Преобразование случайного сигнала нелинейными элементами электронного тракта

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 22:46, 17 ноября 2016.


Воздействие узкополосного шума на амплитудный детектор

Амплитудный детектор, состоящий из диода и фильтра нижних частот (см. рис. 1.1) представляет собой сочетание НБЭ с инерционной линейной цепью.

Рис. 1.1. Однополупериодичный выпрямитель (детектор)

Рассмотрим самостоятельные части указанного устройства:

  • нелинейный элемент
  • фильтр нижних частот

Изложенные ранее методы позволяют, в принципе, найти плотность вероятности и корреляционную функцию шума сначала на выходе нелинейного элемента (диода), а затем и на выходе фильтра. В общем случае эти исследования требуют весьма громоздких вычислений. Задачу можно упростить, если учесть принцип работы реальных устройств.

Рассмотрим вначале "линейное" детектирование, т.е. детектирование высокочастотного колебания с достаточно большими амплитудами. Под такими колебаниями подразумеваются гауссовский шум, сформированный избирательными цепями на входе детектора. Как и при детектровании детерминированных амплитудно-модулированных, можно считать, что напряжение на выходе линейного детектора воспроизводит огибающую амплитуду высокочастотного колебания, в данном случае огибающую шума. Поэтому при линейном детектировании нет необходимости рассматривать отдельно статистические характеристики тока диода и напряжения на выходе RC-цепи. Напряжение , развиваемое на этой цепи, можно приравнять огибающей шума на входе детектора (т.е. считать, что коэфициент передачи детектора равен единице). При таком подходе статистические характеристики шума на выходе поностью совпадают с приведенными характеристиками огибающей . В соответствии с изложенным можно считать, что напряжение шума на выходе линейного детектора обладает рэлеевским распределением плотности вероятности

Находим математическое ожидание шумового напряжения

Средний квадрат напряжения

Отсюда получим дисперсию на выходе линейного детектора

Таким образом основные параметры шума на выходе - постоянная составляющая и дисперсия - выражаются через дисперсию высокочастотного шума, действующего на входе детектора.

Рассмотрим воздействие на линейный детектор шума , спектральная плотность которого определяется зависимостью

а корреляционная функция

С учетом


Слагаемое с -функцией соответствует постоянной составляющей напряжения на выходе детектора.

График изображен на рис. 1.2 (б)

Рис. 1.2. Спектр мощности случайного процесса амплитудного детектора, где а - на входе; б - на выходе

Ширина спектра в больше ширины спектра на входе детектора (рис. 1.2 а ). Линейный амплитудный детектор воспроизводит огибающую узкополосного колебания независимо от особенностей её структуры. Полученный результат свидетельствует о том, что огибающая каждой из реализаций рассматриваемого шума (на входе детектора) обладает спектром более широким, чем частотная полоса самой реализации.

Рассмотрим воздействие гауссовского шума на квадратичный детектор. Напряжение на выходе детектора с учетом фильтровывания высокочастотной составляющей шума

где - коэффициент, учитывающий параметр вольт-амперной характеристики диода и сопротивление нагрузки на выходе детектора.

Под следует понимать плотность вероятности огибающей . Находим закон распределения шумового напряжения на выходе квадратичного детектора

Таким образом, при воздействии на квадратичный детектор с фильтром нижних частот узкополосного гауссовского процесса шум на выходе всего устройства имеет экспоненциальное распределение. Найдем математическое ожидание выходного напряжения шума.

Средний квадрат напряжения

Дисперсия шума на выходе

Для полного описания свойств шума на выходе квадратичного детектора остается вычислить его корреляционную функцию и спектр мощности.

При получим

Графики функций и по форме совпадают с графиками, показанными на рис 1.2. Они отличаются только масштабом по оси ординат изза различия при постоянных коэфициентах ( вместо перед квадратными скобками в и вместо перед вторым слагаемым).

Совместное воздействие гармонического сигнала и нормального шума на амплитудный детектор

При аддитивном воздействии сигнала и узкополосного шума суммарное коллебание описывается формулой

Огибающая и фаза определяются выражениями:

При анализе воздействия колебания на амплитудный детектор статистические характеристики фазы можно не учитывать. Основное значение имеет плотность вероятности огибающей , определяется по формуле:

где - бесселева функция комплексоного аргумента (модифицированная).

