Преобразование случайных сигналов в оптико- и лазерно-электронных системах

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 22:40, 17 ноября 2016.

Содержание

Преобразование случайных сигналов линейными и нелинейными элементами

Рис. 1. Линейная система

Пусть на входе линейной инвариантной системы (рис. 1) задан сигнал в виде однородной случайной функции [1], которая характеризуется корреляционной функцией или спектральной плотностью . Сигнал на выходе линейной системы также будет случайным, т.е. будет описываться случайной функцией [2]. Задача состоит в нахождении математического ожидания , корреляционной функции и спектральной плотности корреляционной функции на выходе линейной системы. Реализация случайного процесса (сигнала) является функцией детерминированной.

Преобразование случайных сигналов линейными элементами

Корреляционный метод расчёта

Если известен временной или пространственный импульсный отклик (функция рассеяния) линейной системы , то реализация сигнала на входе связана с сигналом на выходе интегралом свёртки

Тогда для математического ожидания получим

Корреляционная функция на выходе линейной системы имеет вид

Меняя местами операции интегрирования и математического ожидания, с учётом однородности (стационарности) входного сигнала найдём

, где


Так как выражается через однородную , то она тоже однородна. Иначе говоря, корреляционная функция зависит только от разности аргументов , так что

Таким образом, в силу однородности выражение имеет вид

.

В результате, если на вход линейной инвариантной системы поступает однородный (стационарный) случайный сигнал, то на выходе системы сигнал оказывается однородным (стационарным). В частности, дисперсия сигнала на выходе системы

Поэтому для ее определения необходимо знать лишь корреляционную функцию на входе.

Соответствующие зависимости для стационарного случайного процесса имеют вид

Частотный метод расчёта

Используя частотный метод расчёта, найдём связь между спектральной плотностью случайного сигнала на входе и выходе линейной инвариантной системы. В этом случае имеем

.

Вводя новые переменные и получим

или

Если действительная функция, например, импульсный отклик оптической системы в КПС с ОЭС или линзы Люнеберга в КПС с РЭС, то

и

Для дисперсии имеем

Для стационарного случайного процесса соответствующие зависимости примут вид

Преобразование случайных сигналов нелинейными элементами

Реальная нелинейная система представляет собой, как правило, сочетание нелинейных безынерционных элементов с линейными элементами. Это значительно усложняет нахождение статистических характеристик случайного сигнала на выходе всей системы. В линейных системах сравнительно просто определяется корреляционная функция (или спектральная плотность) случайного сигнала, но очень сложно-плотность распределения вероятностей. В нелинейных, но безынерционных элементах, наоборот, основная трудность состоит в нахождении корреляционной функции. Поэтому общие методы анализа преобразования случайных сигналов в нелинейных системах в настоящее время практически не разработаны. Тем не менее, существуют достаточно строгие теоретические методы линеаризации, которые позволяют строить цифровые модели нелинейных систем, преобразующих случайный сигнал.

В этих случаях задача модельного представления преобразования случайного сигнала нелинейной системой сводится к задаче модельного представления преобразования случайного сигнала линейной системой. Однако полезно рассмотреть некоторые частные задачи, представляющие практический интерес и поддающиеся аналитическому решению. В качестве примера нелинейной системы возьмем нелинейный безынерционный элемент (НБЭ) и рассмотрим воздействие на него случайного процесса. Простейшим безынерционным преобразованием случайного процесса является такое преобразование, при котором значение выходной функции для любой координаты определяется только значением входной функции для той же координаты , т.е.

где – некоторая функция, описывающая нелинейное преобразование.

При анализе преобразования случайного процесса нелинейным элементом задача ставится следующим образом: предполагая известными параметры элемента и статистические характеристики входного случайного процесса , будем искать статистические характеристики процесса на выходе .

