстве основной доли энергии поля. Если от крёв поршня провести параллельно оси два отрезка длиной (протяжённость зоны Френеля) и через их концы и центр излучателя провести две прямые (см. рис. 4), то последние будут соответствовать углам , характеризующим ослабление поля в два раза по интенсивности. Действительно, поскольку тангенсы углов наклона обеих прямых равны , а при тангенсы можно заменить их аргументами, высказанное утверждение очевидно.

Отношение , характеризующее угловое распределение поля в дальней зоне, называется амплитудной диаграмой направленности излучателя, или просто диаграммой направленности. Очевидно, для рассмотренного примера . Типичная зависимость величины для поршневого излучателя с в полярно системе координат изображена на рис. 5.

Перейдём к рассмотрению поля в ближней зоне излучателя, т.е. при . Для этого случая расстояние запишем в виде

сохранив квадратичные по и члены (приближение Френеля). Это возможно при ; . Подстановка в и переход к цилиндрическим координатам в плоскомти в соответствии с формулами (по-прежнему считаем, что точка наблюдения лежит в плоскости ) приводит к выражению

.

Интегрируя по и учитывая уже использованное выше соотношение, придём к формуле

весьма удобной для численных расчётов. При ? т.е. для точек наблюдения, лежащих на оси, и интегрирование в , которое в данном случае выполнимо аналитичеси, приводит к соотношению

Легко убедиться, что формула совпадает с выражением, вытекающим из точного результата для осевого поля , если в посленим воспользоваться приближениями.

Для произвольных точек наблюдения в выбранных сечениях целесообразно прямое почленное интегрирование в выражении . Возможно также почленное интергрировани при разложении экспоненты или функции Бесселя в степенные ряды. Не останавливатесь на обсуждении этого вопроса, отметим только, что, согласно расчётам, поле в ближней зоне оказывается весьма сложным. Фазовые фронты довольно изрезаны, но амплитуда изрезанностей невелика. В среднем в области геометрического распространения звукового пучка (см. рис. 4), простирающейся до , фазовые фронты можно считать плоскими. Это обстоятельство широко используется в экспериментах, так как приёмник конечных размеров реагирует именно на среднее поле. При захождении в область геометрической тени фазовые фронты близки к цилиндрическим, представляя собой так называемые краевые волны.

Амплитудное распределение поля в различных сечениях ближней зоны также отличается неравномерностью. Сначала амплитуда в среднем постоянна вдоль сечения и быстро спадает при захождении в зону геометрической тени. В дальнейшем, при увеличении , максимум поля сосредотачивается вблизи оси, характеризуя переход к сферическим волновым фронтам в дальней зоне. Отметим, что приведённое выше рассмотрение ближнего поля в приближении Френеля справедливо для . В том случае, когда нужно рассчитать поле на небольших расстояниях от изчателя, и тем более на самом излучателе (в последнем случае речь может идти об определении потенциала , или звукового давления, так как колебательная скорость на поверхности известна из граничных условий), необходимо пользоваться точной теорией, в частности, теорией, опирающейся на разложение функции Грина в интеграле Рэлея в ряды по полиномам Лежандра.

Поле прямоугольного излучателя

Основные закономерности формирования поля круглого поршня, изложенные в предыдущем параграфе, сохраняют силу и для прямоугольных излучателей. В этом случае, однако, точное решение не может быть получено даже для точек, лежащих на оси. Зато приближенные решения как в дальней, так и в ближней зонах оказываются более простыми.

Рассмотрим, как и ранее, поле в дальней зоне для плоского прямоугольного поршня со сторонами и , колеблющегося в жёстком экране с амплитудой скорости (рис. 6). Воспользуемся приближенным выражением для расстояния , переписав его в виде

где величины и представляют собой направляющие косинусы радиуса-вектора .


