Преобразование Фурье (Спектральный метод)

Материал из Национальной библиотеки им. Н. Э. Баумана
Последнее изменение этой страницы: 18:36, 24 мая 2016.
Open book.svg Авторство
Чичварин Н. В.
Согласовано: 13.05.2016
Статья по учебной дисциплине
Название дисциплины:

Обнаружение и распознавание сигналов

Раздел:

8. Распознавание и идентификация сигналов на физическом уровне

Глава:

8.2 Обнаружение и распознавание объектов изображений

Преподаватель:

Чичварин Н. В.

Одним из спектральных методов является преобразование Фурье. В основе спектрального анализа сигналов лежит интегральное преобразование и ряды Фурье. Базис пространства может быть образован любой ортогональной системой функций.

Введение

Наибольшее применение в спектральном анализе получила система комплексных экспоненциальных функций. Проекции сигнала на данный базис определяются выражением:

где — частотный аргумент векторов. При известных выражениях базисных функций сигнал однозначно определяется совокупностью коэффициентов и может быть абсолютно точно восстановлен (реконструирован) по этим коэффициентам:

Уравнения называют прямым и обратным преобразованием Фурье сигнала . Таким образом, любая функция гильбертова пространства может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье, который называют спектральным представлением сигнала или его Фурье-образом.

На практике ряд Фурье ограничивается определенным количеством членов . Ограничение числа членов ряда значением означает аппроксимацию бесконечномерного сигнала –мерной системой базисных функций спектра сигнала с определенной погрешностью в зависимости от фактического спектра сигнала. Ряд Фурье равномерно сходится к по норме:

Таким образом, ряд Фурье - это разложение сигнала по базису пространства ортонормированных гармонических функций с изменением частоты, кратным частоте первой гармоники . Отсюда следует, что ортонормированный базис пространства построен из одной функции с помощью масштабного преобразования независимой переменной так, что .

Разложение в ряд Фурье произвольной функции корректно, если функция принадлежит этому же пространству , т.е. квадратично интегрируема:

при этом она может быть периодически расширена и определена на всей временной оси пространства ; так, что:

С позиций анализа произвольных сигналов и функций в частотной области и точного восстановления после преобразований можно отметить ряд недостатков разложения сигналов в ряды Фурье, которые привели к появлению оконного преобразования Фурье и стимулировали развитие вейвлетного преобразования. Основные из них:

  • ограниченная информативность анализа нестационарных сигналов и практически полное отсутствие возможностей анализа их особенностей (сингулярностей), т.к. в частотной области происходит «размазывание» особенностей сигналов (разрывов, ступенек, пиков и т.п.) по всему частотному диапазону спектра.
  • гармонические базисные функции разложения не способны в принципе отображать перепады сигналов с бесконечной крутизной типа прямоугольных импульсов, т.к. для этого требуется бесконечно большое число членов ряда. При ограничении числа членов ряда Фурье в окрестностях скачков и разрывов восстановленного сигнала возникают осцилляции (явление Гиббса).
  • преобразование Фурье отображает глобальные сведения о частотах исследуемого сигнала и не дает представления о локальных свойствах сигнала при быстрых временных изменения его спектрального состава. Так, например, преобразование Фурье не различает сигнал с суммой двух синусоид (стационарный сигнал), от сигнала с двумя последовательно следующими синусоидами с теми же частотами (нестационарный сигнал), т.к. спектральные коэффициенты вычисляются интегрированием по всему интервалу задания сигнала. Преобразование Фурье в принципе не имеет возможности анализировать частотные характеристики сигнала в произвольные моменты времени.

