Ряд Фурье

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 00:13, 18 мая 2017.


Ряд Фурье — представление, к которому может быть приведена произвольная периодическая функция.

Обычно, говоря о рядах Фурье, имеют в виду его тригонометрическую или показательную форму.

Вещественный ряд Фурье

В ряд Фурье может быть разложена любая периодическая вещественная функция вида , где — период функции, если она удовлетворяет условиям Дирихле (, является кусочно-непрерывной и имеет конечное число экстремальных точек на протяжении периода). В линейных системах эти условия для сигналов выполняются автоматически. Наиболее распространённым в исследовании сигналов является тригонометрический ряд Фурье.

где постоянная составляющая функции (среднее значение функции за период);
, , отдельные слагаемые гармоник с амплитудами и частотами , кратными основной частоте и образующими арифметическую прогрессию, причем
  • ,
  • ,
  • ;
фаза -ой гармоники, причем
  • ,
  • .

Таким образом, дискретные спектры можно разделить на дискретные вещественные пространственно-частотные спектры (ПЧС) и дискретные вещественные частотно-временные спектры (ЧВС).

В случае ПЧС говорят об амплитудах и несмещенных по фазе косинусоидальных и синусоидальных пространственных гармоник или спектре амплитуд и фаз смещенных по фазе косинусоидальных пространственных гармоник.

При речь идёт о ЧВС и амплитудах и несмещенных по фазе косинусоидальных и синусоидальных временных гармоник или спектре амплитуд и фаз смещенных по фазе косинусоидальных временных гармоник.

Основная пространственная частота показывает, сколько пространственных периодов укладывается в единице длины. Измеряется в .

Основная временная частота определяет число колебаний в единицу времени и измеряется в (Гц).

Пространственно-частотное представление входного двумерного сигнала в виде ряда смещенных по фазе косинусоидальных гармоник имеет физический смысл.

В самом деле, после нормировки на получим выражение, описывающее коэффициент пропускания некоторого транспаранта в виде:

где ;
.

Выражение показывает, что сигнал может быть сформирован на выходе транспаранта, который освещается плоской нормально падающей волной излучения с амплитудой . Это выражение задает выходной сигнал в виде бесконечной суммы независимых аддитивных парциальных транспарантов с косинусоидальными коэффициентами пропускания . При этом определяет постоянное пропускание однородного транспаранта, а фаза характеризует смещение к-ой пространственной частотной гармоники относительно начала координат.

Аналогичным образом выражение можно рассматривать как выходной сигнал эквивалентной дискретной совокупности, представляющий собой две бесконечные дискретные суммы сигналов на выходе независимых аддитивных парциальных транспарантов (фильтров) с косинусоидальными и синусоидальными коэффициентами пропускания, соответствующими несмещенным по фазе пространственным гармоникам:

где ;
;
.

Из физического смысла представлений тригонометрических рядов Фурье и следует, что входящие в них пространственные частоты , так как они соответствуют реальным транспарантам. Заметим, что отрицательные временные частоты тем более не имеют физического смысла.

Тригонометрический ряд обычно используют для разложения периодических оптических, радио- и электрических сигналов, описываемых четными или нечетными функциями.

Если функция , т. е. четная, то она представляется в виде ряда из несмещенных косинусоидальных гармоник </center>, где .

Для нечетной функции получим разложение по несмещенным синусоидальным гармоникам </center>, где .

Комплексный ряд Фурье

При анализе оптических, радио- и электрических сигналов на практике удобно пользоваться рядом Фурье, заданным не в тригонометрической, а в комплексной экспоненциальной форме. Переход от тригонометрических рядов и к комплексному осуществляется с помощью формулы Эйлера:

Они показывают, что при освещении косинусоидального или синусоидального транспаранта (дифракционной решетки) плоской нормально падающей волной с единичной амплитудой на его выходе формируются (дифрагируют) две плоские волны, распространяющиеся в плоскости xOz симметрично относительно оптической оси Oz (см. рис. 2.1).

Рис. 2.1. Двумерная геометрическая модель пространственно-частотной структуры плоской волны
Рис. 2.2. Двумерная геометрическая модель фазовой модели поведения плоской волны

Первая волна распространяется под углом к оси x, а вторая — под углом к той же оси. Минус перед второй волной в показывает, что волна , дифрагировавшая на синусоидальной дифракционной решетке, сдвинута по фазе на (см. рис. 2.2).

Таким образом, формулы Эйлера позволяют говорить о плоских волнах и , дифрагировавших на транспаранте вверх или вниз относительно оптической оси в направлении, задаваемом положительной или отрицательной пространственными частотами соответственно. Нулевая пространственная частота характеризует плоскую волну, которая формируется транспарантом с коэффициентом пропускания и распространяется вдоль оптической оси. Очевидно, что отрицательные временные частоты не имеют физического смысла.

Общее выражение для комплексного ряда Фурье имеет вид:

где
или .

Ряд задает разложение сигнала на выходе транспаранта в виде бесконечной дискретной суммы дифрагировавших вниз и вверх плоских волн. В связи с этим говорят о дискретном комплексном спектре , который графически представляется в виде модуля спектра комплексных амплитуд и спектра фаз . Эти спектры определены для всех пространственных частот (положительных, отрицательных и нулевой). При выделяют дискретный комплексный спектр , для которого, очевидно, отрицательные временные частоты физического смысла не имеют.

Обычно в случае вещественного сигнала значительно легче вычисляются коэффициенты , чем , поэтому на практике сначала ищется комплексное разложение , а от него переходят к тригонометрическому ряду по формуле

При моделировании дифракции положительные и отрицательные пространственные частоты реализуются в виде положительных и отрицательных пространственных координат. Если в качестве входного сигнала рассматривается функция времени , то на практике для выделения временной гармоники в ЭС применяется колебательный контур, настроенный на соответствующую частоту .

Многомерные ряды Фурье

Для многомерных сигналов также существует разложение в ряд Фурье как функций от нескольких аргументов. Для упрощения математических выкладок многомерные ряды Фурье записываются в комплексной форме.

Двумерный комплексный ряд Фурье периодической функции имеет вид:

где ;
и — пространственные периоды двумерной функции по осям x и y соответственно.

Зависимость определяет двумерный дискретный комплексный ПЧС.

Аналогично для трехмерного комплексного ряда Фурье функции получим:

где ;
– временной период.

Очевидно, что отрицательные временные частоты в многомерных дискретных комплексных пространственно-временных частотных спектрах физического смысла также не имеют.