Виды алгебраических структур

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 22:52, 11 мая 2016.
TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение - Алгебраическая система»
Алгебраическая система или алгебраическая структура — множество (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. Понятие алгебраической системы родственно понятию универсальной алгебры.

n-арная операция на G — это отображение прямого произведения n экземпляров множества в само множество . По определению, 0-арная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции.

Алгебраические структуры с одной бинарной операцией

  • Группоид — множество с одной бинарной операцией , обычно называемой умножением.
  • Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: .
  • Группа — моноид, в котором для каждого элемента группы можно определить обратный элемент , такой, что .

Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями

  • Кольцо — структура с двумя бинарными операциями: абелева группа по сложению, моноид по умножению, выполняется закон дистрибутивности: .
  • Кольцо c единицей — кольцо, в котором есть не обратимый по умножению элемент (например, - единичный класс).
  • Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
  • Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
  • Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.

Литература

Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М .: Высш. школа, 1979. — 559 с, ил.