Преобразование сигналов нелинейным электронным трактом

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 23:32, 17 ноября 2016.


Наряду с линейными преобразованиями, в электронной подсистеме КПС осуществляются и нелинейные преобразования сигналов. Они производятся либо с помощью нелинейной системы, либо линейной системы с переменными параметрами. Так как линейные параметрические системы обычно реализуются также с помощью нелинейных элементов (НЭ), то достаточно рассмотреть лишь описание характеристик нелинейных элементов и преобразование ими детерминированных сигналов.

Общие положения

НЭ разделяют на резистивные и реактивные. Резистивные элементы могут быть безынерционными и инерционными. Так как в КПС происходит в основном преобразование сравнительно низкочастотных сигналов, то поэтому ограничимся рассмотрением резистивных нелинейных безынерционных элементов (НБЭ).

Рассмотрим основные характеристики НБЭ. Зависимость тока, протекающего через НБЭ, от напряжения на элементе является его вольт-амперной характеристикой (рис. 1).

Рис. 1. График вольт-амперной характеристики НБЭ

Величина – дифференциальная крутизна; – дифференциальное сопротивление; – средняя крутизна; – среднее сопротивление; – сопротивление постоянному току.

Величины , , и зависят от формы вольт-амперной характеристики и рабочего диапазон НБЭ.

Характеристики НБЭ обычно определяются экспериментально, в связи с этим возникает задача их аппроксимации. Часто применяются следующие три вида аппроксимации: аппроксимация полиномами, ломаной линией (кусочно-разрывная аппроксимация) и трансцендентными функциями, в частности, экспонентой.

Если характеристика НБЭ задана в виде экспериментальной кривой , то при аппроксимации полиномом она представляется в виде ряда

где постоянные коэффициенты. На практике ограничиваются двумя, тремя или четырьмя членами ряда. При этом представление НБЭ в виде квадратичного полинома позволяет проводить исследование таких процессов, как детектирование, модуляция, преобразование частоты.

Рассмотрим преобразование ЧВС сигнала НБЭ с характеристикой в виде полинома 2-й степени

Если на вход НБЭ подать сложный, почти непериодический сигнал (содержащий некратные частоты)

то, подставляя в , на выходе НБЭ получим

Первое слагаемое , не зависящее от , определяется свойством НБЭ и входит в состав постоянной составляющей выходного сигнала. Второе слагаемое пропорционально неискаженному входному сигналу. Третье слагаемое может быть представлено в следующем виде:

откуда после несложных преобразований получим

Таким образом, квадратичный член обусловливает появление в выходном сигнале НБЭ вторых гармоник , и комбинированных частот ,

Рассмотрим детектирование сигнала, осуществляемое с помощью НБЭ. Детектирование заключается в выделении сигнала, который в неявной форме содержится в модулированном высокочастотном колебании. Соответственно основным видам модуляции различают амплитудное, частотное и фазовое детектирование. Последние два вида детектирования из-за тесной связи между частотой и фазой колебаний часто осуществляются мало различающимися устройствами.

Амплитудное детектирование

На вход детектора (рис. 2) подается модулированное колебание, содержащее только высокочастотные составляющие: несущее колебание и колебания боковых частот.

Рис. 2. Однополупериодный выпрямитель (детектор)

На выходе выделяется напряжение с низкочастотным спектром передаваемого сообщения. Следовательно, детектирование сопровождается трансформацией ЧВС и для его осуществления необходимо использование НБЭ. В качестве НБЭ в настоящее время применяют полупроводниковые диоды.

Допустим, что амплитуда колебания на выходе детектора настолько мала, что обусловленные этим колебанием изменения тока укладываются на относительно небольшом участке нижнего сгиба характеристики диода (рис. 3).

Рис. 3. Режим работы квадратичного детектора

В соответствии с зависимостью , ток через диод равен

где мгновенное значение высокочастотного входного сигнала, амплитуда которого модулирована по закону передаваемого сообщения (начальную фазу опустим, так как на работу амплитудного детектора она не влияет).

Таким образом,

Можно видеть, что высокочастотные составляющие отфильтровываются в цепи нагрузки, а непосредственно информация содержится в последнем слагаемом

Так как эта составляющая пропорциональна квадрату амплитуды входного напряжения, то при малых амплитудах детектор является квадратичным.

