Аналитическая теория чисел

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 07:43, 10 июня 2016.

Аналитическая теория чисел - раздел теории чисел, в котором свойства целых чисел исследуются методами математического анализа.

Гамма-функция

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Гамма-функция»

Гамма-функцией Эйлера называется выражение вида

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
Доказательство


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Утверждение
При
Доказательство

Докажем по индукции.


Пусть . Тогда


Метод производящих функций

Метод производящих функций — применяемый в комбинаторике метод основанный на сходимости рядов. Производящие функции дают возможность просто описывать многие сложные последовательности в комбинаторике, а иногда помогают найти для них явные формулы.

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение»

Производящей функцией называется формальный степенной ряд

Гипотеза Римана

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение»

Дзета-функция Римана - функция комплексного переменного , при определяемая с помощью ряда Дирихле:

При ряд абсолютно сходится, при имеет гармонический ряд (расходится).

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
При не имеет нулей, а при всех остальных расходится.
Доказательство


- функция не имеет нулей в этом диапазоне.


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
Доказательство

при .
Таким образом,


Тождество Эйлера

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
, по всем простым
Доказательство

, где - остаточный член. Остаточный член содержит в себе все произведения всех простых чисел по одному разу в любых комбинациях:
, где - максимально простой, не превосходящий .
, где , - остаток абсолютно сходящегося ряда.
Мажорирование сходящимся рядом: .


Гипотеза

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Критическая прямая»
TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Гипотеза»

Все нетривиальные нули дзета-функции лежат на критической прямой

Ссылки

Статья на википедии