Преобразование плотности вероятности

Пусть известна плотность вероятности случайной величины , действующей на НБЭ. Нужно найти плотность вероятности выходной случайной величины . Связь между и даётся нелинейной детерминированной зависимостью . Если определяет однозначное соответствие между и в каждый рассматриваемый момент времени независимо от значений в предыдущие моменты времени, то и вероятности событий на входе и выходе НБЭ равны, т.е. . Учитывая, что плотности распределения вероятностей неотрицательные функции, получим

Если обратная функция неоднозначна, то

где значения входной величины, соответствующие рассматриваемому значению

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины на выходе НБЭ можно записать соответственно как


Рис. 2. Воздействие случайного процесса на НБЭ с симметричной квадратичной вольтамперной характеристикой.
Рис. 3. Двухтактное включение диодов.
Рис. 4. Плотность вероятности тока в цепи с квадратичной вольт-амперной характеристикой.

Рассмотрим воздействие нормально распределённого случайного процесса с плотностью вероятности с НБЭ с симметричной квадратичной вольт-амперной характеристикой 1 (рис. 2), которую можно реализовать, например, с помощью двухтактного включения двух диодов, обладающих вблизи нуля квадратичными зависимостями.

При заданной полярности напряжения (см. рис. 3) через диод проходит ток , а при обратной через диод ток Полагая и учитывая, что какому-либо фиксированному значению соответствуют два значения , а именно и по формуле найдём

Подставляя в выражение для плотности вероятности

получим окончательно

Плотность вероятности тока в цепи с квадратичной вольт-амперной характеристикой показана на рис. 4 (при )

Корреляционная функция и спектральная плотность на выходе НБЭ

Прямое определение спектральной плотности случайного процесса на выходе НБЭ по известному спектру на входе не представляется возможным. Поэтому вначале необходимо определить корреляционную функцию, а затем, применив к ней преобразование Фурье, найти спектральную плотность. Если на входе НБЭ с характеристикой действует центрированный стационарный случайный процесс , то корреляционная функция на выходе может быть определена так:

Для усреднения произведения должна быть известна двумерная плотность вероятности входного процесса Если эта плотность вероятности известна, то корреляционная функция может быть представлена в виде следующего выражения:

Вычисление этого интеграла удаётся осуществить далеко не во всех практически важных случаях. Рассмотрим важный для практики случай, когда НБЭ описывается функцией Если процесс на входе НБЭ нормальный, то функцию можно вычислить по известной корреляционной функции процесса на входе. Обозначим среднеквадратическое значение реализации случайного процесса через , тогда , а нормированная функция корреляции

Двумерная плотность вероятности определяется зависимостью

Подставляя в и учитывая, что , получим

Вычисление интеграла в даёт следующий результат:

Определим спектральную плотность случайного процесса на выходе НБЭ:

Первое слагаемое представляет собой произведение функции на , т.е. . Второй интеграл в представляет собой преобразование Фурье от произведения двух функций , которое равно свёртке их фурье-образов. С учётом изложенного, зависимость принимает вид

Дисперсия выходного случайного процесса определяется зависимостью

Преобразование случайного поля двумерным фильтром со сосредоточенными параметрами

Яркостные характеристики естественных фонов

Характеристики полей яркости естественных фонов очень разнообразны, практически их невозможно описать точными математическими соотношениями, поэтому принято считать параметры фонов случайными и описывать их статистически. Излучение фона в силу своей случайности является некогерентным, поэтому при прохождении его через оптическую систему последнюю можно рассматривать как систему с некогерентным освещением. В разделе уделено внимание естественным фонам, характерным для ОЭС. Кратко рассмотрим основные характеристики естественных излучающих фонов в узких спектральных диапазонах и описание их математических моделей.

Фоновые образования с протяжёнными резкими перепадами яркости

Очень часто встречаются фоновые образования, имеющие протяжённые резкие перепады яркости, которые создают интенсивные помехи в работе ОЭС. Установлено, что одной из самых критических фоновых помех является излучение хорошо освещённых солнцем, чётко очерченных кромок облаков. Значительные перепады яркости наблюдаются на линии горизонта, береговой линии, границах леса и т.д. Для описания фоновых образований с протяжёнными резкими перепадами яркости используется модель типа «ступени»

В этой модели граница скачкообразного перехода между двумя уровнями яркости считается прямолинейной и расположенной вдоль оси . Пространственная спектральная плотность яркости фоновой модели определяется преобразованием Фурье от функции :

где .