Рассмотрим квадратичное детектирование колебаний, огибающая которых является непрерывной функцией времени, например тональную модуляцию. Подставляя в , получим

Таким образом, при возникновении тональной модуляции среднее значение тока получает постоянное относительное приращение, равное . Переменная часть тока содержит два слагаемых: воспроизводящее сигнал и являющееся второй гармоникой сигнала . Отсюда следует, что коэффициент гармоник, равный в данном случае отношению амплитуды второй гармоники к амплитуде первой, принимает значение

При 100%-ной модуляции . При одновременной модуляции двумя частотами и в выходном напряжении детектора наряду с гармониками и возникают еще комбинированные частоты вида и с амплитудами, пропорциональными произведению коэффициентов модуляции и . Это приводит к искаженному воспроизведению сигналов.

Рассмотрим детектирование сильных сигналов. Не изменяя схемы рис. 3, допустим, что амплитуда входного сигнала достаточно велика, a и выбраны таким образом, что выпрямленное напряжение на почти не отличается от амплитуды входного сигнала. Напряжение смещения, создаваемое постоянной составляющей тока, изменяется пропорционально амплитуде входного сигнала. Но изменяющееся напряжение смещения диода есть не что иное, как выходное напряжение детектора, На рис. 4, а совмещены входное (высокочастотное) и выходное (выпрямленное) напряжения.

Рис. 4. Диаграмма входного и выходного напряжения в «линейном» детекторе при:
a — правильном; б — неправильном выборе элементов нагрузочной цепи

Так как при достаточно большой (по сравнению с периодом высокой частоты ) постоянной времени зубцы кривой практически отсутствуют, напряжение на выходе воспроизводит огибающую амплитуд входного напряжения, т. е. передаваемое сообщение.

Таким образом, связь между выходным напряжением и огибающей входной ЭДС получается почти линейной. Поэтому детектор, работающий в режиме больших амплитуд и с нагрузкой, обеспечивающей близкое совпадение напряжений и , называют линейным детектором (хотя это типично нелинейная цепь).

Режим модуляции несущих колебаний накладывает на выбор нагрузки детектора дополнительные ограничения. Необходимо, чтобы постоянная времени RC-цепи была мала по сравнению с периодом модуляции . В противном случае изменение выпрямленного напряжения на нагрузке может отставать от изменения огибающей входной ЭДС. Подобный режим показан на рис. 4, б. На участке г-б из-за большой инерционности RC-цепи напряжение отстает в своем росте от огибающей ЭДС. В точке б, где и амплитуда модулированной ЭДС уравниваются, ток через диод и рост напряжения прекращаются. На участке б-в источник ЭДС и диод не оказывают никакого влияния на нагрузочную цепь, и в последней происходит разряд через резистор . Таким образом, на участке б-в напряжение изменяется по экспоненте. Получается нелинейное искажение сигнала. Так как эти искажения обусловлены тесным взаимодействием нелинейного элемента (диод) с линейной цепью (), степень нелинейных искажений зависит не только от параметров цепи и глубины модуляции, но также и от частоты модуляции. Эти искажения возрастают с повышением частоты, а также глубины модуляции входной ЭДС. Для устранения рассматриваемых искажений необходимо, чтобы . Однако для сглаживания высокочастотных пульсаций требуется выполнение неравенства . Совмещая эти два условия, получим

Обычно частоты сильно различаются, и условия выполняются.

При импульсной модуляции огибающей в правой части неравенства вместо периода модуляции следует подставлять длительность импульса. При этом предполагается, что интервалы между импульсами велики по сравнению с длительностью импульса.

Частотное и фазовое детектирование

Представим сигнал на входе детектора в виде

Для устранения нежелательной амплитудной модуляции необходимо применение амплитудного ограничителя. Тогда на входе собственно частотного детектора (ЧД) напряжение будет равно

Напряжение на выходе ЧД должно воспроизводить закон изменения мгновенной частоты сигнала. Поэтому для идеального ЧД получим

где крутизна характеристики детектора, В/Гц.

Предполагается, что , а, следовательно, и являются «медленными» функциями времени. Для выделения сообщения из ЧМ колебания, ЧВС которого состоит только из высокочастотных составляющих (несущая частота и боковые частоты модуляции), необходимо нелинейное устройство в виде частотного детектора.

