Z-преобразование сигналов

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 23:39, 17 ноября 2016.


Z-преобразование (англ. Z-transform) – один из самых распространенных способов анализа дискретных цифровых последовательностей.

Оно играет для дискретных сигналов и систем такую же роль, как для аналоговых сигналов – преобразование Лапласа. Большое значение Z-преобразование имеет для расчетов рекурсивных цифровых систем обработки сигналов (фильтров с бесконечной импульсной характеристикой – БИХ-фильтров).

Содержание

Z-преобразование сигналов

Определение Z-преобразования

Z- преобразование является обобщением дискретного преобразования Фурье.

Впервые z-преобразование введено в употребление П.Лапласом в 1779 году и повторно "открыто" В.Гуревичем в 1947 году с изменением символики на . В настоящее время в технической литературе имеют место оба вида символики. На практическое использование преобразования это не влияет, т.к. смена знака только зеркально изменяет нумерацию членов полинома (относительно ), числовое пространство которых в общем случае от до .

Произвольной непрерывной функции , равномерно дискретизированной и отображенной отсчетами , равно как и непосредственно дискретной функции, можно поставить в однозначное соответствие степенной полином по z, последовательными коэффициентами которого являются значения :

где произвольная комплексная переменная.

В показательной форме где .

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 1


В каузальных системах значения импульсного отклика систем существуют при и уравнение действует в одностороннем варианте:

В общем случае, z-преобразование – это степенной ряд с бесконечным количеством членов, поэтому он может сходиться не для всего пространства значений z. Область z, в которой z-преобразование сходится и значения конечны, называют областью сходимости.

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 2

Последовательность (сигнал) конечной длины, непричинная:

Очевидно, что при . Область сходимости – все значения z, за исключением


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 3

Последовательность конечной длины, причинная (как импульсный отклик каузальной системы):

при Область сходимости – все значения z, за исключением


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 4

Последовательность конечной длины, двусторонняя (как импульсный отклик симметричного фильтра):

при и Область сходимости не включает точки и


TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 5

Последовательность бесконечной длины, причинная (как импульсный отклик рекурсивного интегрирующего фильтра):

при при

Ясно, что ряд может удовлетворять условию сходимости только при


Значения z, для которых , называются полюсами, а для которых , называются нулями функции Как видно из примеров, для последовательностей конечной длины z-преобразование сходится везде, кроме точки для имеющих правостороннюю часть () и точки для имеющих левостороннюю часть (), в любых их комбинациях. Для бесконечных причинных последовательностей преобразование сходится везде внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.

По заданному или полученному в результате анализа какой-либо системы z-полиному однозначно восстанавливается соответствующая этому полиному функция путем идентификации коэффициентов степеней при с k-отсчетами функции.

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 6


Смысл величины z в z-полиноме заключается в том, что она является оператором единичной задержки по координатам функции. Умножение z-образа сигнала на величину означает задержку сигнала (сдвиг вправо по временной оси) на n интервалов: Чтобы убедиться в этом, достаточно в приведенном выше примере выполнить умножение многочлена , например на , выполнить обратное преобразование и получить новый сигнал:

Z-образы с положительными степенями z соответствуют каузальным (физически реализуемым) процессам и системам, которые работают в реальном масштабе времени с текущими и "прошлыми" значениями сигналов. При обработке информации на ЭВМ каузальность сигналов не относится к числу ограничений и возможно использование отрицательных степеней z, соответствующих отсчетам сигналов "вперед". Последнее применяется, например, при синтезе симметричных операторов фильтров, что позволяет производить обработку информации без внесения в сигнал фазовых искажений. При использовании символики "прошлым" значениям соответствуют значения с отрицательными степенями z, "будущим" – с положительными.

Основное достоинство z-преобразований заключается в простоте математических операций со степенными полиномами, что имеет немаловажное значение при расчетах цифровых фильтров и спектральном анализе.