Параметр этой простейшей расчётно-формульной поведенческой математической модели (ММ) можно рассматривать и как детерминированную, и как случайную величину. Формула отображает лишь единственную неоднородность фона из их возможного разнообразия. Поэтому необходима более сложная ММ, которая могла бы идентифицировать основные вероятностные свойства фона.

Спектральная плотность корреляционной функции случайного яркостного фонового поля

Пространственная спектральная плотность корреляционной функции случайного яркостного фонового поля строится на аппроксимации экспериментально измеренных статистических характеристик фона, в частности на спектральной плотности или корреляционной функции яркости фона. Существует несколько формул для спектральной плотности функции яркости фоновых образований в атмосфере Земли. Приведем некоторые из них:

  • Для спектральной плотности яркости фона, приведённой к плоскости изображения, используется следующая зависимость:
где некоторая постоянная;
параметр, характеризующий анизотропию фона;
параметр, определяющий значение в точке ;
параметр, обычно равный 1 или 3.
  • Для спектральной плотности облачных образований, имеющих спад по пространственным частотам от 40 до 60 дБ на декаду и относительно крупноразмерные неоднородности, применяется формула
где и интервалы корреляции случайного яркостного фонового поля вдоль осей x и y соответственно;
дисперсия этого поля.

Различие между значениями и характеризует анизотропию фона. Если фон однородный и изотропный, то тогда принимает вид:

где ;
– радиус корреляции.
  • Для изотропного случайного яркостного фона с мелкими неоднородностями существует следующая зависимость:

Такой спектр имеет спад 40 дБ на декаду пространственных частот. Его корреляционная функция

где – модифицированная функция Ганкеля.
  • А для часто используется зависимость

Формула оказывается весьма удобной при расчётах (так как в ней переменные разделяются), хотя она менее соответствует действительным характеристикам фона, чем зависимости , . Соответствующая спектральная плотность корреляционной функции имеет вид

  • Подансамбли однородных облачных образований можно характеризовать следующими зависимостями для корреляционной функции и спектральной плотности яркости


Вышеприведённые формулы для спектральной плотности и корреляционной функции яркости фона справедливы лишь в узком диапазоне длин волн. Излучение фона является функцией длины волны. В области мкм преобладает отражённое фоновыми объектами излучение солнца, луны и звёзд. В области мкм преобладает собственное тепловое излучение фона. Спектральная интенсивность излучения фона может меняться в зависимости от пространственной структуры облачных образований. В свою очередь, пространственная микроструктура фона отличается в различных диапазонах длин волн (изменяется дисперсия яркости фона и увеличивается радиус корреляции с увеличением длины волны). По этим причинам пространственные и оптические спектры поля яркости фона в общем случае нельзя считать независимыми, т.е. Условия независимости могут иметь место только приближённо внутри сравнительно узкого диапазона длин волн. Получение статистических характеристик фона с хорошим разрешением одновременно по пространственным координатам и по длинам волн затруднительно ввиду недостаточной чувствительности радиометрической аппаратуры. Ввиду этого на практике часто используют статистические характеристики яркости фона в виде средних значений в определённых диапазонах длин волн. Следует отметить, что при преобразовании случайного сигнала от фона объективом ОЭС обычно используются не линейные, а угловые координаты, а также не линейные, а угловые пространственные частоты. В этом случае в формулах необходимо заменить на на на на на , где выражаются в рад, а выражаются в 1/рад (1/мрад), где фокусное расстояние объектива ОЭC.