Для осуществления частотного детектирования широко используют ЧД, состоящий из избирательной линейной цепи, преобразующий частотную модуляцию в амплитудную, и амплитудного детектора.

В качестве линейной цепи можно использовать любую электрическую цепь, обладающую неравномерной частотной характеристикой: цепи , , фильтры, колебательные контуры и т.д.

Схема частотного детектора, содержащего простой колебательный контур, приведена на рис. 5.

Рис. 5. Одноконтурный частотный детектор

Если резонансная частота контура отличается от средней частоты модулированного колебания , то изменение амплитуды напряжения на контуре повторяет в пределах линейной части характеристики контура изменение частоты входного напряжения (рис. 6).

Рис. 6. Формирование сигнала на выходе одноконтурного частотного детектора

Изменение амплитуды высокочастотного напряжения с помощью диода преобразуется в низкочастотное напряжение, которое выделяется на апериодической нагрузке . Отметим, что при точной настройке контура на частоту сигнал искажается: частота изменения огибающей получается вдвое выше частоты полезной модуляции.

Недостатком рассмотренной схемы является необходимость настройки контура на частоту, отличную от частоты немодулированного колебания. Кроме того, резонансная кривая одиночного колебательного контура имеет весьма ограниченный линейный участок.

На рис. 7 показана схема ЧД, широко используемого в приёмниках частотно-модулированных колебаний.

Рис. 7. Двухконтурный частотный детектор:
L1=L2=LS; C1=C2=C

Она содержит колебательную цепь в виде двух индуктивно связанных контуров, настроенных на частоту . Напряжение высокой частоты подается на базу транзистора, а продетектированное напряжение выделяется на резисторах и . Принцип действия такого детектора поясняется эквивалентной схемой и векторной диаграммой, изображенными на рис. 8 и 9.

Рис. 8. Схема замещения избирательной цепи частотного детектора:
L1=L2=L; C1=C2=C
Рис. 9. Векторная диаграмма напряжений

Пусть – напряжения на первом и втором контурах, а и – напряжения в точках и относительно эмиттера (земли). Заметим, что и представляют собой амплитуды высокочастотных напряжений, приложенных соответственно к диодам и . В отсутствие модуляции, когда частота входного напряжения совпадает с резонансными частотами контуров, напряжение на индуктивности второго контура сдвинуто по фазе на относительно резонансного напряжения .

Действительно, при индуктивной связи двух одинаковых контуров

Так как при и , получим

где добротность второго контура, т.е. опережает на 90°.

Определим напряжения и . Учитывая, что в схеме замещения (рис. 8) средняя точка второго контура присоединена по высокой частоте непосредственно к точке и, следовательно, напряжение является суммой напряжения и половины напряжения получим

Аналогично для можно написать

Модули напряжений равны

а фазы симметричны относительно фазы напряжения . Соответствующая этому случаю векторная диаграмма показана на рис. 9, а. Так как выпрямленные напряжения и , действующие на резисторах и (рис. 7), пропорциональны амплитудам и , то результирующее напряжение на выходе детектора, равное разности и , при резонансной частоте будет равно нулю.

Рассмотрим векторную диаграмму напряжений при расстройке. Пусть частота на входе детектора отклонится от резонансной частоты на , причем . Тогда вектор , соответствующий напряжению (рис. 9, б), повернется относительно своего резонансного положения на угол , который определяется выражением

а выражения и будут иметь вид

Первый и второй контуры обычно берут идентичными, поэтому отношение является коэффициентом связи контуров. Кроме того, считают . Введя обозначение и переходя к модулям, получим

При определении напряжения на выходе ЧД необходимо учитывать, что в процессе частотной модуляции изменяются сопротивления, вносимые из второго контура в первый. Поэтому при неизменной амплитуде тока (промежуточной частоты) в цепи коллектора напряжение изменяется по закону

где резонансное значение напряжения .

С учетом дифференциального включения нагрузок (рис. 7), окончательное выражение для напряжения низкой частоты на выходе ЧД приводится к виду

Зависимость для различных значений параметра приведена на рис. 10.

Рис. 10. Характеристики двухконтурного частотного детектора

Умножая ординаты этих характеристик на , а абсциссы на , получим характеристику ЧД в виде зависимости [В] от [Гц].