Определяемую формулой функцию называют обобщенной функцией Релея. Графики функции для нескольких значений приведены на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Релеевская (обобщенная) плотность вероятности

При (отсутвии сигнала) В другом крайнем случае, когда амплитуда сигнала очень велика по сравнению с , кривая близка к гауссовой кривой с дисперсией и средним значением, равным .

Рассмотрим вначале линейное детектирование. Считаем, что напряжение на выходе детектора совпадает с огибающей амплитуд высокочастотного напряжения на входе. Тогда, основываясь на формуле , находим постоянную составляющую напряжения на выходе детектора.

Средний квадрат напряжения

После вычисления интегралов получим следующие выражения:

где

Из последнего выражения вытекает равенство

Равнее было показано, что в отсутствие сигнала постоянная составляющая шума на выходе линейного детектора равна

Приращение постоянной составляющей , где определяется зависимостью и есть полезный сигнал.

Следовательно, отношение мощности сигнала к мощности помехи на выходе линейного детектора

Рассмотрим предельные случаи (слабый сигнал) и (сильный сигнал).

Для слабого имеем .

Выражение можно упростить:

При этом приращение постоянной составляющей , а дисперсия в соответствии с

Таким образом,

где - постоянный коэфициент, близкий к единице.

Выражение показывает, что в АД имеет место подавление слабого сигнала сильной помехой. Например, при .

Рассмотренный вопрос имеет важное значение для проблемы обнаружения сигналов на фоне сильной помехи.

Для сильного сигнала имеем , функции и можно определять выражениями

Зависимость при указанных приближениях приводится к виду

При постоянная составляющая выходного напряжения почти совпадает с .

При вычислении дисперсии необходимо учитывать слагаемое в выражении

Таким образом,

Отношение "сигнал/помеха" на выходе

Проведем аналогичное рассмотрение для квадратичного детектирования. Заменяя в формуле на получим напряжение на выходе квадратичного детектора

Усредняя это выражение по времени и учитывая, что и (как и среднее значение ), получаем постоянную составляющую напряжения на выходе квадратичного детектора

Слагаемое определяет постоянную составляющую, обусловленную помехой в отсутствии сигналов. Слагаемое можно рассматривать как полезный сигнал на выходе детектора.

Возводя в квадрат, получим

Слагаемое с и при осреднении обращается в ноль. Поэтому средняя мощность на выходе

Вычитая из этого выражения , находим дисперсию шума на выходе квадратичного детектора

При найдем отношение сигнал-помеха (отношение "сигнал/помеха") на выходе детектора (по мощности)

- это отношение сигнал-помеха (по мощности) на входе детектора.

Таким образом, при значении

а при больших значениях , т.е. при

На основании можно сделать следующее заключение: при слабом (относительно помехи) сигнале в квадратичном детекторе имеет место подавление полезного сигнала, а при сильном сигнале отношение "сигнал/помеха" пропорционально отношению сигнала к помехе на входе.

Сравнение и показывает, что при слабом сигнале и сильной помехе линейный и квадратичный детекторы ведут себя одинакового: ОСП на выходе пропорционально квадрату отношение "сигнал/помеха" на входе.

При отношение "сигнал/помеха" на выходе квадратичного детектора в 4 раза (по мощности) меньше, чем у линейного.

Проведенный анализ относится к гармоническому (немодулированному) сигналу. Наличие амплитудной модуляции сигнала, которую можно рассматривать как медленное изменение постоянной составляющей напряжения на выходе детектора, не оказывает существенного влияния на сравнительную оценку при квадратичном и линейном детектировании.

Слудует отметить, что полученные результаты не зависят от соотношения между несущей частотой сигнала и мнгновенной частотой помехи

Из этого следует, что наложение паразитной частотной или фазовой модуляции на сигнал (при постоянной амплитуде) не оказывает влияния на отношение "сигнал/помеха" на выходе детектора.


Совместное воздействие гармонического сигнала и нормального шума на частотный детектор

На рис. 3.1 показана структурная схема частотного детектора. Сигнал на входе амплитудного ограничителя представляет собой частотно-модулированное колебание

а помеха - гауссовкий процесс со спектром мощности равномерным в полосе пропускания фильтра промежуточной частоты.

Рис. 3.1. Структурная схема ЧД

Полосу пропускания этого фильтра можно приравнять удвоенной девиации частоты, т.е. Фильтр нижних частот на выходе детектора должен обладать полосой пропускания от 0 до где - наивысшая частота модуляции. Помеху, действующую на входе ограничителя, запишем, как и ранее, в виде

При анализе совместного действия и на частотный детектор рассмотрим раздельно два режима:

  • при отсутствии полезной ЧМ, когда на входе детектора действует чисто гармоническое колебание и шум
  • при наличии ЧМ; при этом будем считать, что помеха на выходе детектора остается той же, что и в первом случае.