Связь с преобразованиями Фурье и Лапласа

Дискретный сигнал можно записать в виде суммы весовых импульсов Кронекера:

Тогда спектр сигнала по теореме запаздывания:

После замены получится:

Отсюда следует, что дискретное преобразование Фурье является частным случаем z-преобразования при

Аналогичной подстановкой может осуществляться переход к дискретному преобразованию Лапласа. В общем виде:

Обратное преобразование:

При отрицательной символике z связь между представлениями осуществляется соответственно подстановками и

При z-преобразование представляет собой особую форму представления дискретных сигналов, при которой на полином можно ссылаться как на временную функцию (по значениям коэффициентов ), так и на функцию частотного спектра сигнала (по значениям аргумента ).

Отображение Z-преобразования

Отображение z-преобразования выполняют на комплексной z-плоскости с и по осям координат (рис. 1). В частности, спектральной оси частот на z-плоскости соответствует окружность радиуса:

Рис. 1. Комплексная z-плоскость

Подстановка значения какой-либо частоты в отображается точкой на окружности. Частоте соответствует точка и на правой стороне оси абсцисс. При повышении частоты точка смещается по окружности против часовой стрелки, и занимает крайнее левое положение на частоте Найквиста ( и ). Отрицательные частоты спектра отображаются аналогично по часовой стрелке на нижней полуокружности. Точки совпадают, а при дальнейшем повышении или понижении частоты значения начинают повторяться в полном соответствии с периодичностью спектра дискретной функции. Проход по полной окружности соответствует одному периоду спектра, а любая гармоника спектра сигнала задается на плоскости двумя точками, симметричными относительно оси абсцисс.

Отсюда следует также, что область сходимости устойчивых каузальных систем на z-плоскости представляет собой круг единичного радиуса.

Сигналы и системы непрерывного времени очень часто описываются с помощью преобразования Лапласа. Если где то

Следовательно, где — частота дискретизации, при этом ось отображается на z-плоскости единичной окружностью, правая сторона s-плоскости отображается внутрь окружности, а левая сторона – на внешнюю сторону окружности. При использовании символики отображение сторон s-плоскости на z-плоскости меняется местами.

Пространство Z-полиномов

Область сходимости

Полином называют z-образом или z-изображением функции . Преобразование имеет смысл для области тех значений z, в которой ряд сходится, т.е. сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую полюсов и особых точек:

В общем случае, множества z, для которых полиномы сходится, образуют на z-плоскости определенные области, показанные на рис. 2.

Рис. 2. Области сходимости z-полиномов

Из приведенной выше связи z-преобразования с преобразованием Фурье следует, что если функция имеет спектральное представление то единичная окружность обязательно должна входить в область сходимости полинома . И наоборот, если область сходимости полинома включает в себя единичную окружность, то дискретное преобразование Фурье функции – прообраза полинома должно существовать, а в противном случае – нет. Последнее следует из того, что z-преобразование, являясь более общим случаем преобразования дискретных функций, может существовать и для функций, для которых не существует преобразования Фурье. Примером этого может служить функция единичного скачка:

Для преобразования Фурье функции не выполняется условие абсолютной суммируемости (энергия функции бесконечна). Но для z-преобразования имеем:

при

Далее будут приведены примеры z-преобразования часто встречающихся на практике дискретных сигналов.

Импульсы Кронекера

В общем случае, для импульса Кронекера в произвольной точке числовой оси:

при при

Для импульса Кронекера в нулевой точке соответственно . Ряд сходится на всей z-плоскости.

Функция Хевисайда

Функция Хевисайда (единичный скачок, причинная последовательность бесконечной длины, например, импульсный отклик рекурсивного интегрирующего фильтра).

при при

Ряд сходится при при этом его сумма равна:

Z-преобразование действительно везде внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.

При использовании символики :

На границе области аналитичности функция имеет один простой полюс при .

Экспоненциальная функция

при при

Как и в предыдущем случае, ряд сходится при при этом:

При использовании символики :

Комплексная экспонента

при при

Аналитическая форма Z-образов

Аналитическая форма z-образов существует для z-преобразований, если возможно свертывание степенного ряда в аналитическое выражение. Выше, в примерах z-преобразования, уже приводилось приведение к аналитической форме z-образов функции Хевисайда и экспоненциальной функции. Ниже в таблице приводится z-трансформация ряда распространенных функций, которые могут использоваться для прямого и обратного преобразования.