При выборе параметров контуров и величины связи основным требованием является обеспечение линейности характеристики ЧД и максимально возможной ее крутизны. В этом отношении наиболее предпочтительным является параметр при использовании характеристики на участке . При этом максимальное значение достигает примерно 0,25.

Рассмотрим принцип работы фазового детектора (ФД). Пусть фаза высокочастотного колебания, подлежащего детектированию, изменяется по закону . Если такое колебание подать на обычный ЧД, реагирующий на изменение мгновенной частоты колебания, то напряжение на выходе детектора равно

т. е. будет пропорционально производной фазы входного колебания. Отсюда видно, что для осуществления фазового детектирования можно использовать обычный ЧД. Необходимо лишь дополнить его корректирующей цепью, осуществляющей интегрирование выходного напряжения, т. е. цепью с передаточной функцией вида . Подобный прием используют при детектировании колебаний с медленно меняющейся фазой, т. е. когда производная фазы конечна. В случае скачкообразного изменения фазы, а также при необходимости сравнения фазы принимаемого колебания с фазой опорного колебания применяют специальные фазовые детекторы, в которых выходное напряжение пропорционально огибающей напряжения, получаемого при суммировании колебаний со сравниваемыми фазами.

Примеры структурных схем электронного тракта КПС

Рассмотрим структурные схемы электронного тракта КПС с амплитудно-фазовой и частотно-фазовой модуляцией излучения от точечного объекта. Типичными примерами КПС с непрерывным управлением являются координаторы пространственного сопровождения точечных объектов.

Рис. 11. Структурная схема ОЭС с амплитудно-фазовым методом выделения сигнала.

ФПУ – фотоприемное устройство; УНЧ – усилитель несущей частоты; АРУ – автоматическая регулировка усиления; АД – амплитудный детектор; УОД – усилитель огибающей частоты; ФД1,2 – фазовые детекторы; ГОН – генератор опорного напряжения.

В качестве сканирующего устройства можно использовать различные растровые модуляторы, например секторный растр, показанный на рис. 12.

Рис. 12. Оптическая система с вращающимся секторным сканирующим устройством

Сигнал, снимаемый с фотоприемного устройства (ФПУ), включающего ПИ, предусилитель и фильтр, можно записать в виде:

где амплитуда немодулированного сигнала;
коэффициент амплитудной модуляции, зависящий от модуля угла рассогласования (угол между оптической осью КПС и направлением на объект) и полярного угла
; частота несущей;
частота огибающей;
фаза, соответствующая полярному углу изображения точечного объекта в системе координат, связанной с оптической осью КПС. Из сигнала, описываемого зависимостью , необходимо выделить составляющую сигнала на огибающей частоте, которая несет информацию о положении объекта в поле зрения КПС. Сигнал, снимаемый с ФПУ, поступает в усилитель несущей частоты (УНЧ), включающий каскад автоматической регулировки усиления (АРУ) и представляющий собой избирательный усилитель, настроенный на частоту модуляции и имеющий полосу пропускания, равную .

АРУ обеспечивает работу УНЧ в линейном режиме при попадании в поле зрения объектов с большой силой излучения. С УНЧ сигнал поступает в амплитудный детектор (АД), в котором происходит трансформация частотно-временного спектра сигнала, появляется составляющая с частотой . Далее составляющая о частотой усиливается усилителем огибающей частоты (УОЧ), представляющим собой избирательный усилитель, настроенный на частоту и имеющий достаточно узкую полосу пропускания . Разложение сигнала по двум каналам управления осуществляется фазовыми детекторами (ФД1, ФД2) при подаче на них напряжений с генератора опорных напряжений (ГОН), сфазированного с СУ.

Структурная схема обработки сигнала при частотно-фазовой модуляции с одноплощадочным ПИ показана на рис. 13.

Рис. 13. Структурная схема ОЭС с частотно-фазовым методом выделения сигнала

В качестве СУ можно использовать различные растровые модуляторы, один из которых показан на рис. 13. Сигнал, снимаемый с ФПУ, имеет вид

где постоянная амплитуда сигнала;
коэффициент частотной модуляции, зависящий от модуля угла рассогласования.

