Преобразование случайного поля двумерным фильтром со сосредоточенными параметрами

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 22:31, 17 ноября 2016.

Яркостные характеристики естественных фонов

Характеристики полей яркости естественных фонов очень разнообразны, практически их невозможно описать точными математическими соотношениями, поэтому принято считать параметры фонов случайными и описывать их статистически. Излучение фона в силу своей случайности является некогерентным, поэтому при прохождении его через оптическую систему последнюю можно рассматривать как систему с некогерентным освещением. В разделе уделено внимание естественным фонам, характерным для ОЭС. Кратко рассмотрим основные характеристики естественных излучающих фонов в узких спектральных диапазонах и описание их математических моделей.

Фоновые образования с протяжёнными резкими перепадами яркости

Очень часто встречаются фоновые образования, имеющие протяжённые резкие перепады яркости, которые создают интенсивные помехи в работе ОЭС. Установлено, что одной из самых критических фоновых помех является излучение хорошо освещённых солнцем, чётко очерченных кромок облаков. Значительные перепады яркости наблюдаются на линии горизонта, береговой линии, границах леса и т.д. Для описания фоновых образований с протяжёнными резкими перепадами яркости используется модель типа «ступени»

В этой модели граница скачкообразного перехода между двумя уровнями яркости считается прямолинейной и расположенной вдоль оси . Пространственная спектральная плотность яркости фоновой модели определяется преобразованием Фурье от функции :

где .

Параметр этой простейшей расчётно-формульной поведенческой математической модели (ММ) можно рассматривать и как детерминированную, и как случайную величину. Формула отображает лишь единственную неоднородность фона из их возможного разнообразия. Поэтому необходима более сложная ММ, которая могла бы идентифицировать основные вероятностные свойства фона.

Спектральная плотность корреляционной функции случайного яркостного фонового поляСпектральная плотность K ~ r L ( ν x , ν y ) {\displaystyle \mathbf{\tilde{K}r} L (\boldsymbol{\nu x}, \boldsymbol{\nu y}) \,\!} корреляционной функции случайного яркостного фонового поля

Пространственная спектральная плотность корреляционной функции случайного яркостного фонового поля строится на аппроксимации экспериментально измеренных статистических характеристик фона, в частности на спектральной плотности или корреляционной функции яркости фона. Существует несколько формул для спектральной плотности функции яркости фоновых образований в атмосфере Земли. Приведем некоторые из них:

  • Для спектральной плотности яркости фона, приведённой к плоскости изображения, используется следующая зависимость:
где некоторая постоянная;
параметр, характеризующий анизотропию фона;
параметр, определяющий значение в точке ;
параметр, обычно равный 1 или 3.
  • Для спектральной плотности облачных образований, имеющих спад по пространственным частотам от 40 до 60 дБ на декаду и относительно крупноразмерные неоднородности, применяется формула
где и интервалы корреляции случайного яркостного фонового поля вдоль осей x и y соответственно;
дисперсия этого поля.

Различие между значениями и характеризует анизотропию фона. Если фон однородный и изотропный, то тогда принимает вид:

где ;
– радиус корреляции.
  • Для изотропного случайного яркостного фона с мелкими неоднородностями существует следующая зависимость:

Такой спектр имеет спад 40 дБ на декаду пространственных частот. Его корреляционная функция

где – модифицированная функция Ганкеля.
  • А для часто используется зависимость

Формула оказывается весьма удобной при расчётах (так как в ней переменные разделяются), хотя она менее соответствует действительным характеристикам фона, чем зависимости , . Соответствующая спектральная плотность корреляционной функции имеет вид

  • Подансамбли однородных облачных образований можно характеризовать следующими зависимостями для корреляционной функции и спектральной плотности яркости


Вышеприведённые формулы для спектральной плотности и корреляционной функции яркости фона справедливы лишь в узком диапазоне длин волн. Излучение фона является функцией длины волны. В области мкм преобладает отражённое фоновыми объектами излучение солнца, луны и звёзд. В области мкм преобладает собственное тепловое излучение фона. Спектральная интенсивность излучения фона может меняться в зависимости от пространственной структуры облачных образований. В свою очередь, пространственная микроструктура фона отличается в различных диапазонах длин волн (изменяется дисперсия яркости фона и увеличивается радиус корреляции с увеличением длины волны). По этим причинам пространственные и оптические спектры поля яркости фона в общем случае нельзя считать независимыми, т.е. Условия независимости могут иметь место только приближённо внутри сравнительно узкого диапазона длин волн. Получение статистических характеристик фона с хорошим разрешением одновременно по пространственным координатам и по длинам волн затруднительно ввиду недостаточной чувствительности радиометрической аппаратуры. Ввиду этого на практике часто используют статистические характеристики яркости фона в виде средних значений в определённых диапазонах длин волн. Следует отметить, что при преобразовании случайного сигнала от фона объективом ОЭС обычно используются не линейные, а угловые координаты, а также не линейные, а угловые пространственные частоты. В этом случае в формулах необходимо заменить на на на на на , где выражаются в рад, а выражаются в 1/рад (1/мрад), где фокусное расстояние объектива ОЭC.

Преобразование фонового излучения оптической системой

В случае пространственно-инвариантной оптической системы связь между квазимонохроматическим случайным однородным фоновым яркостным полем и полем облучённости описывается свёрткой

где

Проведя замену переменных и в , получим

где и флуктуации и математическое ожидание однородного случайного фонового яркостного поля соответственно;

Корреляционный метод расчёта

Так как второй интеграл в

то случайное поле фоновой облучённости можно представить в виде суммы флуктуаций облучённости и математического ожидания где[1]

Корреляционная функция фоновой облучённости определяется как математическое ожидание произведения флуктуаций фоновой облучённости, взятых в двух точках плоскости изображения и так что

Подставляя и из в и внося оператор математического ожидания под знак интеграла, получим

Выражение, стоящее под знаком математического ожидания в , представляет собой корреляционную функцию фоновой яркости идеального геометрооптического изображения. В силу однородности случайного фонового яркостного поля её можно представить в следующем виде:

Подставляя в находим окончательное выражение для корреляционной функции фоновой облучённости в плоскости изображения

В результате с учётом случайное поле облучённости тоже оказывается однородным.

Частотный метод расчета

Переходя к пространственной спектральной плотности корреляционной функции фоновой облучённости, найдем:

После замены переменных получим

Учитывая, что действительная функция и имеем:

Так как для последнего интеграла в

то для найдём окончательное выражение:

где

В случае идеальной ОИзС нормированная некогерентная функция рассеяния имеет вид Тогда для корреляционной функции и её спектральной плотности на основании и имеем соответственно:

Частотный и Kr методы расчёта для удаленного объекта

Когда объект находится на большом расстоянии от оптической системы, плоскость изображения совпадает с задней фокальной плоскостью объектива ОЭП. В этом случае вместо декартовых координат вводятся угловые координаты и При этом для малых углов приближенно угловые координаты равны тангенсам этих углов, так что[2]:

где расстояние от оптической системы до объекта, а фокусное расстояние объектива ОЭП.

В свою очередь, угловые частоты и измеряются в (1/рад) и выражаются через пространственные частоты и по формулам:

В этом случае корреляционная функция и угловая спектральная плотность фоновой яркости зависят соответственно от угловых координат и угловых частот:

где флуктуации яркости рассматриваются в двух точках с угловыми координатами и

Тогда корреляционная функция и угловая спектральная плотность фоновой освещенности по аналогии имеют вид:

  1. Здесь и далее: индекс ГМО означает геометрооптический.
  2. Здесь и далее: индекс D означает расстояние.