В отсутствие модуляции суммарное колебание на входе АО

где и определяют по формулам и .

Обозначив порог АО , получим следующее выражение для колебания на выходе ограничителя, настроенного на частоту  :

Напряжение на выходе частотного детектора, пропорционально производной фазы , в отсутвии полезной модуляции является помехой. Таким образом,

где - кртизна характеристики частотного детектора. Интенсивность и структура помехи на выходе частотного детектора полностью определяется статистическими характеристиками производной фазы .

В реальных условиях приема ЧМ колебаний обеспечивается значительное превышение сигнала над помехой.

Обычно , где - средняя мощность помехи на входе детектора.

Поэтому для фазы можно упростить:


Статистические характеристики случайной функции совпадают с характеристиками, полученными для квадратурных слагаемых узкополосного процесса. Там показано, что функция обладает нормальным законом распределения и спектром .

При дифференцировании гауссовского случайного процесса распределение остается нормальным. Следовательно , т.е. мгновенное значение частотного отклонения, также обладает нормальным распределением.

При помеха на входе ЧД является нормальным процессом. Определим спектр мощности процесса . Для этого достаточно умножить на . Таким образом,

а спектр помехи на выходе частотного фильтра в соответствии с

Корреляционная функция помехи на выходе (с полосой пропускания )

дисперсия, т.е. средняя мощность помехи,

Рассмотрим режим работы ЧД, при котором напряжение на выходе ЧД пропорционально девиации частоты. При тональном ЧМ

Мощность сигнала на выходе ЧД (без учета влияния помехи) а мощность помехи (без учета модуляции) определяется выражением . Следовательно, отношение "сигнал/помеха" на выходе ЧД

Пример

Пусть помеха на входе ЧД является белым шумом со спектральной плотностью Тогда интеграл в равен а выражение можно привести к виду

Величина - мощность сигнала на входе, , т.е. мощность шума в двух полосах (одна в области , вторая в области ).

Таким образом, окончательно

Увеличивая отношение , т.е. индекс угловой модуляции, можно получить выигрыш в отношении сигнал/помеха по сравнению с системами с АМ.

Следует подчеркнуть, что преимущества широкополосной частотной модуляции сохраняются, пока помеха на входе ЧД слабее сигнала и пока обеспечивается ограничение амплитуды колебания на входе детектора.

Статистический анализ нелинейных систем

Спектральные методы анализа нелинейных систем, описываемых полиномами Вольтерра, позволяют существенно снизить трудоемкость расчетов по сравнению с методом анализа во временной области. Задача статистического анализа систем заключается в определении характеристик выходного сигнала по известным характеристикам (моментам) случайного сигнала на входе системы. Случайные процессы полностью описываются плотностью распределения вероятности (законом распределения), функциями распределения или характеристическими функциями. Однако на практике удобнее оперировать с моментными функциями, по которым можно однозначно определить плотность распределения вероятности. В большинстве практически важных случаев для описания работы систем достаточно знать первые две моментные функции выходного сигнала. Поэтому считаем, что задача статистического анализа заключается в определении математического ожидания и корреляционной функции сигнала на выходе системы.

Рассмотрим общий случай нестационарной полиномиальной системы, которая описывается выражением

где — реализация непрерывного случайного процесса на входе системы.

Как известно , n-мерный момент А-го порядка случайного процесса определяется выражением

где - многомерная плотность распределения вероятности процесса ;
- порядок момента;
- оператор математического ожидания.

Будем обозначать математическое ожидание сигнала как , а корреляционную функцию

Тогда используя свойство линейности оператора М {.} и меняя местами операции интегрирования и усреднения, получим следующую формулу для вычисления математического ожидания сигнала на выходе полиномиальной системы:

Двумерный момент второго порядка для процесса определяется как

Аналогично p-мерный момент порядка p процесса в самом общем случае можно вычислить, пользуясь формулой

Из формул - следует: для определения n-мерного момента порядка n случайного процесса , необходимо знать многомерные моменты входного сигнала вплоть до .

Вычисление моментов высших порядков упрощается, если система стационарна и сигнал на входе нелинейной системы также является стационарным.