Как и в предыдущем случае, из необходимо выделить сигнал огибающей частоты, который несет информацию о положении объекта в поле зрения КПС. Сигнал с ФПУ поступает в УНЧ, который имеет более широкую полосу пропускания, чем при амплитудно-фазовой модуляции, определяемую девиацией частота. В УНЧ сигнал усиливается и поступает на ограничитель, а затем с него – на частотный детектор ЧД. Последний обладает резонансным свойством своих контуров, имеет на выходе сигнал, амплитуда которого с точностью до постоянного множителя равна отклонению мгновенной частоты в выражении , т. е. величине . Этот сигнал далее поступает на вход УОЧ. Разложение сигнала по двум каналам управления осуществляется фазовыми детекторами ФД1, ФД2 на которые подаются опорные сигналы ГОН, сфазированного с СУ.

Методы анализа тракта КПС, содержащего нелинейные звенья с применением рядов Вольтерра

Решение задачи анализа и оптимизации предполагает наличие математической модели КПС. Математическое моделирование линейных систем основано на принципе суперпозиции. Для нелинейных систем не применим этот принцип, поэтому нереально полагать, что можно найти метод анализе, который был бы наилучшим для всех систем. Существуют две возможности анализа нелинейных систем. Во-первых, можно взять какое-либо конкретное нелинейное устройство или класс устройств и проводить их детальный анализ. Но методы, которые при этом будут развиты, могут оказаться неприменимыми к анализу других нелинейных систем. Очевидно, что такой подход не годится для построения системы автоматизированного проектирования.

Второй подход заключается в выборе некоторого общего метода анализа, не относящегося к какой-либо конкретной системе, но позволяющего проводить анализ и синтез широкого класса систем. Для частной задачи общий подход может оказаться более сложным, чем метод, предназначенный специально для конкретной задачи. Но если ресурсы ЭВМ позволяют реализовать этот общий метод, то для целей анализа модели КПС это будет вполне оправдано.

Методы анализа нелинейных систем в достаточной мере развиты в теории автоматического управления. Поскольку среди КПС существует широкий класс приборов, которые являются частью систем автоматического управления, то некоторые из этих методов можно использовать для анализа электронного тракта КПС. При этом следует помнить, что в тракте КПС, как правило, решается задача выведения полезного сообщения, которое может представляться реализацией случайного процесса на фоне помех, действующих либо на входе, либо в самом тракте прибора. Поэтому в любом случае тракт КПС выполняет функцию фильтрации.

В связи с этим методы,.предназначенные для исследования динамических свойств нелинейных систем, такие как метод малого параметра, гармонического баланса, гармонической линеаризации, частотный и др., не могут быть использованы для анализа работы КПС, содержащего нелинейные элементы.

Существуют точные и приближенные методы исследования нелинейных систем при случайных воздействиях. Точные методы позволяют отыскать характеристики сигналов, определяющие их полностью в статистическом смысле, а именно: и-мерные функции распределения плотности вероятности выходных сигналов или моменты высших порядков. Среди точных методов анализа нелинейных систем следует отметить метод, основанный на интегрировании уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова, метод преобразования моментных функций с использованием рядов Вольтерра, метод канонических разложений и метод Винера. Однако не все перечисленные методы являются универсальными. Например, путем интегрирования уравнений в частных производных Фоккера-Планка-Колмогорова удается получить лишь одномерные функции плотности распределения вероятности. Для применения метода канонических разложений необходимо, чтобы уравнения, описывающие системы автоматического регулирования, содержали непрерывные нелинейные функции относительно величин, характеризующих состояние системы. Среди приближенных методов наибольшее распространение получили ' методы статистической линеаризации, эквивалентной передаточной функции и совместной статистической и гармонической линеаризации. Но эти методы дают удовлетворительные результаты лишь при нормальном законе распределения случайного сигнала на входе нелинейного элемента, что ограничивает возможности применения указанных методов.

Поскольку речь идет о выборе метода исследования нелинейных систем, удобного для реализации на ЭВМ, то логично потребовать, чтобы математический аппарат, лежащий в основе этого метода, был аналогичен аппарату, используемому для анализа линейных систем. Известно, что для моделирования линейных систем наиболее приемлемым с точки зрения требований полноты является спектральный метод, в основе применения которого лежат алгоритмы БПФ.

