Примитивные и импримитивные группы подстановок

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 10:18, 5 мая 2016.
TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение 1»

Подмножество , где называется блоком импримитивности группы действующей на множестве , если для

или
  • Множество и произвольная точка всегда являются блоками импримитивности и называются тривиальными блоками.
  • Если и удовлетворяет определению 4.1, то называют нетривиальным блоком.

Если - нетривиальный блок, то , где - транзитивная группа, называют полной системой импримитивности.

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение 2»
Транзитивная группа называется импримитивной, если у нее существует нетривиальный блок; в противном случае - примитивная группа.

Пример

TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 1

1)

Цель: найти нетривиальные блоки.

Рассмотрим блок: (цикл)

а)

- полная система импримитивности (минимальная), значит, нетривиальный блок.

б) полная система импримитивности (минимальная).


Минимальная система

TemplateDifinitionIcon.svg Определение «Определение 3»
Система импримитивности группы называется минимальной, если - наименьшее среди всех имеющихся систем.
TemplateExampleIcon.svg Пример Пример 1 (продолжение)

2)

Значит, - импримитивна (т.е. существуют нетривиаильные блоки импримитивности).


TemplateExampleIcon.svg Пример Упражнение 1

  1. Описать все блоки, содержащие 1, и соответствующие системы импримитивности.
  2. Описать все подгруппы группы , содержащие стабилизатор точки 1


Сопряжение группы

Обозначим: сопряжение группы подстановкой

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Утверждение 1

Пусть даны два блока импримитивности группы возьмем подстановку произвольную подстановку , тогда выполняются следующие свойства:

  1. Если блоки импримитивности, то блок импримитивности группы
  2. блок сопряженной группы в частности, все блоки импримитивности являются равномощными.
Доказательство

1) Пусть подстановка . Предположим, что не является блоком импримитивности:

Сгруппируем :

, тогда из множественных соображений:

Т.к. - блоки импримитивности, то имеет место равенство:

противоречие с предположением .

Т.о., где - блок импримитивности.

2) Пусть Возьмем

Пусть (т.е. не совпадает сам с собой).

По теоретико-множественному соотношению:

блок импримитивности группы

- блок импримитивности группы

Вывод: достаточно исследовать одну группу и не рассматривать ее сопряжения.


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Утверждение 2

Пусть - транзитивная группа, а - неединичный (нетривиальный) нормальный делитель:

Тогда имеет место следующее свойство:

импримитивна, и задает полную систему импримитивности группы

Доказательство

Пусть подстановка Тогда орбита если - транзитивна, то таким свойством обладает и

Пояснение:

Рассмотрим стабилизатор точки

а т.к. - транзитивна, то при в силу сопряженности и транзитивности группы

Т.к. то ( - нормальная коммутирует относительно

- две орбиты группы , причем они либо совпадают, либо не пересекаются.

Имеем, что блок импримитивности группы интранзитивная (иначе не было бы орбит) неединичная группа с нетривиальными орбитами. Тогда нетривиальный блок импримитивности группы импримитивная группа.

Если возьмем 2 произвольные точки , то т.к. транизитвна, то существует , что:

Т.к. , то: .

Т.к. произвольные, то орбиты нормальной группы полная система импримитивности группы (т.е. блоки получились, как орбиты).


TemplateLemmaIcon.svg Лемма «Следствие 1»
Пусть - примитивна. Тогда ее нормальный неединичный делитель транизитивен, т.е. (иначе группа была бы импримитивна).


Критерий примитивности группы

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Критерий примитивности группы

Пусть группа транзитивна, и точка . Тогда группа примитивна тогда и только тогда, когда максимальная подгруппа группы

Доказательство

1) Необходимость:

Пусть примитивна, и существует подгруппа такая, что Предположим, что не является максимальной подгруппой, и проведем доказательство "от противного".

Докажем, что блок группы т.е. получим противоречие с тем, что она - примитивна.

существует хотя бы один элемент, не стабилизирующий точку

Если то для некоторых

Тогда выполняется свойство: (по условию).

Имеем, что , кроме того, если:

(т.к. ) из блок группы , следовательно, получаем противоречие с тем, что примитивна, поэтому такой группы не существует.

Вывод: - максимальная подгруппа группы

2) Достаточность:

Пусть импримитивна, ее нетривиальный блок. Покажем, что не максимальная подгруппа группы

Т.к. транзитивна, то можем зафиксировать любую точку

Рассмотрим множество всех подстановок, стабилизирующих блок в целом:

Очевидно, что . Надо доказать, что или

Т.к. и группа транзитивна, то

существуют две различные точки , так что в силу транзитивности существует

По условию блок импримитивности, следовательно выполняется равенство

Т.о. если - импримитивна, то - не максимальная подгруппа.


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Следствие 2

Транзитивная группа простой степени является всегда примитивной.

Доказательство

По лемме Бернсайда имеем:

т.к. транизитивна, то

Следовательно, Пусть (т.е. существует подгруппа группы )

Тогда:

, аналогично

максимальная подгруппа группы По доказанному выше критерию группа - примитивна.


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Следствие 3

Регулярная группа примитивна тогда и только тогда, когда она простого порядка.

Доказательство
- регулярна тогда и только тогда, когда Тогда примитивность равнозначна отсутствию собственных подгрупп простое число.


TemplateTheoremIcon.svg Теорема Утверждение 3

Dgdm pr imp gr.png

Пусть - полная система импримитивности группы Тогда гомоморфизм задается следующим образом:

(т.е. переводит блоки, а не точки).
Доказательство
Без доказательства.


TemplateExampleIcon.svg Пример Упражнение 2

1) Описать все полные системы блоков циклической группы, порожденной подстановкой:

2) Выяснить, при каком условии, т.е. при какой транспозиции группа - примитивна.[1]

3) нетривиальный блок группы

Показать, что орбит [2]

4) Пусть нетривиальный блок Если действует на множестве импримитивно, и его блок, то блок группы , в частности, если минимальный блок группы то действует примитивно на


Примечания

  1. Для доказательства воспользоваться критерием примитивности.
  2. Данное свойство используется для построения блоков импримитивности.