Свертка

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 00:19, 20 апреля 2017.

Свертка (взаимная свертка) – интегральная операция получения новой функции по двум исходным.

где исходные функции;
переменные интегрирования;
аргументы взаимной свертки, характеризующие некоторый сдвиг.

Геометрический смысл

Функция получается из центрально-симметричной функции в результате сдвига на единиц вдоль оси и на единиц вдоль оси , а также отражения относительно начала координат.

Операция взаимной свертки имеет геометрический смысл. Значение взаимной сверки в точке равно объему, ограниченному поверхностью, которая получается в результате перемножения функций и .

В одномерном случае взаимная свёртка имеет вид:

Вычисленное по данной формуле значение для будет равно площади под графиком функции .

Автосвертка

Автосверткой называют взаимную свертку двух одинаковых функций:

Свойства свертки

Взаимная свертка обладает свойством коммутативности

и ассоциативности


Также в результате замены переменных взаимную свертку можно представить в симметризованном виде. Пусть , тогда

Свертка финитных функций

Зададим финитные функции и , отличные от нуля только внутри некоторых прямоугольников:

Тогда взаимная свертка этих функций также является финитной функцией с интервалами финитности:

Дискретная свертка

Дискретный аналог свертки применяется для двух бесконечномерных векторов и и имеет вид:

Дискретную свертку можно представить как сложенную (свернутую) пополам бумажную лену с нанесёнными на ней числами , в результате чего числа и наложатся друг на друга и определят соответствующие сомножители в выражении для дискретной свертки. Вероятно, именно это легко в основу термина "свертка".

Свертка и преобразование Фурье

Преобразование Фурье от свертки

Фурье-образ взаимной свертки равен произведению Фурье-образов свертываемых функций.

Исходя из выражения для взаимной свертки, преобразование Фурье от автосвертки равно квадрату Фурье-образа исходной функции.

Преобразование Фурье от произведения двух функций

Пусть . Для нахождения Фурье-образа представим выражение в виде обратного преобразования Фурье, откуда

Меняя порядок интегрирования, получим:

Таким образом, Фурье-образ произведения двух функций равен взаимной свертке их Фурье-образов.

См. также