С этой точки зрения особого внимания заслуживает метод исследования нелинейных систем с помощью функциональных рядов Вольтерра. Как будет показано ниже, этот метод обеспечивает наперед заданную точность и применим для рассматриваемого класса систем как при детерминированных, так и при случайных сигналах. Принципиально любое нелинейное устройство можно представить через композицию линейных и нелинейных звеньев. Под нелинейным звеном в дальнейшем будем понимать некоторое безынерционное устройство, на выходе которого мгновенное значение сигнала определяется соотношением

Чтобы пояснить метод описания работы нелинейных систем с помощью функциональных рядов Вольтерра, рассмотрим простейшую нелинейную систему, образованную последовательным соединением стационарного линейного звена с импульсным откликом и нелинейного звена в виде квадратора (рис. 14) с характеристикой .

Чтобы пояснить метод описания работы нелинейных систем с помощью функциональных рядов Вольтерра, рассмотрим простейшую нелинейную систему, образованную последовательным соединением стационарного линейного звена с импульсным откликом и нелинейного звена в виде квадратора (рис. 14), т. е.

Рис. 14. Простейшая нелинейная система

то, подставив интеграл в выражение ,получим

Функционирование всей системы можно выразить двойной сверткой входного сигнала и двумерного ядра, которое в данном случае определяется произведением импульсных откликов линейной части системы , т. е. является сепарабельным.

Полученное выражение можно рассматривать как регулярный одно-родный функционал второй степени, значения которого зависят от параметра , принадлежащего области . При описании более сложных нелинейных динамических систем применяют полиномы Вольтерра, составленные из регулярных однородных функционалов вида

Регулярность этих функционалов понимается как симметричность ядер относительно переменных , т. е. значения функционалов не меняются при произвольной их перестановке. Если параметр в выражении рассматривать как переменную, изменяющуюся в пределах от до , то полином Вольтерра задаёт оператор, действующий из пространства функций в пространство функций

Работу системы, состоящей из линейного и нелинейного звеньев типа вида , можно описать оператором .

Пусть теперь нелинейное звено описывается произвольной непрерывной функцией . Если входной сигнал ограничен, а ядро, описывающее линейное преобразование, устойчиво, то и сигнал на выходе линейного звена также ограничен.

Из теоремы Вейерштрасса известно, что существует последовательность полиномов, всюду сходящихся к , причем для ограниченных полиномов это влечёт за собой сходимость в среднем. Таким образом, можно аппроксимировать функцией

Существуют различные способы аппроксимации: соответствующие критериям наименьших квадратов, по Чебышеву и др., причём в каждом случае, задаваясь оценкой приближения, можно определить степень аппроксимирующего полинома.

Аналогично рассмотренному случаю, когда нелинейное звено описывалось функцией вида , аппроксимирующую систему при нелинейности более сложного вида можно представить функциональным полиномом, образованным системой регулярных функционалов.

где , знак обозначает -кратный интеграл в пределах от до .

Чем точнее аппроксимация функции , тем точнее функциональное представление нелинейной системы.

Если функция аналитична в некоторой области, то её можно представить в виде степенного ряда

и дать оценку ошибки разложения.

В этом случае сигнал на выходе нелинейной системы может быть описан функциональным степенным рядом вида

Нелинейные системы, которые могут быть представлены функциональными степенными рядами, называются аналитическими. Применение функциональных полиномов (или рядов) Вольтерра для описания систем, содержащих нелинейные звенья, позволяет в явном виде получить связь между входными и выходным сигналам. Кроме того, поскольку ядра функциональных полиномов, как будет показано ниже, выражаются через импульсные отклики линейных звеньев системы, то такой подход, как и вслучае линейных систем, в принципе позволяет решать задачу синтеза и оптимизации звеньев электронного тракта и сервоприводов.

Из соотношений и также следует,что математические выражения, описывающие работу линейных систем, являются частнымслучаем функциональных полиномов Волтерра, когда все коэффициенты, кроме , равны нулю. В связи с этим все результаты, которые будут получены ниже, для нелинейных систем можно обобщить на случай, когда тракт прибора содержит только линейные звенья.