Оконное преобразование Фурье

Частичным выходом из этой ситуации является оконное преобразование Фурье с движущейся по сигналу оконной функцией, имеющей компактный носитель. Временной интервал сигнала при большой его длительности разделяется на подынтервалы, и преобразование Фурье выполняется последовательно для каждого подынтервала в отдельности. Тем самым осуществляется переход к частотно-временному (частотно-координатному) представлению сигналов, при этом в пределах каждого подынтервала сигнал «считается» стационарным. Результатом оконного преобразования является семейство спектров, которым отображается изменение спектра сигнала по интервалам сдвига окна преобразования. Это в какой-то мере позволяет выделять на координатной оси и анализировать особенности нестационарных сигналов. Размер носителя оконной функции обычно устанавливается соизмеримым с интервалом стационарности сигнала. По существу, таким преобразованием один нелокализованный базис разбивается на определенное количество базисов, локализованных в пределах функции , что позволяет представлять результат преобразования в виде функции двух переменных - частоты и временного положения окна. При этом размер стационарности сигнала необходимо знать априори.

Оконное преобразование выполняется в соответствии с выражением:

Функция представляет собой функцию (в общем случае – комплексную) окна сдвига преобразования по координате , где параметром задаются фиксированные значения сдвига. При сдвиге окон с равномерным шагом значения принимаются равными . В качестве окна преобразования может использоваться как простейшее прямоугольное окно ( в пределах окна и за его границами), так и специальные весовые окна (Бартлетта, Гаусса, Кайзера и пр.), обеспечивающие малые искажения спектра за счет граничных условий вырезки оконных отрезков сигналов и нейтрализующие явление Гиббса. При этом для каждого положения окна на временной оси сигнала вычисляется свой комплексный спектр. Эффективная ширина оконной функции сохраняется постоянной по всему интервалу сигнала.

Координатная разрешающая способность оконного преобразования определяется шириной оконной функции и обратно пропорциональна частотной разрешающей способности. При ширине оконной функции, равной , частотная разрешающая способность определяется значением . При требуемой величине частотного разрешения соответственно ширина оконной функции должна быть равна . Для оконного преобразования Фурье эти ограничения являются принципиальными.

Частотно-временное оконное преобразование
Применяется для анализа нестационарных сигналов, если их частотный состав изменяется во времени. Функция оконного преобразования может быть переведена в трехмерный вариант с независимыми переменными и по времени, и по частоте:

Оконное преобразование позволяет получать информативные особенности сигнала и по времени, и по частоте. Разрешающая способность локализации определяется принципом неопределенности Гейзенберга, который гласит, что невозможно получить произвольно точное частотно-временное представление сигнала, то есть нельзя определить для какого-то момента времени, какие спектральные компоненты присутствуют в сигнале. Чем уже окно, тем лучше временное разрешение, но хуже частотное, и наоборот. Кроме того, чем уже окно, тем более справедливыми становятся наши предположения о стационарности сигнала в пределах окна.

Методические ошибки преобразования Фурье

При обработке данных с помощью ЭВМ значения функции обычно заданы на дискретном множестве равноотстоящих точек. Интервал дискретизации (или квантования) равен, например, шагу разностной сетки, если значения функции в точках получены с помощью численного интегрирования уравнений, определяющих . В другой ситуации равно характерному времени срабатывания аналого-цифрового преобразователя сигналов (сокращённо АЦП) на входе системы сбора данных и т.д. В дискретном случае интегралы в выражениях для коэффициентов рядов следует заменить суммами. Предположим, что интервал определения разбит на частей Вычисления сильно упрощаются тем обстоятельством, что Фурье-гармоники оказываются ортогональными и на дискретном множестве точек. При вычислении ДПФ с помощью ЭВМ всегда имеют дело с массивом дискретных отсчётов (конечная выборка). При этом вынужденно предполагают, что этот массив содержит один или несколько периодов обрабатываемого сигнала . Конечность интервала выборки (временное ограничение) и дискретизация непрерывного сигнала приводят к неожиданным эффектам, рассмотренным ниже.[1]

Влияние конечности выборки

Ограничение по времени, возникающее при обработке конечного массива отсчётов сигнала длиной , эквивалентно умножению сигнала на прямоугольный импульс:

Поэтому вместо исходной функции мы наблюдаем функцию . В соответствии с теоремой о свёртке преобразование Фурье этой функции есть

т.е. «обрезание» по времени сигнала эквивалентно свёртке его Фурье-преобразования с весовой функцией . Это означает, что каждый резкий пик на какой-либо частоте в Фурье-спектре функции «размывается» в функцию (см. рис. 5) в спектре .

