Преобразование стационарных случайных сигналов линейными и нелинейными системами

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 22:44, 17 ноября 2016.

Преобразование случайного сигнала линейной системой

Пусть на входе линейной инвариантной системы задана однородная случайная функция ,которая характеризуется корреляционной функцией или спектральной плотностью . Сигнал на выходе линейной системы также будет случайны,т.е. будет описываться случайной функцией

Вычислим математическое ожидание и корреляционную функцию

Корреляционный метод расчета

Рассмотрим сначала одномерную случайную функцию, т.е. стационарный случайный процесс . Если известен импульсный отклик (функция рассеяния) линейной системы, то сигнал на выходе связан с сигналом на входе интегралом свертки:

Тогда для математического ожидания получим

Корреляционная функция на выходе линейной системы имеет вид

Меняя в местами операции интегрирования и математического ожидания, с учетом стационарности входного сигнала найдем

Тогда корреляционная функция зависит только от разности своих аргументов ,так что

Таким образом, если на вход линейной инвариантной системы поступает стационарный случайный процесс, то случайный процесс на выходе также оказывается стационарным.

так что для ее определения необходимо знать лишь корреляционную функцию на входе. Соответствующие зависимости однородного случайного поля имеют вид

где

Частотный метод расчета

Найдем связь между спектральной плотностью стационарного случайного сигнала на входе и выходе линейной инвариантной системы. Имеем

Вводя новую переменную , получим

или

Если - действительная функция (например функция рассеяния некогерентной оптической системы), то так что

В частности, для дисперсии имеем

Для случайного однородного поля соответствующие зависимости имеют вид

Преобразование случайного сигнала нелинейной системой

Реальная нелинейная система представляет собой, как правило, сочетание нелинейных безынерционных элементов с линейными элементами. Это сильно усложняет нахождение статистических характеристик случайного сигнала на выходе всей системы. В линейных системах сравнительно просто определяется корреляционная функция (или спектральная плотность), но очень сложно - плотность распределения вероятностей. В нелинейных, но безынерционных элементах, наоборот, основная трудность состоит в нахождении корреляционной Функции. Поэтому общие методы анализа преобразования случайных процессов в нелинейных устройствах в настоящее время не разработаны.Приходится ограничиваться некоторыми частными задачами, представляющими практический интерес и поддающимися решению.

В качестве нелинейной системы возьмем нелинейный безынерционный элемент и рассмотрим воздействие на него случайного процесса. Простейшим безынерционным нелинейным преобразованием случайного процесса является такое преобразование, при котором значение выходной функции для любой координаты определяется только значением входной функции для той же координаты , т.е.

где - некоторая функция, описывающая нелинейное преобразование.

При анализе преобразования случайного процесса нелинейным элементом задача ставится следующим образом: предполагая известными параметры элемента и статистические характеристики входного случайного процесса , будем искать статистические характеристики процесса на выходе .

См. также