Применение структурных схем для анализа работы одномерных систем трактов КПС

При модельном представлении систем, содержащих нелинейные звенья, методом рядов и полиномов Вольтерра большое удобство дает графический способ представления сложных систем в виде совокупности нелинейных подсистем. Каждая подсистема, описываемая некоторым оператором , изображается так, как это показано на рис. 15. Для образования соединений между подсистемами вводятся элементарные системы — сумматор и умножитель.

Сумматором далее называется безынерционная система, имеющая входов и один выход и описываемая соотношением

Если , то сумматор изображается так, как показано на рис. 15, a. При сумматор имеет вид, изображённый на рис. 15, б: , и вид. изображённый на рис. 15, в: . В последнем случае сумматор называют также устройство сравнения.

Умножителем называется безынерционная система, имеющая входов и один выход и описываемая формулой

Графически умножитель для случая двух входов изображается так, как показано на рис 15, г.

Взаимодействие простых подсистем, образующих сложную систему, можно охарактеризовать через алгебраические действия с системами.

Сумма систем, действие которых описывается операторами и , определяется следующим образом:

Сумма систем имеет коммутативное свойство и ассоциативное свойство . Сумме двух систем соответствует параллельное соединение.

Рис. 15. Элементарные системы одномерного тракта
а - сумматор с n числом входов; б - сумматор на два входа; в — элемент сравнения; г — умножитель
Рис. 16. Графическое изображение нелинейной подсистемы
Рис. 17. Параллельное соединение двух нелинейных систем
Рис. 18. Последовательное соединение нелинейных систем двух нелинейных систем
Рис. 19. Произведение двух нелинейных систем
Рис. 20. Нелинейная система с обратной связью

Композиция систем и определяется соотношением

Эта операция ассоциативна, т.е. , но в общем случае не коммутативна . Композиции соответствует последовательное соединение систем (рис. 18).

Произведение систем и может быть определено как

Определенное таким образом произведение ассоциативно и коммутативно (рис. 19).

Если соединение систем с обратной связью (рис. 20) образовано с помощью устройства сравнения, то вид обратного соединения назьвается отрицательной обратной связью. Если соединение образовано сумматором, изображенным на рис. 15,б, то обратное соединение называется положительной обратной связью. Если оператор , описывающий действие устройства, установленного в цепи обратной связи, является единичным, т. е. , то обратная связь называется жесткой, если , то гибкой.

Преимущество рассмотренных структурных схем заключается в их наглядности при описании сложных систем, содержащих как линейные, так и нелинейные звенья.

Спектральные методы анализа нелинейных систем при детерминированных воздействиях

Применение преобразования Фурье и Лапласа упрощает анализ не только линейных систем, но и нелинейных.

Преимущества при анализе структурных схем стационарных нелинейных полиномиальных систем дает применение многомерного преобразования Фурье. Но в этом случае есть существенное отличие, заключающееся в том, что однородный регулярный функионал Вольтерра степени

не является многомерной сверткой, имеющей вид

Как следует из выражений и , регулярный функционал Вольтерра ставит в соответствие входному сигналу выходной сигнал, зависящий от одной переменной , тогда как выражение вида определяет многомерный сигнал, зависящий от переменных.

Алгоритм вычисления спектра сигнала на выходе нелинейной системы дает теорема о переходе к одной переменной в области изображений. Сформулируем эту теорему сначала для функций двух аргументов.

TemplateTheoremIcon.svg Теорема Теорема
Пусть для функции существует преобразование Фурье

Тогда

Доказательство
Пусть в формуле , тогда
<center>

Если ввести новую переменную , то , ,

<center>

Из последнего выражения следует утверждение теоремы:


Рассмотрим переход к одной переменной в области изображений для функции трех переменных , имеющей Фурье-образ . Приравняв переменные и и обозначив по аналогии с предыдущим случаем , получим

Если теперь приравнять аргументы функции , т. е. положить и ещё раз проделать такие же операции, то окончательно

Таким образом, для функции трёх переменных операция перехода к одной переменной в частотной области сводится к последовательному двухкратному вычислению интеграла типа от Фурье-образа функции. Аналогичным образом можно показать, то для функции переменных переход к одной переменной в частотной области сводится к последовательному раз интегрированию по формуле Фурье-образа .

В дальнейшем операцию перехода к одной переменной обозначим символом . Из доказанной теоремы вытекают два важных для дальнейшего изложения следствия.