Таблица 1.
Функция -образ -образ

В таблице приведены преобразования как для символики так и для символики (по Гуревичу), которая иногда бывает удобней в некоторых математических операциях. Переход из одной символики в другую достаточно прост и выполняется заменой в одной символике на в другой.

Свойства Z-преобразования

Важнейшим свойством z-преобразования является свойство его единственности: любая последовательность однозначно определяется z-изображением в области его сходимости, и наоборот, однозначно восстанавливается по z-изображению. Без углубления в теорию, можно констатировать, что все свойства ДПФ действительны и для z-преобразования.

Линейность

Если то . Соответственно, z-преобразование допустимо только для анализа линейных систем и сигналов, удовлетворяющих принципу суперпозиции.

Задержка

Задержка на тактов: .

Соответственно, умножение z-образа сигнала на множитель вызывает сдвиг сигнала на тактов дискретизации.

Преобразование свертки

При выполнении нерекурсивной цифровой фильтрации односторонними операторами фильтров:

Таким образом, свертка дискретных функций отображается произведением z-образов этих функций. Аналогично, для z-преобразования могут быть доказаны все известные теоремы о свойствах z-образов, что вполне естественно, т.к. при эти свойства полностью эквивалентны свойствам спектров функций.

Разложение сигналов на блоки последовательной свертки

Z-преобразование позволяет производить разложение сигналов и функций, например, передаточных функций фильтров, на короткие составляющие операции свертки, для чего достаточно приравнять z-полином к нулю, найти его корни и переписать полином в виде произведения двучленов:

где последний отсчет сигнала (коэффициент при старшей степени z).

Но произведению в z-области соответствует свертка в координатной области, и при обратном преобразовании двучлены превращаются в двухточечные диполи а сигнал длиной представляется сверткой диполей:

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 7

Корни полинома

Корни полинома представлены на z-плоскости на рис. 1. Корни полинома комплексные и четыре двучлена в координатной области также будут комплексными. Но они являются сопряженными, и для получения вещественных функций следует перемножить сопряженные двучлены и получить биквадратные блоки:

При переходе в координатную область:

Таким образом, исходный сигнал разложен на свертку двух трехчленных сигналов (функций).


Дифференцирование

Если то z-образ функции можно найти, продифференцировав что бывает полезно для вычисления обратного z-преобразования функций с полюсами высокого порядка:

Обратное Z-преобразование

Методы преобразования

Обратное z-преобразование позволяет восстанавливать дискретную функцию по ее z-образу. Оно широко используется, например, при определении импульсных характеристик рекурсивных цифровых фильтров. В символической форме:

На практике в процессе расчетов обычно выражается через отношение двух многочленов от z:

Самые распространенные методы обратного преобразования из этой формы :

  • Преобразование интегрированием по контуру (метод вычетов).
  • Метод разложения на элементарные дроби.
  • Метод разложения в степенной ряд.

Метод разложения в степенной ряд наиболее прост и пригоден для выполнения на компьютерах, но он не дает решения в аналитической форме. При задании большого числа точек обратного преобразования требуется также следить за возможным нарастанием числовых ошибок вследствие рекурсии его алгоритма.

Два первых метода позволяют получать результаты в аналитическом виде, но требуют вычисления полюсов функции что может представлять трудности при высоком порядке функции. При высоких порядках полюсов потребуется также дифференцирование соответствующих порядков.

Преобразование интегрированием по контуру

Преобразование интегрированием по контуру относится к числу математически строгих методов. Оно выполняется интегрированием по произвольному замкнутому контуру , расположенному в области сходимости и окружающему все особые точки (нули и полюсы) z-образа. Интегрирование удобнее выполнять над полюсами, расположенными внутри контура, включающего центр системы координат, т.е. в символике . Тогда контурный интеграл обратного преобразования:

Согласно теореме Коши о вычетах, интеграл равен сумме вычетов () подынтегральной функции относительно всех полюсов этой функции, лежащих внутри контура интегрирования. Каждый вычет связан с определенным полюсом :

при
где
порядок полюса в точке .

Для простого полюса:

при
TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 8

Z-образ функции: .

.

Функция имеет простой полюс и полюс второго порядка .

.

.

Результат: .


