Теорема Котельникова

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 16:23, 14 ноября 2016.

Теорема Котельникова — фундаментальное утверждение в области цифровой обработки сигналов, связывает непрерывные и дискретные сигналы и гласит, что «любую функцию , спектр которой ограничен 0 и , можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через секунд».

Дискретное представление сигналов с финитным спектром

При проектировании процесса передачи сигналов в большинстве КПС рассматриваются многомерные сигналы , подвергнутые дискретизации.

Как правило, функции, описывающие такие сигналы, не являются финитными. Однако для апериодических импульсных сигналов с большой скважностью такое предположение, вообще говоря, неверно. Тем не менее, в инженерных моделях с наперед заданной точностью можно принять, что высокочастотный поддиапазон спектра такого сигнала имеет амплитуду, близкую нулю. Такие сигналы, далее называемые сигналами с финитным спектром, можно точно восстановить по некоторым их выборочным значениям, взятым в дискретной совокупности точек на отрезке (одномерный случай), на плоскости (двумерный сигнал), и т.д.

Для двумерного случая это означает, что если задать внутри финитной области вполне определенное число точек, аппликаты которых изображают дискретные значения сигнала с финитным спектром, то непрерывная поверхность, представляющая собой график функции может быть проведена единственным образом.

Теорема Котельникова для двумерного случая

Теорема Котельникова утверждает, что двумерный сигнал с финитным спектром можно восстановить без потери.

Доказательство теоремы проведем для частного случая, когда спектр отличен от нуля в прямоугольной области . В этом случае сигнал можно с любой степенью точности представить в виде дискретной суммы значений (отсчетов), взятых через конечные промежутки , . Эту теорему называют также теоремой о дискретном представлении, или теоремой отсчетов, или теоремой выборки.

Пусть задан финитный спектр (рис. 1):

Рис. 1. Геометрическая модель двумерного пространственно-частотного спектра (ПЧС) финитной функции

Далее введем в рассмотрение выборочную функцию

фурье-образ которой равен двумерной бесконечной периодической сумме (рис. 2) дискретно смещенных финитных спектров исходного сигнала .

Рис. 2. Геометрическая модель двумерного ПЧС выборочной функции

Таким образом,

Тогда исходный финитный спектр , показанный на рис. 1 можно представить в виде произведения фурье-образа выборочной функции и двумерного прямоугольного импульса

В результате обратного преобразования Фурье из с учетом найдем

.

Откуда после преобразований, основанных на свойствах:

  • преобразование Фурье (как прямое, так и обратное) от свертки двух функций соответствует произведению их Фурье-образов;
  • преобразование Фурье от гребенчатой функции – гребенчатая функция;
  • фильтрующее свойство дельта-функции,

можно записать:

Переставляя местами двойной интеграл и двойную сумму, с учетом фильтрующего свойства -функции получим окончательное выражение для ряда Котельникова

где ,
.

Выражение представляет сигнал с финитным спектром в виде бесконечной двойной суммы -образных базисных сигналов. Иначе говоря, для восстановления сигнала необходимо вычислить бесконечную двойную сумму в виде линейной комбинации сигналов с амплитудой из совокупности выборочных значений. Восстановление сигналов осуществляется в результате последовательного сдвига функций в точке . Базисный сигнал называют интерполяционной функцией, или функцией отсчетов. График ряда Котельникова для одномерного сигнала приведен на рис. 3.

Рис. 3. Двумерная геометрическая модель, идентифицирующая одномерный восстановленный сигнал в виде суммы -образных базисных типовых сигналов

Для одномерного временного сигнала с финитным спектром, отличным от нуля на интервале , ряд Котельникова имеет вид

При этом для восстановления сигнала в каждой точке выборки строится интерполяционная функция с амплитудой .

Строго говоря, сигналов с финитным спектром не существует. Однако для большинства реальных сигналов спектральная плотность на высоких частотах ничтожно мала. Поэтому большая часть энергии сигнала локализована в ограниченной частотной области, а сам сигнал хорошо аппроксимируется функцией с финитным спектром. Погрешность, возникающая при отбрасывании высших частотных гармоник, пренебрежимо мала.

Свойства выборочной функции

Функция называемая выборочной функцией, представляет собой двумерную - решётку из функций с амплитудой . Рассмотрим её основные свойства:

  1. Функция имеет размерность исходного сигнала .
  2. Объем выборки пропорционален сумме выборочных значений
  3. Спектр выборочной функции равен бесконечной двумерной сумме дискретно смещенных финитных спектров исходного сигнала и совпадает со вспомогательной функцией на рис. 2, так что
    .
  4. Свёртка с интерполяционной функцией восстанавливает исходный сигнал с помощью ряда Котельникова , который можно записать в виде .

На практике часто используют выборочную функцию , отличающуюся от постоянным коэффициентом. Ее свойства совпадают со свойствами функции .

Переналожение спектров

Пусть выборка осуществляется через произвольные промежутки , т.е.  ; , т.е. . В этом случае вспомогательная функция имеет вид

<center>

Подставляя ее в , в результате обратного преобразования Фурье получим выражение для обобщенного ряда Котельникова

которое при , переходит в ряд Котельникова .

Если теперь интервалы выборки , т.е.  ; , т.е. , то для выборочной функции имеем

В свою очередь для спектра выборочной функции по аналогии с

На рис. 4 (а,б) приведены одномерные спектры и .

Рис. 4. Геометрическая модель двумерного одномерных пространственно-частотных спектров (ПЧС), идентифицирующая их переналожение: а - ПЧС входного сигнала; б - ПЧС выборочной функции при

Так как

,

то использование низкочастотного ПЧФ с передаточной функцией при передаче по каналу связи в виде не позволяет выделить спектр исходного сигнала в чистом виде. В отфильтрованном спектре будут присутствовать частоты от соседних налагающихся спектров (рис. 4б). В результате переналожения спектров возникают так называемые шумы дискретизации.

Теорема Котельникова в частотной области

Пусть оптический сигнал отличен от нуля в прямоугольной области

Тогда спектр финитного сигнала полностью определяется совокупностью отсчетов, взятых через одинаковые интервалы , , так что по аналогии с запишем ряд Котельникова в частотной области в виде

Для ЧВС финитного импульса, отличного от нуля на временном интервале , получим