Рис. 6 К расчёту звукового поля прямоугольного излучателя
Рис. 7 Тонкая пластинка без экрана, совершающая колебания сжатия - растяжения
Рис. 8 Излучатель в экране конечных размеров

Подставляя в показатель экспоненты интеграла Рэлея и заменяя в знаменателе на , получим выражение для в виде произведения двух независимых интегралов

каждый из которых, очевидно, представляет собой преобразование Фурье от закона распределения скорости смещения частиц поверхности по соответствующей координате (в рассматриваемом случае это постоянные значения , заданные на отрезках и . Выполняя элементарное интегрирование, получим окончательно выражение для дальнего поля прямоугольного излучателя

где - объёмная скорость.

В своих основных чертах выписанное выражение весьма схоже с формулой для круглого излучателя . Диаграмма направленности из-за отсутствия круговой симметрии зависит теперь от двух углов и представляет собой произведение парциальных диаграмм соответственно по углам и : , где и . В основном направлении и . Ближайшие к оси нули парциальных диаграмм имеют место при и , где , . Для прямоугольных излучателей больших волновых размеров ( значения синусов можно заменить их аргументами, что даёт , . Ослабление по уровню соответствует значениям и . Таким образом, изложенная в предыдущем параграфе простая качественная картина соотношения геометрических параметров дальнего и ближнего полей сохраняет силу и в этом случае. Если положение точки наблюдения описывать в сферической системе координат (), которая для прямоугольных излучателей также широко используется, то замечая, что , а , от можно перейти к выражению

В сферических координатах диаграмма направленности , очевидно, уже не представляет собой произведение двух независимых парциальных диаграмм по каждой из координат. Напомним, что выражения и справедливы в дальней зоне, т.е. при ; .

Для приближенного описания ближнего поля прямоугольного излучателя, так же, как и в предыдущем параграфе, удержим в выражении для квадратичные по и члены (см. формулу ) в экспоненциальную функцию интеграла Рэлея , приведём последний к виду

Подстановки , сводят однократные интегралы в к табулированным интегралам Френеля и . В результате имеем

где вертикальная черта после каждой из квадратных скобок озачает, что берётся разность значений функции в соответствующих точках. Модули и фазы этих разностей могут быть также определены графически по известным спиралям Карню.

Картина звукового поля, создаваемого прямоугольным излучателем в зоне Френеля, примерно такая же, как и в случае круглой поршневой диафрагмы. Поэтому мы не будем на ней подробно останавливаться. Отметим только, что минимумы амплитуды поля на оси прямоугольного излучателя не доходят до нуля даже в случае равенства его сторон ().

Плоские излучатели с неравномерным распределением колебательной скорости

Рассмотрим теперь некоторые вопросы излучения звука плоскими излучателями с переменным рапределением колебательной скорости. Обсуждение этих вопросов интересно по двум причинам. Первая заключается в том, что многие реальные сложные излучатели (мембраны, пластины и т.п.) обладают распределением скорости, далёким от равномерного. Вторая же причина связана с тем, что использование излучателей с неравномерными распределениями скоростей позволяет более свободно обеспечивать заданные диаграммы направленности. Ниже мы ограничимся анализом звукового поля только в дальней зоне излучателей.

Пусть в жёстком экране находится прямоугольный излучатель (см. рис. 6) с распределением колебательной скорости , представимым в виде

При подготовке соотношения в интеграл Рэлея скорость нельзя выносить из под знака интеграла. Поэтому для дальнего поля вместо формулы следует использовать выражение

которое, как нетрудно видеть, пропорционально произведению преобразований Фурье от распределений и . Из свойств интеграла Фурье следует, что чем более плавными являются функции и , тем меньшим уровнем боковых лепестков характеризуются соответствующие парциальные диаграммы направленности.

Другим важным следствием выражения является то, что из него вытекает простейший алгоритм синтеза излучателей по заданным функциям направленности . В самом деле, если, например, задаться целью определить с точностью до постоянного множителя закон распределения скорости , обеспечивающий желаемую парциальную диаграмму

то достаточно применить к обратное преобразование Фурье:

При практической реализации данного метода синтеза возникают специфические трудности, связанные с конечными размерами реальных излучателей. Здесь, мы, однако, не будем останавливаться на соответствующих проблемах, составляющих предмет интенсивно развивающейся в настоящее время общей теории синтеза антенн.

См. также