Преобразование разложением на дроби

В этом методе z-образ раскладывается на рациональные простые дроби с последующим почленным обратным преобразованием с помощью таблицы. Наиболее просто это выполняется, если функция может быть разложена по степеням z в символике т.е. представлена в следующем виде:

Соответственно, в выражении отношение многочленов также должно быть в символике . Если полюсы первого порядка и то можно разложить на следующую сумму:

где коэффициенты элементарных дробей, которые являются вычетами функции .

Для вычисления коэффициентов производят умножение левой и правой сторон выражения на и полагают тогда в правой части за счет множителя обнуляются все члены суммы кроме члена с данного полюса, а в левой остается произведение что и позволяет вычислить значения :

Если в то значение равно нулю. Если функция в точке имеет полюс m-ного порядка, то коэффициент заменяется суммой коэффициентов:

при
TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 9

Повторим пример преобразования данным способом z-образа функции использованного в предыдущем примере. Функция имеет простой полюс и полюс второго порядка

Обратное преобразование каждой простой дроби выполним по таблице 1.

Результат: Результат аналогичен методу вычетов.


Если z-изображение имеет вид дробно-рациональной функции, то разложение на простые дроби с последующим применением таблицы соответствий обычно труда не представляет. Так, например:

По таблице соответствия:

Отсюда, с учетом линейности преобразования и свойства задержки:

При преобразовании функций со знаменателями более высоких порядков предварительно следует найти полюса функции. Например, для многочлена второго порядка с полюсами и :

в виде суммы дробей с неизвестными коэффициентами и :

При равенстве знаменателей в этих двух выражениях должны быть равны и числители:

а это обеспечивается равенством коэффициентов при одинаковых степенях . В результате получается следующая система уравнений:

При решении системы уравнений находят значения коэффициентов и подставляют коэффициенты в выраженное в виде суммы дробей, и по таблице соответствия переводят дроби во временные функции.

Метод степенных рядов

Выражение можно разложить непосредственно в степенной ряд путем деления в столбик, для чего числитель и знаменатель функции выражаются предварительно через нарастающий или уменьшающийся показатель степени z. Обратное z-преобразование степенного ряда очевидно.

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 10

Пример нарастающей степени z.

Степенной ряд 1.png

Обратное преобразование выполняется путем идентификации коэффициентов степеней при с k-отсчетами функции:

Пример уменьшающихся номеров степени z. (деление на числителя и знаменателя полинома)

Степенной ряд 2.png

Метод деления полинома можно выполнять рекурсивно:

Применение Z – преобразования

Описание дискретных систем

Описание дискретных систем обработки сигналов с помощью нулей и полюсов - наиболее широкая область использования z-преобразования. Степенной полином передаточной функции системы вида с нулями числителя и полюсами знаменателя всегда может быть представлен в виде произведения сомножителей:

где коэффициент передачи (усиления) входного сигнала.

Полюсы и нули могут быть действительными и комплексными, при этом для обеспечения действительных значений коэффициентов и в комплексные коэффициенты должны быть представлены комплексно сопряженными парами.

Геометрическая оценка АЧХ и ФЧХ системы

Информацию, содержащуюся в удобно отображать в виде положения нулей (кружками) и полюсов (крестиками) на z-плоскости. Диаграмма нулей и полюсов наглядно отображает свойства системы и ее устойчивость. Для устойчивых систем все полюсы должны находиться за пределами единичной окружности (внутри окружности при символике ) или совпадать с нулями на единичной окружности. На положение нулей ограничений не существует.

По известной диаграмме нулей и полюсов может быть выполнена геометрическая оценка частотной характеристики системы. При единичная окружность отображает частотную ось характеристики главного частотного диапазона от (при ) до (при ). Каждой точке может быть поставлен в соответствие вектор на i-нуль, модуль которого отображает расстояние от до i-нуля, а аргумент - фазовый угол из на i-нуль, а равно и вектор на j-полюс с соответствующим расстоянием и фазовым углом . При этом амплитудная и фазовая характеристики системы могут быть оценены по выражениям при перемещении точки по единичной окружности:

По нетрудно сделать заключение, что наибольшее влияние на изменение АЧХ по частоте оказывают нули и полюсы, расположенные ближе к единичной окружности. При расположении нуля непосредственно на окружности гармоника в этой точке полностью обнуляется. И, наоборот, при перемещении к полюсу, близкому к единичной окружности, происходит резкое нарастание коэффициента усиления системы.