Преобразование фонового излучения оптической системой

В случае пространственно-инвариантной оптической системы связь между квазимонохроматическим случайным однородным фоновым яркостным полем и полем облучённости описывается свёрткой

где

Проведя замену переменных и в , получим

где и флуктуации и математическое ожидание однородного случайного фонового яркостного поля соответственно;

Корреляционный метод расчёта

Так как второй интеграл в

то случайное поле фоновой облучённости можно представить в виде суммы флуктуаций облучённости и математического ожидания где[3]

Корреляционная функция фоновой облучённости определяется как математическое ожидание произведения флуктуаций фоновой облучённости, взятых в двух точках плоскости изображения и так что

Подставляя и из в и внося оператор математического ожидания под знак интеграла, получим

Выражение, стоящее под знаком математического ожидания в , представляет собой корреляционную функцию фоновой яркости идеального геометрооптического изображения. В силу однородности случайного фонового яркостного поля её можно представить в следующем виде:

Подставляя в находим окончательное выражение для корреляционной функции фоновой облучённости в плоскости изображения

В результате с учётом случайное поле облучённости тоже оказывается однородным.

Частотный метод расчета

Переходя к пространственной спектральной плотности корреляционной функции фоновой облучённости, найдем:

После замены переменных получим

Учитывая, что действительная функция и имеем:

Так как для последнего интеграла в

то для найдём окончательное выражение:

где

В случае идеальной ОИзС нормированная некогерентная функция рассеяния имеет вид Тогда для корреляционной функции и её спектральной плотности на основании и имеем соответственно:

Частотный и Kr методы расчёта для удаленного объекта

Когда объект находится на большом расстоянии от оптической системы, плоскость изображения совпадает с задней фокальной плоскостью объектива ОЭП. В этом случае вместо декартовых координат вводятся угловые координаты и При этом для малых углов приближенно угловые координаты равны тангенсам этих углов, так что[4]:

где расстояние от оптической системы до объекта, а фокусное расстояние объектива ОЭП.

В свою очередь, угловые частоты и измеряются в (1/рад) и выражаются через пространственные частоты и по формулам:

В этом случае корреляционная функция и угловая спектральная плотность фоновой яркости зависят соответственно от угловых координат и угловых частот:

где флуктуации яркости рассматриваются в двух точках с угловыми координатами и

Тогда корреляционная функция и угловая спектральная плотность фоновой освещенности по аналогии имеют вид:

Преобразование случайного двумерного сигнала сканирующим устройством

Преобразование случайного двумерного сигнала сканирующим устройством

Как отмечелось в разделе Преобразование случайного поля двумерным фильтром со сосредоточенными параметрами, для КПС с РЭС нехарактерно влияние (присутствие) естественного фона излучения. Поэтому в данном разделе речь идет об естественном фоновом излучении, как о помехе в ОЭС или АЭС.

Рис. 1. МАИ (Модулятор-анализатор изображения) в ОЭС. Для АЭС - это СУ (Сканирующее Устройство).

Изображение фона, сформированное оптической системой КПС с ОЭС, представляет собой случайное поле освещенности (облученности), описывемое корреляционной функцией или спектральной плотностью

«Изображение» фона, сформированное приемной формирующей системой КПС с АЭС, представляет собой случайное поле интенсивности, описываемое корреляционной функцией или

Рассмотрим процесс преобразования фонового потока излучения сканирующего устройства (СУ). Структурная схема преобразования показана на рис. 1.

Преобразование фонового потока излучения неподвижным СУ

Рис. 2. Системы координат при описании движения МАИ

Если СУ (МАИ) смещен относительно системы координат, связанной с изображением фона, на величину и повернут на угол (см. рис. 2), то корреляционная функция случайного фонового потока излучения на выходе СУ при условии его однородности определяется как[5]

где

Соответственно, пространственная спектральная плотность фонового потока имеет вид

Центрированный поток описывается зависимостью

или после замены переменных

Подставляя в и внося оператор математического ожидания под знак интеграла, получим

Выражение, стоящее под знаком математического ожидания в , является корреляционной функцией однородного поля облучённости изображения фона. Она может быть записана как

Подставляя в , получим

Пространственная спектральная плотность фонового потока излучения на выходе СУ определяется как

Проведя замену переменных для получаем следующее выражение

где
если функция действительная;

Выражая через и обратное преобразование Фурье оптической системы для получим следующее выражение:

Для АЭС при отсутствии поворота СУ, зависимость упрощается и принимает вид

Преобразование фонового потока излучения подвижным СУ

Если СУ движется по некоторой траектории, то являются функциями времени и корреляционная функция также будет зависеть от времени, т.е.