TemplateLemmaIcon.svg Лемма «Следствие 1»
Если изображение имеет вид
,

то, обозначив , получим

т.е.переход к одной переменной осуществляется в этом случае простой заменой переменной.


TemplateLemmaIcon.svg Лемма «Следствие 2»
Если изображение имеет вид
,

то


На основании изложенного Фурье-образ функционала Вольтерра можно представить в виде

Аналогично полиному Вольтерра вида

,

устанавливающему связь между сигналом на входе и сигналом на выходе , можно поставить в соответствие выражение в частотной области

где и Фурье-образы сигналов на выходе и входе полиномиальной системы;
Фурье-образ (изображение) ядра -го порядка;

Из выражения следует алгоритм вычисления спектра детерминированного сигнала на выходе нелинейной полиномиальной системы, который сводится к следующему:

1. Вычисляются изображения многомерных ядер полиномиальной системы

и Фурье-образ сигнала на входе системы.

2. Осуществляется переход к одной переменной в частотной области для каждого члена в выражении

Если для вычисления изображений ядер Вольтерра воспользоваться алгоритмом БПФ, то для вычисления изображения ядра размерности при разбиении области интегрирования на интервалов потребуется выполнить операций. Необходимое число операций при переходи к одной переменной путем интегрирования по методу квадратур Гаусса составит примерно . Уже при и операция перехода к одной переменной оказывается почти на порядок более трудоёмкой, чем вычисление изображения ядер. Чтобы уменьшить число операция при вычислении интегралов, можно воспользоваться приёмом, который основан на известном свойстве преобразования Фурье и заключается в том, что значение нулевой гармоники преобразования Фурье от функции на нулевой частоте равно интегралу от этой функции, взятому в бесконечных пределах:

Если для реализации операции перехода к одной переменной применить алгоритм БПФ, учитывая при этом, что нулевая гармоника полученного в результате расчета спектра равна искомому интегралу, то для этого понадобится выполнить всего операций.

Вычисление изображений ядер Вольтерра нелинейных систем

Ядра Вольтерра и их изображения полностью характеризуют нелинейную систему подобно тому, как импульсный отклик и передаточная функция являются определяющими характеристиками линейных систем. В связи с этим изображения ядер иногда называют многомерными передаточными функциями. Рассмотрим вопросы, связанные с определением изображений ядер Вольтерра систем, образованных различными способами соединения стационарных линейных и безынерционных нелинейных звеньев.

В простейшем случае нелинейную систему можно образовать последовательным соединением линейного и нелинейного безынерционного полиномиального звеньев (рис. 8). Как было показано выше, сигнал и спектр сигнала на выходе такой системы описываются выражениями


Так как ядра подобной системы сепарабельны, то их изображениятакже являются сепарабельными:

В этом случае спектр выходного сигнала можно представить как

Из полученного выражения следует вывод: если ядра системы сепарабельны, то вычисление спектра сигнала на выходе нелинейной полиномиальной системы сводится к перемножению Фурье-обрзов сигнала и ядра первого порядка , вычислению обратного преобразования Фурте от произведения, возведению в степень каждого числа полинома и затем вычислению обратного преобразования Фурье от членов того же полинома. Трудоёмкость в этом случае минимальна и составляет примерно операций.

Рис. 21. Последовательное соединение линейного и безынерционного полиномиальных звеньев

Рассмотрим нелинейную систему, состоящую из двух последовательно соединённых линейных звеньев, разделённых безынерционным элементом (рис. 22). Эту нелинейную систему можно рассматривать как композицию рассмотренной выше системы и линейного звена. Пользуясь следствием 2 из теоремы о переходе к одной переменной в частотной области, Фурье-образ выходного сигнала можно представить в виде

или

где изображение ядер системы.

В частном случае для системы, состоящей из последовательно подключённых нелинейного безынерционного элемента и линейного звена, изображение ядер

Как следует из полученных выше формул, спектр сигнала на выходе рассмотренных простейших нелинейных систем можно определить, если известны изображения ядер ряда Вольтерра.

Литература

  • Пупков К. П., Капалин В. И., Ющенко А. С. «Функциональные ряды в теории нелинейных систем» / Серия: теоретические основы технической кибернетики. — М.: Наука, 1976 г. 446 с.

См. также