Пусть на входе стационарной нелинейной полиномиальной системы действует случайный нестационарный сигнал. Это означает, что ядра системы не изменяются во времени (являются стационарными), а сигнал на выходе системы определяется выражением

где - реализация нестационарного случайного процесса, имеющего математическое ожидание  ;

- центрированный случайный процесс, для которого

Тогда математическое ожидание сигнала

где - моменты нестационарного случайного процесса.

Определим теперь корреляционную функцию сигнала на выходе нелинейной системы, когда на входе действует нестационарный случайный сигнал. По определению, корреляционная функция для вещественных случайных процессов

где - ковариационная функция случайного процесса, которая определяется как

Как следует из формул - , вычисление даже первых двух моментов представляет больше трудности.

Определим спектральную плотность математического ожидания нестационарного случайного процесса на выходе нелинейной системы. Выражение представим в виде

Взяв преобразование Фурье от и применив оператор перехода к одной переменной в частотной области, получим следующую формулу для вычисления спектральной плотности математического ожидания сигнала на выходе стационарной полиномиальной системы:

где - изображение ядер системы;

- i-мерная спектральная плотность процесса , которая определяется как многомерный Фурье-образ i-мерного момента:

Определим теперь спектральную плотность мощности нестационарного случайного процесса. Как известно она связана с ковариационной функцией соотношениями

Используя соотношения , , и оператор перехода к одной переменной можно определить спектральную плотность мощности нестационарного случайного процесса на выходе полиномиальной нелинейной системы

При выходе выражения учитывалось что для действительных функций справедливо .

Для вычисления спектральной плотности математического ожидания и спектральной плотности мощности можно использовать тот же алгоритм, что и для детерминированных сигналов, с той лишь разницей, что в качестве входных воздействий здесь следует рассматривать моменты функции случайного процесса на входе системы.

Как известно, применение БПФ для вычисления интералов дает существенный выигрыш по сравнению с другими методами, но даже если воспользоваться этим алгоритмом для определения многомерных моментов во временной области, то при степени полинома N и разбиении области интегрирования на интервалов потребуется выполнить операций при вычисление математического ожидания и операций при вычислении корреляционной функции. Для вычисления спектральной плотности математического ожидания и спектральной плотности мощности сигнала на выходе полиномиальной нелинейной системы число операций составит соответственно и большинство из которых будет затрачено в основном на вычисление изображений ядер и многомерных моментов.

Пусть теперь на входе полиномиальной нелинейно системы действует стационарный случайный сигнал

причем . Многомерные моменты такого случайного процесса не зависят от выбора момента времени, а определяются лишь разностью времен, в которые рассматриваются реализации.

Сигнал на выходе стационарной полиномиальной системы

где - реализация стационарного случайного процесса

Если применить оператор математического ожидания к выражению и предположить что время t настолько велико что все переходные процессы закончились, то получим

Математическое ожидание сигнала на выходе полиномиальной системы можно представить в ином виде, выразив его через Фурье-образы ядер и спектральные потности моментов случайного процесса. Если математическое ожидание случайного сигнала равно нулю, то выражение для математического ожидания сигнала можно записать так:

Определим ковариационную функцию сигнала на выходе стационарного случайного сигнала. Как известно в этом случае ковариационная функция

Представляя выражение в получим

Спектральная плотность стационарного случайного процесса определяется как преобразование Фурье от ковариационной функции и наоборот. Аналогичными соотношениями связана спектральная плотность центрированного стационарного случайного процесса с корреляционной функцией:

Если математическое ожидание сигнала на входе системы то вычтя из квадрат математического ожидания и выполнив преобразование Фурье для полученного выражения после преобрзований с использованием теоремы запаздывания и фильтрующего свойства -функции найдем выражение спектральной плотности мощости центрированного случайного процесса на выходе полиномиальной системы второго порядка в виде

Полученные выше выражения применимы для анализа нелинейных систем когда на их входе действуют случайные сигналы с любым законом распределения плотности вероятности. Наиболее часто встречаются на

практике и поэтому занимают особое место среди других случайные процессы с гауссовским законом распределения потому что большинство случайных процессов действующих в электрических цепях таких например как дробовый шум, тепловые флуктуации, атмосферные и космические шумы, представляют собой суммарный эффект большого числа сравнительно слабых элементарных импульсов, возникающих в случайные моменты времени. Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей плотность вероятности суммы случайных величин неограниченно приближаются к нормальной с увеличением числа слагаемых независимо от того какие плотности вероятности имеют отдельные слагаемые.

