Виды случайных процессов

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 18:13, 5 декабря 2016.

Белый шум

Рассмотрим стационарный случайный процесс , корреляционная функция которого имеет вид

.

Из следует, что любые две ординаты и в сколь угодно близские моменты времени некоррелированы. Такой процесс называют дельта-коррелированным. Спектральная плотность дельта-коррелированного процесса

.
Рис. 1.1 Реализация гармонических колебаний со случайной амплитудой

Случайный процесс, спектральная плотность которого постоянная на всех частотах, называют белым шумом. Так как дисперсия становится бесконечно большой

(интеграл расходится), то в этом смысле понятие белого шума является математической абстракцией. Однако понятие белого шума широко используют в технике, применяя его в тех случаях, когда энергетическая ширина спектра случайного процесса много больше, чем полоса пропускания системы, на входе которой он действует.

Рассмотрим приближенную замену реального шума (процесса) на белый шум . Пусть на систему с постоянной времени воздействует реальный шум с функцией корреляции , которая характеризуется достаточно широким спектром и, следовательно, малым, но конечным временем корреляции . За значение спектральной плотности "эквивалентного" белого шума берётся значение

Рис. 1.2 Плотности распределения вероятности гармонического колебания со случайной амплитудой

Примером шума, который в очень многих случаях можно считать дельта-коррелированным, является токовый шум ПИ.

Найдём одномерную плотность вероятности для фиксированного момента времени . Мгновенное значение может быть любым в интервале от до , причем будем считать, что . Следовательно,

;

График функции для фиксированного показан на рис. 1.2.

Математическое ожидание

Далее

Дисперсия

Из полученных выражений видно, что рассматриваемый случайный процесс нестационарный и неэнергодический.

Гармоническое колебание со случайной фазой

Рис. 2.1 Реализация гармонического колебания со случайной фазой

Если амплитуда и частота гармонического колебания заранее достоверно известны и начальная фаза - случайная величина, которая с одинаковой вероятностью может принимать любое значение в интервале , то плотность вероятности начальной фазы

;

Эту вероятность можно записать в виде , где - искомая плотность вероятности. Из рис. 2.1 видно, что вероятность совпадает с вероятностью попадания случайной фазы колебаний в один из двух заштрихованных интервалов. Эта вероятность равна . Следовательно,

откуда искомая функция

,

Величина . Таким образом, окончательно

, .

График этой функции изображён на рис. 2.2.

Рис. 2.2 Плотность распределения вероятности гармонического колебания со случайной фазой

Одномерная плотность вероятности не зависит от выбора момента времени , а среднее по множеству

совпадает со средним по времени

Корреляционную функцию можно получить усреднением произведения по множеству без обращения к двумерной плотности вероятности. Подставляя

а также учитывая, что первое слагаемое является детермированной величиной, а второе слагаемое при статистическом усреднении с помощью одномерной плотности вероятности обращается в нуль, получим

Такой же результат имеем и при усреднении произведения по времени для любой реализации процесса. Независимость среднего значения от и зависимость корреляционной фуекции от позволяют считать рассматриваемый случайный процесс стационарным. Аналогичным образом можно показать, что гармоничное колебание со случайной амплитудой и случпйной фазой образуют стационарный, но не эргодический процесс.

Нормальный случайный процесс

Рис. 3.1 Одномерная плотность распределения вероятности нормального распределения

Нормальный (гауссовский) закон распределения случайных величин чаще других встречается в технике. Он очень удобен для анализа, поэтому случайные процессы, распределение которых не слишком сильно отличается от нормального, часто заменяют гауссовским процессом. Одномерная плотность вероятности нормального процесса

.

Рассмотрим стационарный процесс, в котором под и понимают постоянную составляющую и среднюю мощность флукуации.

Рис. 3.2 Реализация случайной функции с нормальной плотностью распределения вероятности

Графики плотности вероятности при нормальном законе распределения для некоторых значений показаны на рис. 3.1. С помощью функции можно найти относительное время пребывания сигнала в определённом интервале уравнений, отношение максимальных значений к среднеквадратичному и ряд других важных для практики параметров случайного сигнала. Поясним это на примере реализации, показанной на рис. 3.2.

Считаем процесс стационарным и эргодическим. Математическое ожидание . Ширина спектра мощности - от нулевой до некоторой граничной частоты. Вероятность пребывания значения в интервале от до определяется как

где функция Лапласа - интеграл вероятностей. В математических справочниках приводятся таблицы значений этой функции.

Узкополосные случайные процессы

Рис. 4.1 Частотно-временная спектральная плотность
а - узкополосный процесс с центральной частотой; б - косинусоидальная составляющая комплексной огибающей

Иметь дело со случайными процессами, колебания которых происходят в относительно узкой полосе частот. Такие случайные процессы называют узкополосными. Каждая реализация подобного процесса имеет вид квазигармонического колебания

,

все параметры которого - огибающая , фаза и частота - являются случайными, медленно меняющимися функциями времени. При представлении шума в форме предполагается, что огибающая отвечает соотношению

,
где - функция, сопряженная по Гильберту исходной функции , а выбрана таким образом, что фаза не содержит слагаемого, линейно зависящего от .

Дальнейшее рассмотрение основано на допущении, что спектральная плотность шума сконцентрирована в узкой по сравнению с величиной полос, причем функция в указанной полосе симметрична относительно точки (рис. 4.1, а).

Рассмотрим стационарный случайный эргодический процесс с нормальным законом распределения плотности вероятности. Необходимо подчеркнуть, что указанное распределение характеризует физическое колебание , т.е. мгновенное значение колебания (в любой момент времени). Параметры колебания: , и - обладают законами распределения плотности вероятности, отличающимися от нормального.