Вычисление частотной характеристики с помощью БПФ

Так как частотная характеристика дискретной системы – это Фурье образ ее импульсной характеристики, то для систем, описанных в общей форме сначала производится разложение в степенной ряд над коэффициентами которого и выполняется БПФ. Гладкость (разрешение по частоте) будет определяться количеством коэффициентов степенного ряда и при необходимости может увеличиваться дополнением ряда нулями.

Альтернативный способ – вычисление БПФ непосредственно коэффициентов числителя и знаменателя выражения с последующим алгебраическим делением результатов БПФ. Количество коэффициентов и в обычно невелико и для получения достаточно гладких частотных характеристик их продлевают нулями до необходимого значения .

Анализ устойчивости систем

Анализ устойчивости систем выполняется для рекурсивных систем с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-систем). Такие системы описываются либо непосредственно в виде разностного уравнения, либо передаточной функцией в виде z-образа импульсной характеристики или разностного уравнения. Общее условие устойчивости импульсной характеристики системы:

Для рекурсивных систем начальный индекс суммирования равен нулю. Практически это означает, что любой ограниченный входной сигнал в устойчивой системе порождает ограниченный выходной сигнал.

В устойчивой системе все полюсы передаточной функции должны находиться за границами единичной окружности (внутри окружности при символике ). Система с полюсом на единичной окружности также считается неустойчивой (потенциально неустойчивой), даже если во входном сигнале нет гармоники с частотой, соответствующей положению данного полюса на окружности. Это определяется тем, что в соответствии с коэффициент усиления системы в точке полюса равен бесконечности и любой бесконечно малый сигнал на этой частоте даст бесконечно большой сигнал на выходе. Естественно, что для практических систем понятия бесконечности не существует и можно пытаться принять определенные меры для исключения таких критических частот. Так, например, в интегрирующих системах полюс находится на нулевой частоте, и из входного сигнала можно исключить постоянную составляющую, но при этом изменяется и характер интегрирования (интегрируются только динамические составляющие входного сигнала). Следует также учитывать, что во входных сигналах обычно всегда присутствует определенный статистический шум, наблюдаются скачки, присутствует шум квантования и т.п. эффекты с непрерывным частотным спектром, которые могут приводить к огромным ошибкам при обработке данных в потенциально неустойчивых системах. Практически осуществимый способ повышения устойчивсти систем – компенсировать полюсы на окружности нулями в этих же точках, но это может приводить к существенному изменению частотной характеристики системы.

Оценку устойчивости рекурсивной системы можно проводить и по виду ее импульсной характеристики (вычислением обратного z-преобразования или подачей импульса Кронекера на вход (алгоритм) системы). Если значения коэффициентов увеличиваются по мере роста номеров – система неустойчива. Если они очень медленно уменьшаются (медленно стремятся к нулю) – система устойчива минимально, имеет большое время установления рабочего режима, при определенных условиях может давать большие погрешности в обрабатываемых данных.

Связь разностных уравнений и передаточных функций

Стандартная запись разностного уравнения системы (связи входного воздействия и выходного сигнала при известных постоянных параметрах нерекурсивной и рекурсивной трансформации сигналов):

От разностного уравнения с использованием свойства задержки z-преобразования

нетрудно перейти к z-образу разностного уравнения системы:

Отсюда, передаточная функция системы:

И, наоборот, при приведении выражения к виду (нормировкой на ) можно без дальнейших преобразований переходить к выражению .

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 11

Передаточная функция: . Определить алгоритм вычислений.

Результат:


См. также

Литература

  1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. – Москва: Высшая школа, 1988. – 448 с.
  2. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. – Москва: Мир, 1989. – 540 с.
  3. Канасевич Э.Р. Анализ временных последовательностей в геофизике. – Москва: Недра, 1985. – 300 с.
  4. Рапопорт М.Б. Вычислительная техника в полевой геофизике: Учебник для вузов. – Москва: Недра, 1993. – 350 с.
  5. Новиков Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов: Учебное пособие. – СПб: ИАнП РАН, 1999.
  6. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов. Практический подход. – Москва: Вильямс, 2004. – 992 с.