Гауссовский случайный процесс полностью определяется заданием математического ожидания и корреляционной функции . Если известно что случайный процесс является гауссовским то все его характеристики включая n-мерные плотности вероятности, характеристические функции, n-мерные моменты, определяются математическим ожиданием и корреляционной функцией. В частности для гауссовских случайных процессов многомерные центральные моменты нечетного порядка равны нулю, а четного порядка выражаются через произведения ковариационных функций:

В формуле суммирование выполняется по всем разбиениям величин на возможные пары, а произведение вычисляется для всех пар в каждом разбиении. Общее число членов суммы равно .

Для практики важно рассмотреть действие на нелинейные системы случайных стационарных сигналов с гауссовским законом распределения плотности вероятности. Для вычисления центральных n-мерных моментов гауссовского стационарного случайного процесса существует следующая рекуррентная формула:

все
где порядок момента.

В частном случае, когда и все , получим

все


Так как то несложно показать что

С учетом перечисленных свойств гауссовских случайных процессов формулу для расчета математического ожидания сигнала на выходе полиномиальной системы четвертого порядка при действии гауссовского случайного сигнала на входе можно записать так:


Учитывая формулы для многомерных моментов гауссовского случайного процесса, спектральную плотность мощности центрированного случайного процесса на выходе нелинейной полиномиальной системы второго порядка можно определить выражением


Если ядра системы сепарабельны то нетрудно показать что спектральная плотность мощности выходного сигнала

Как следует из выражений , наибольшая трудоемкость при вычислении математического ожидания и спектральной плотности мощности сигнала на выходе нелинейных систем связана с вычислением изображений многомерных ядер. Поэтому и в том и в другом случае для гауссовских случайных входных воздействий требуется выполнить лишь ФОРМУЛА операций. Если вычисления выполнить по формулам и , описывающим прохождение сигнала во временной области, то для вычисления и потребуется выполнить соответственно и операций, т.е. значительно больше.

Это подтверждает правомерность использования аппарата многомерного преобразования Фурье в задачах анализа нелинейных систем тракта КПС.

Отметим еще одно важное свойство гауссовских процессов которое можно использовать при статистическом анализе нелинейных систем. Плотность распределения вероятности случайного сигнала на выходе любого нелинейного элемента изменяется. Поэтому если на входе такого элемента действует случайный сигнал с гауссовским законом плотности распределения вероятности, то на выходе сигнал поступает в нелинейное частотно-зависимое звено, у кторого полоса пропускания меньше, чем полоса частот сигнала, то сигнал по своим свойствам приблизится к гауссовскому сигналу. Такое приближение те точнее чем уже полоса пропускания звена. Это свойство случайных сигналов позволяет упростить анализ и синтез тракта КПС при воздействии случайных сигналов.

Для иллюстрации применения статистического анализа нелинейных систем с использованием полиномов Вольтера определим математическое ожидание и спектральную плотность мощности сигнала на выходе фотоприемника, когда на его входе действует случайный стационарный гауссовский сигнал. Считаем, что полезная информация о сигнале содержится в амплитуде лучистого потока, которыйпопадает на чувствительную площадку фотоприемника. Тогда в соответствии с изложенным в разделе "модель детектора приемника" модель фотоприемника представим последовательным соединением нелинейного и линейного звеньев. Спектр сигнала на выходе такой системы определяется выражением

где - передаточная функция (изображение ядра) линейного звена (в данном случае частотная характеристика фотоприемника);
- коэффициенты аппроксимации фоновой характеристики полиномом степени N.

Предположим, что амплитуда сигнала изменяется в небольших пределах; при заданной точности нас устраивает полином второй степени (N=2). Тогда с учетом аддитивного шума самого фотоприемника спектр реализации сигнала на выходе приемника, когда на входе действует случайный сигнал .

где - спектр реализации аддитивного шума фотоприемника.

Считая, что математическое ожидание щумавого процесса и используя формулы 57, 58, математическое ожидание и спектральную плотность мощности сигнала на выходе фотоприемника можно определить следующими выражениями:

При выходе выражений учитывалось, что ядра рассмотренной системы пронумерованны так что .

Итак, мы убедились, что реализацию на ЭВМ модельного представления нелинейных подсистем можно осуществить теми же програмными средствами, что и для одномерного тракта КПС, описанного в линейном приближении.

См. также