Преобразование случайных сигналов линейными и нелинейными элементами

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 22:24, 17 ноября 2016.


Рис. 1. Линейная система

Пусть на входе линейной инвариантной системы (рис. 1) задан сигнал в виде однородной случайной функции [1], которая характеризуется корреляционной функцией или спектральной плотностью . Сигнал на выходе линейной системы также будет случайным, т.е. будет описываться случайной функцией [2]. Задача состоит в нахождении математического ожидания , корреляционной функции и спектральной плотности корреляционной функции на выходе линейной системы. Реализация случайного процесса (сигнала) является функцией детерминированной.

Преобразование случайных сигналов линейными элементами

Корреляционный метод расчёта

Если известен временной или пространственный импульсный отклик (функция рассеяния) линейной системы , то реализация сигнала на входе связана с сигналом на выходе интегралом свёртки

Тогда для математического ожидания получим

Корреляционная функция на выходе линейной системы имеет вид

Меняя местами операции интегрирования и математического ожидания, с учётом однородности (стационарности) входного сигнала найдём

, где


Так как выражается через однородную , то она тоже однородна. Иначе говоря, корреляционная функция зависит только от разности аргументов , так что

Таким образом, в силу однородности выражение имеет вид

.

В результате, если на вход линейной инвариантной системы поступает однородный (стационарный) случайный сигнал, то на выходе системы сигнал оказывается однородным (стационарным). В частности, дисперсия сигнала на выходе системы

Поэтому для ее определения необходимо знать лишь корреляционную функцию на входе.

Соответствующие зависимости для стационарного случайного процесса имеют вид

Частотный метод расчёта

Используя частотный метод расчёта, найдём связь между спектральной плотностью случайного сигнала на входе и выходе линейной инвариантной системы. В этом случае имеем

.

Вводя новые переменные и получим

или

Если действительная функция, например, импульсный отклик оптической системы в КПС с ОЭС или линзы Люнеберга в КПС с РЭС, то

и

Для дисперсии имеем

Для стационарного случайного процесса соответствующие зависимости примут вид

Преобразование случайных сигналов нелинейными элементами

Реальная нелинейная система представляет собой, как правило, сочетание нелинейных безынерционных элементов с линейными элементами. Это значительно усложняет нахождение статистических характеристик случайного сигнала на выходе всей системы. В линейных системах сравнительно просто определяется корреляционная функция (или спектральная плотность) случайного сигнала, но очень сложно-плотность распределения вероятностей. В нелинейных, но безынерционных элементах, наоборот, основная трудность состоит в нахождении корреляционной функции. Поэтому общие методы анализа преобразования случайных сигналов в нелинейных системах в настоящее время практически не разработаны. Тем не менее, существуют достаточно строгие теоретические методы линеаризации, которые позволяют строить цифровые модели нелинейных систем, преобразующих случайный сигнал.

В этих случаях задача модельного представления преобразования случайного сигнала нелинейной системой сводится к задаче модельного представления преобразования случайного сигнала линейной системой. Однако полезно рассмотреть некоторые частные задачи, представляющие практический интерес и поддающиеся аналитическому решению. В качестве примера нелинейной системы возьмем нелинейный безынерционный элемент (НБЭ) и рассмотрим воздействие на него случайного процесса. Простейшим безынерционным преобразованием случайного процесса является такое преобразование, при котором значение выходной функции для любой координаты определяется только значением входной функции для той же координаты , т.е.

где – некоторая функция, описывающая нелинейное преобразование.

При анализе преобразования случайного процесса нелинейным элементом задача ставится следующим образом: предполагая известными параметры элемента и статистические характеристики входного случайного процесса , будем искать статистические характеристики процесса на выходе .

Преобразование плотности вероятности

Пусть известна плотность вероятности случайной величины , действующей на НБЭ. Нужно найти плотность вероятности выходной случайной величины . Связь между и даётся нелинейной детерминированной зависимостью . Если определяет однозначное соответствие между и в каждый рассматриваемый момент времени независимо от значений в предыдущие моменты времени, то и вероятности событий на входе и выходе НБЭ равны, т.е. . Учитывая, что плотности распределения вероятностей неотрицательные функции, получим

Если обратная функция неоднозначна, то

где значения входной величины, соответствующие рассматриваемому значению

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины на выходе НБЭ можно записать соответственно как


Рис. 2. Воздействие случайного процесса на НБЭ с симметричной квадратичной вольтамперной характеристикой.
Рис. 3. Двухтактное включение диодов.
Рис. 4. Плотность вероятности тока в цепи с квадратичной вольт-амперной характеристикой.

Рассмотрим воздействие нормально распределённого случайного процесса с плотностью вероятности с НБЭ с симметричной квадратичной вольт-амперной характеристикой 1 (рис. 2), которую можно реализовать, например, с помощью двухтактного включения двух диодов, обладающих вблизи нуля квадратичными зависимостями.

При заданной полярности напряжения (см. рис. 3) через диод проходит ток , а при обратной через диод ток Полагая и учитывая, что какому-либо фиксированному значению соответствуют два значения , а именно и по формуле найдём

Подставляя в выражение для плотности вероятности

получим окончательно

Плотность вероятности тока в цепи с квадратичной вольт-амперной характеристикой показана на рис. 4 (при )

Корреляционная функция и спектральная плотность на выходе НБЭ

Прямое определение спектральной плотности случайного процесса на выходе НБЭ по известному спектру на входе не представляется возможным. Поэтому вначале необходимо определить корреляционную функцию, а затем, применив к ней преобразование Фурье, найти спектральную плотность. Если на входе НБЭ с характеристикой действует центрированный стационарный случайный процесс , то корреляционная функция на выходе может быть определена так:

Для усреднения произведения должна быть известна двумерная плотность вероятности входного процесса Если эта плотность вероятности известна, то корреляционная функция может быть представлена в виде следующего выражения:

Вычисление этого интеграла удаётся осуществить далеко не во всех практически важных случаях. Рассмотрим важный для практики случай, когда НБЭ описывается функцией Если процесс на входе НБЭ нормальный, то функцию можно вычислить по известной корреляционной функции процесса на входе. Обозначим среднеквадратическое значение реализации случайного процесса через , тогда , а нормированная функция корреляции

Двумерная плотность вероятности определяется зависимостью

Подставляя в и учитывая, что , получим

Вычисление интеграла в даёт следующий результат:

Определим спектральную плотность случайного процесса на выходе НБЭ:

Первое слагаемое представляет собой произведение функции на , т.е. . Второй интеграл в представляет собой преобразование Фурье от произведения двух функций , которое равно свёртке их фурье-образов. С учётом изложенного, зависимость принимает вид

Дисперсия выходного случайного процесса определяется зависимостью

  1. Здесь и далее: индекс in означает входной; rd - случайный.
  2. Здесь и далее: индекс out означает выходной.