Рис. 5. "Размытие" резких пиков функции на определенной частоте

Её «ширина» - расстояние до первого нуля – порядка . Таким образом, чем больше время наблюдения сигнала , тем выше разрешающая способность Фурье-обработки. Превращение -функций в функцию из-за конечности выборки означает также уменьшение «энергии» Фурье-гармоник в центральном пике за счёт перетекания её в боковые максимумы функции (различные английские обозначения этого эффекта - leakage, ripples, side lobes). Для уменьшения искажений, связанных с конечностью выборки, при одном и том же необходимо в качестве весовых функций брать «окна» Ганна или Хэмминга:

где

Дискретизация сигнала и паразитные гармоники

При цифровой обработке данных вместо непрерывного сигнала приходится иметь дело с дискретизированной функцией, полученной квантованием сигнала с характерным шагом . Существует связь между разрешением по времени и величиной допустимого частотного диапазона, а именно при дискретизации с шагом можно «разрешить» функции, на минимальном периоде которых укладываются хотя бы два временных отсчёта (грубо говоря, необходимо определить значение функции хотя бы в её минимуме и максимуме).


Иными словами, при квантовании с шагом предельная допустимая частота (частота Найквиста - Котельникова) есть . Конечный размер выборки приводит, соответственно, к появлению минимально возможной частоты .

Дискретизация по времени приводит к появлению паразитных гармоник (к так называемому «элайзингу» - aliasing). Действительно, пусть в частотном спектре непрерывного сигнала имеется максимум («пик») на частоте . Тогда из-за симметрии и периодичности тригонометрических функций он появится для квантованных сигналов на частотах

При дискретизации с шагом можно различить сигналы, гармоники разложения которых содержат частоты не превышающие . Иначе говоря, гармоники с частотами являются нефизическими (или «духами» — по-английски aliases). Чтобы избежать неоднозначности в частотном спектре, необходимо ограничить входной сигнал по частоте (пропустив, например, через фильтр антиэлайзинга, подавляющий гармоники ).

Квантование по частоте и эффект «частокола»

Запишем выражения для дискретного преобразования Фурье с помощью комплексных экспонент

Оно применимо к дискретным и периодическим сигналам (предполагаем, что массив -отсчётов представляет собой период функции ). Соответственно частотный спектр должен быть также периодическим и дискретным. Квантование по частоте приводит к новому явлению: так называемому «эффекту частокола». Если в спектре непрерывного сигнала есть острый «пик», то его положение, вообще говоря, может не совпасть с какой-либо из разрешённых квантованных частот. Разрешённые частоты и образуют «частокол» (более строго, систему дискретных частотных фильтров), через который мы наблюдаем исходный спектр. «Негармонические» пики будут вносить вклад в значения амплитуд близких разрешённых Фурье-гармоник. Величина погрешности при определении амплитуд пиков, не совпадающих с разрешёнными, определяется степенью перекрытия соседних фильтров. При вычислении ДПФ мы имеем дело с конечной выборкой длиной . Для прямоугольного окна конечность выборки приводит к размытию в ; для окна Хэмминга характерный размер Фурье-преобразования больше в два раза и, соответственно, больше величина перекрытия соседних фильтров. Другими словами, использование окна Хэмминга при Фурье-обработке уменьшает эффект частокола наряду с эффектами «пролезания энергии в боковые лепестки».

Литература

  1. Воскобойников Ю. Е., Гочаков А.В., Колкер А.Б. Фильтрация сигналов и изображений: фурье и вейвлет алгоритмы. - М.: Наука, 2010 - 195 с.
  2. Вапник В. Н., Червоненкис А. Я. Теория распознавания образов. — М.: Наука, 1974. — 416 с.
  3. Васильев В. И. Распознающие системы. Справочник. — 2-е изд. — К.: Наукова думка, 1983. — 424 с.

Примечание