В общем случае, несмотря на однородность случайного поля для фоновой облучённости и разный вид для разных моментов времени, корреляционная функция , т.е. является нестационарным, так как отсутствует пропорциональность между величиной временного интервала и соответствующими приращениями При периодическом движении СУ корреляционная функция фонового потока излучения является периодической, т.е.: где

Приведение к стационарности

Рассмотрим следующие варианты:

  • Нестационарная периодическая функция может быть приведена к стационарному виду с помощью осреднения по одному из аргументов, так что

Основанием такой операции является тот факт, что внутрипериодная нестационарность сигнала не является существенной, если достаточно инерционные элементы содержатся в последующих частях электронного тракта обработки сигнала. Наличие звеньев, обладающих постоянными времени, превышающими период развёртки, характерно для систем обнаружения.

  • Нестационарная апериодическая корреляционная функция может быть приведена к стационарному виду и при апериодическом движении путём использования дополнительного предельного перехода

Временная спектральная плотность корреляционной функции фонового потока излучения на выходе СУ определяется:

  • Для апериодического движения как
  • Для периодического движения СУ соответственно имеем
где

Найдём зависимости, связывающие временную и пространственную спектральные плотности корреляционной функции фонового потока излучения на выходе СУ. Корреляционная функция может быть определена через пространственную спектральную плотность фонового потока излучения с использованием обратного преобразования Фурье:

Подставляя полученное выражение для в , а в и заменяя через из получим для апериодического сканирования СУ следующую зависимость для временной спектральной плотности корреляционной функции фонового потока излучения:

Проведя аналогичные преобразования для СУ с периодическим сканированием, получим для :

Рассмотрим определение и для некоторых частных случаев движения СУ.

Поступательное движение СУ

Поступательное линейное движение СУ с постоянной скоростью

При поступательном линейном движении СУ с постоянной скоростью имеем где В данном случае корреляционная функция фонового потока излучения на выходе СУ будет стационарной ввиду сохранения пропорциональности между временным интервалом и приращением радиуса вектора

Используя зависимость для получим:

Рис. 3. Системы координат при описании линейного сканирования СУ

Далее находим временную спектральную плотность корреляционной функции фонового потока излучения на выходе СУ. Взяв преобразование Фурье от имеем:

Интеграл в фигурных скобках в представляет собой –функцию. В соответствии с этим принимает следующий вид ():

В случае движения СУ, например, вдоль оси (см. рис. 3), когда используя фильтрующее свойство функции, для получим следующую зависимость[6]:

где:
Рис. 4. Системы координат при описании кругового сканирования МАИ

Угловое движение СУ с постоянной скоростью

При круговом движении СУ с постоянной угловой скоростью (рис. 4) имеем:

В данном случае корреляционная функция фонового потока излучения на выходе СУ будет нестационарной, так как отсутствует пропорциональность между и Для определения n-й гармоники фонового потока на выходе МАИ используем зависимость

Выражение в фигурных скобках может быть представлено в виде произведения двух интегралов. Используя полярную систему координат, запишем

где

Полученное выражение можно переписать в следующем виде

Сделав замену переменных и проведя несложные преобразования, получим

где функция Бесселя первого рода n – го порядка. Подставляя в находим
где

Вращательное сканирование СУ вокруг собственной оси

Рис. 5. Системы координат для описания вращательного сканирования МАИ вокруг собственной оси

При вращении МАИ вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью (рис. 5) имеем

Используя зависимость для получим

Выражая и в полярных координатах, т.е.